Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 61
Текст из файла (страница 61)
— (и) +и* = — (7+ и*. (1.! 4) 0' Если уравнение (1.11) и второе и третье граничные условия (1.12) подвергнуть преобразованию Лапласа, то данная задача по определению скорости а(х, у) будет свелена к следующей залаче определения изображения этой скорости: лзи" Р, Р ! гни'1, .—,— — и = — — (7+ — ! — --! ауз а а ' " ~ау)ь аи' су (1.15) и' = О. при у=а РЛ хну /ь (1.!6) Йифференпируя обе части (1.!6), получим — = !/ — (Ае " — Ве г е ) Х -„) (Л,) =р' РгАе~ " — Ве ~ а ),) (1.17) Решение дифференциального уравнения (1.15) для изображения будет представлйться в зиле 554 вззвитие ламинавного движения жидкости [гл. х Используя граничные условия (1,15) и равенство (1.17), получим для определения постоянных следующие уравнения: А — В=О, Ае~ ' +Ве ~ ' +(/ — — „~/ л[Ае~ " — Ве ~/" /=-О.
рл Решая зти уравнения, будем иметь; А=В= — 2 сп "[/ — л — — „~// — зь )/ л д Подставляя значения постоянных в (1.17) и (!.16), найдем: ~Г л ~/ ~Г и сь з// Ву — сь !/ ~~ и и'= (/л— ~// -- зк ~/ -~ — а — ась [//~' л (1.18) (1. 19) С помощью обращения преобразования Лапласа (1.19) получим сле- дующее выражение для оригинала основной скорости течения; си !/ — у — сп 3/ — Ь (х, у)= — [ е ~ — нз/ — л — л пз/ — л $'р з/л У (1.20) Чтобы определить характер течения вязкой жидкости в плоской трубе для весьма далЕких расстояний от входа, достаточно найти выражение изображения основной скорости прн малых значениях параметра преобразования Расклалывая каждое слагаемое в числителе и знаменателе (!.19) и ограничиваясь слагаемыми не выше второй степени от аргумента, найдем: 1 дтз ляз 1+ -- — — 1 — —, Таким образом, на бесконечно большом удалении от входа в плоскую трубу профиль распределения основной скорости по сечению будет параболическим [и(х, у)! = — У ~1 — — „,,).
(1.21) Особенности подинтегрального выражения (1.20) совпадают с корнями уравнения (1.22) Если обозначить корин уравнения !Нх=х (1.23) черев т, то корни уравнения (!.22) будут представляться в виде Тяг р = — й —. РГ Ва ' (1.24) Полагая у = 0 и раскладывая для этого случая подинтегральное выражение (1.20) на простые дроби, получим: где коэффициенты ге и сы определяются с помощью следующих равенств: ! — сь !« — Л Р «"- «3 - "«"(1. (1,26) Рг(РЖ) 2 ( ! Подставляя разложение (1.25) в (1.20) и используя формулу +й получим слелующее выражение для основной скорости частиц жидкости на средней линии плоской трубы: "эг (и)„,= — (7+2(7 ~~У вЂ”,( — — 1)е "' ' .
(1,27) п=! Составляя отношение равности предельной скорости частиц жидкости на средней линии на бесконечном удалении от входа и скорости $ 1) Развитие лхминАРного дВижениЯ междУ НАРАллвльн. стВнкАми 355 збб РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ (шь х частиц на конечнои удалении 7. от входа к предельной скорости, найдем: е т,н -ь — „,г Х (' †...',.,)' —,;— к — 1 и 3 — и-(и)к=ь 2 (1. 28) 3 3 2' Задавая значение левой части (1.28) и решая полученное уравнение относительно длины 7., можно получить приближенное значение длины начального участка плоской трубы, на протяжении которого максимальное значение скорости частиц будет отличаться от своего предельного значения на заданную величину.
Полагая, например, значение левой части (!.28) равным 3 — (7 — (и) =, 2 ксд = 0,01 3 У 2 (!.29) и сохраняя в правой части (1,28) лишь первое слагаемое, получим следующее выражение для длины нача.чьного участка плоской трубы: ).=дй —,, (п 0,00757'- соз т, (1.30) где й представляет собой число Рейнольдса, определяемое для плоской трубы равенством й= —, «ц (1, 31) а Тх — наименьший, отличный от нуля корень уравнения (1.23), равный ') .(„= 4,493, Подставляя числовое значение корня Т, в (1.30), получим следующую приближвнную формулу для ллины начального участка плоской трубы; ).
= 0,18лй. (1.32) с) янке Е. и Э и де Ф., Таблицы функций, Гостехвздат, 1943, стр. 47. Таким образом, длина начального участка пропоркиональна числу Рейкольдса и расстоянию между стенкама. 2) елзвитив движения в ке еглоя пилиндеическоа гаага 351 $ 2. Развитие ламинарного движения в круглой цилиндрической трубе Пусть круглая цилиндрическая труба радиуса а простирается до бесконечности только в одну сторону — в сторону положительного направления оси х (рис. 91). Начало оси х выберем в центре начального сечения трубы. Лля определения лвижения жидкости на начальном участке трубы применим систему приближенных уравнений, аналогичных уравнениям (1,1): =О, + д ! 1 д дн и— дх др дг (2,1) ди дх Множитель (l и здесь представляет собой среднюю скорость по сечению трубы.
Условия прилипания жидкости к стенкам и условие постоянства расхола через каждое сечение трубы будет представляться равенствами т т х при г=-а и х)0, -и-„ л = О, и„ = О, (2.2) а 2 ) иг дг = аЧ/. (2.3) Рис. 91. О Будем предло.чагать, что основная скорость и по начальному сечению распределена равномерно, т. е. при х = 0 и = (1. (2.4) Таким образом, задача определения движения вязкой жидкости на начальном участке круглой трубы сводится к решению системы уравнений при граничных условиях (2.2), (2.3) и (2.4).
Первое и третье уравнения (2.1) умножим на где и проинтегрируем по переменному г в пределах от 0 до а и от 0 до г, Учитывая при этом второе равенство (2.1), получим: а а дГ1др1 /ди1 (г — ~ игдг.=- — — — ) г дг+ о( — ~ дх,) ' е дх,) (,дг,)ч' о д à — 1" игдг=го,. дх,) е (2.5) (2,6) 368 (гл. х вазвитии ланинлгного движения жидкости Равенство (2.6) может служить для определения значения поперечной скорости о„, посте того как будет определена основная скорость и. В силу условия (2,3) поперечная скорость на стенке действительно будет обращаться в нуль. Из равенства(2.5) при учете (2.3) получим следующее выражение для перепада давления: Подставляя (2.7) з первое уравнение (2.1) и обозначая (2.8) получим дифференциальное уравнение для основной скорости (2.9) Уравнение (2.9) при граничных условиих (2.2) и (2.4) будем решать также метолом преобразования Лапласа.
Полагая е-мчи(г, х) Фх =. —, р е ч Етих — Г(х = — (т+ и" да вх о (2.10) и подвергая преобразованию Лапласа уравнение (2.9) и граничное условие (2.2), получим следующую задачу для изображения: Нзп" ! Ни' р „р 2 /ди'ч —,+ — — — — и'"=- — -и+ — ~( — ), 1 Ига г Нг Л а а дг~»' (2 !1) при г= а и*=-0. Общее решение уравнения (2.11) через функции Бесселя нулевого порядка от инимого аргумента будет представляться в виде и' = А!е (г Я/ — )+ ВКз (г ф/ — )+ (/ — — ( — ) .
(2.12) — =- А )/ а )о (г ф' — ). (2,13) Так как функция К„при г = О обращается в бесконечность, а скорость на оси трубы должна быть конечной, то постоянное В необходимо приравнять нулю. Из (2.12) будем иметь; и 2) тлзвития лвижзния в ктяглой нилиндеичяской тятвв 359 Используя равенство (2.13) и граничное .условие (2.11), получим следующее выражение для постоянного А: (2.14) Подсгазлян (2.14) в (2.12), получим: Если испольаозать рекуррентные формулы 2 )о =-)ы — )т = )о )я .~/ Р а '~/— л то для изображения основной скорости частиц вязкой жидкости найдем: (2.15) Пользуясь известным рааложением и уменьшая параметр преобразования до нули, получим из (2.15): (и*), = 2(l (! — — „) . Таким образом, на бесконечном удалении от входа в трубу будет устанавливаться параболический профиль распределения скоростей по сечению, т, е.
(и) = 2(l (! — —,,). (2.1У) Обрашая преобразование Лапласа, получим следуюшую интеграль- ную формулу для основной скорости: 360 глзвитив ламинленого движения жидкости (гл. л Раскладывая подинтегральное выра>кение(2,16) пз простые дроби, получим; 7,(л у р~) — ! 1 ~77 р~) Ргз(я$I л) гдс рз, — корни уравнения 7. (и ~/ ~-) == 0, связанные с корнями функции Бесселя второго порядка (2,19) .~в(7) = 0 следующим равенством: (2.20) Коэффициенты рааложення (2.18) равны >я г, (.,>„,) т, .г,,' (ти,) (2.21) Подставляя найденное выражение (2.22) в (2.7), получим окончательное выра>кение для перепада давления др Вну > 1 ип з>>(ты) — — з>) и=! (2.23) Если воспользоваться рекуррентными формулами 2 Уз(х) = У> (х) — — 7 (х), 1о(х)+,Уа(х) =— Испо>тьзуя разложение (2.18), получим из (2.16) дчя основной скорости следующее выражение: (гт> ') я о(ы>) и(х, г)=2()(( — ',)+2(>~~>" " ! е ьй>* (2,22) 7,4,(т„) 9 2) елавитив движения в кттглой цилиндеической тгдяе 861 и учесть уравнение (2.19), то формулы для скорости и перепада давления можно также представить в виде / .
и т ".~» г). — 2 (1 г ) 4 ~~та 1 ~1 л ] с~'а "' (2.24) ~я=е др 8~~0 + 1 у гы» ы=1 (2.28) В цитированной выше работе С. М, Тарга были вычислены профили распределения скоростей для ряда се мний, представленные на 0 саб 004 Оса саб сла СИ 0'б С.б ай Рпс. 92. сб 40 0 ссд сбч ссб ссв сгс сда 004 ааб лй Рвс.
93. полученной из опытов Ннкурадзе. Сопоставление результатов расчета по формуле (2.24) с результатамн экспериментов н резучьтатами расчетов по другим формулам показано на рис. 93, ааимсгвованном рис. 92. Каргина развития течения на начальном участке круглой трубы, показанная на рис. 92, качественно согласуется с картиной, 362 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ [гл. х наин из той же книги С.
М. Тарга. Из этого рисунка видно, что картина распределения скоростей, получаемая с помощью формулы (2.24) на всем участке, количественно удовлетвори~ельно согласуется с результатами опытов. Полагая в (2.24) г = 0 и сохраняя только первое слагаелгое под знаком суммы, получим следующее приближенное выражение для скорости частиц жидкости на оси трубы: .ч,'ю 2(7 ~1 [~о (71) — 1 пи т 7120(71) (2. 26) где Т,— наименьший корень уравнений (2.19), равный Т, = 5,136. Если за длину начального участка принять то расстояние 7 от входа в трубу, прн котором второе слагаемое в фигурной скобке (2.26) будет равно 0,01, то из (2.26) получим: йа 00 (Н) — 1 Б= — 1ит', 6,600Ф0(т ) (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
