Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Приравнивая правую часть (2.24) к нулю и подставляя значение М из (2.23) н значение угловой скорости вихря, получим: ~и'и' — 'дхг(у+ ~ ~ ~ — — — ) улду=О. (2.26) .!'. '' — ' диг ( Р Гди' ди'1г 6'у .),( (дх ду ) Если теперь перейти в равенстве (2.25) к безразмерн~м величинам, полагая х =- '— , у =- — "', и„= — (/((т), и' =.
Ыр(Е г), о' = (/ф(Е ч)), Й = — „ устойчивость ллминлтных > знаний (гл. х> то для числа Рейнольлса получим следующее равенство: ) (ф — — ) А'дч К— (2.27) >" (ч] и (; —, ч) ф (-, ч) д( дч Таким образом, задача определения минимально~о значения числа Рейнольдса будет сводиться к опрелелению минимума отношения(2.27) лвух двойных интегралов. ф 3.
Исследование устойчивости ламииарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей Пусть мы имеем дяе параллельные стенки на расстоянии Ь лруг от друга. Если нижняя стенка будет неподвижной, а верхняя будет перемещаться параллельно самой себе со скоростью (У и если перепада давлений в направлении течения не будет, то для основного поля ламинарпого течения межлу параллельными стенками булем иметь прямолинейный профиль распределения скоростей по сечению, т. е.
(г и,= ау, о>=0. (34) Вводя безразмерные независимые величины х у (У 0й — — — (х =- —, (3.3) представим дифференциальное уравнение (3.2) в зиле да(у дар — — + т> —.— = — Ь дб'. дт д! и (3.4) Далее, как уже указано в Я 1, функцию тока представим в виде >У = (Уйеын "'>у(г>). (3.5) Тогла Ь)' = (>Лет>) -"П( — я-'У+ — 1= Еде'>1 -"Пр(т>), дт>л ) (3.6) Для исследования устойчивости данного ламинарного течения по л>етоду чалых колебаний мы должны обратиться к приближенному дифференциальному уравнению (2.9) для функции тока поля возмущений.
Подставляя в зто уравнение выражение (3.1) для продольной скорости, получим с.чедующее дифференциальное уравнение с частными производными четззртого порядка: д а>)' (У д лр' де Л- дл ь 31 тзчяниз с пгямолинейным пгоеилам глспгадалания скогоствй 399 и дифференциальное уравнение (3.4) запишется: — я+ф Яг(ат> — >3) — Я") =. О. ввт дг;-' (3.7) Таким образом, задача свелась к решению однородного дифференциального уравнения с обыкновенными производными второго порядка (3.7) и последующего решсння неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка — — — яву=у ггзэ' лф (3.8) Если ввести новое независимое комплексное переменное чз+ я(з — ач] (ч>1) Ь то дифференциальное уравнение (3.7) преобразуется: члч — +ау = О.
вчт (3.9) (3.10) Независимыми решениями этого уравнения будут ') цилиндрические функции с ннлексом '/з, т. е. ',= " 1,.~-3"'), *'Л„( —, а ') ° (3.11) Неоднородное дифференциальное уравнение (3,8) можно решить методом вариации произвольного постоянного. Почучим два независимых решения: ь= — ': ~ячэ ч*' — ч~*' ~ Гя — —., ~ е. (а ) 51п х (а — а)г)з, (3.12) где (3 Пз) т) Р ы ж н к, Г р а л ш т е й н, Таблицы интегралов, Гостехнзлат, 1951, стр 363, а нижний предел ао представляет собой пока неопределенную комплексную постоянную, Умножая (3.12) на произвольную постоянную и складывая с общим решением однородного > равнения (3.8), 4ОО тстойчивость ллминлвных тячвний (гл. х~ получим общее решение полного уравнения для У: У(т) == АУ, + ВУя+ Се"'+ )Эе-" .
(3.14) На основании (3.5) проекции вектора скорости поля возмущений будут представляться в виде дф' и' = — т- = (меч ьп "пу'(т), деу о' = — — '-- =-(и(Уеыач-"НУ(т)). дк (3.15) Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам в поле возмущений будут тогда иметь вид — у'(О)=О, у(1).=О, у'(1)=О. (3.1о) В качестве гз в (3.12) возьмем значение г из (3.9), отвечающее нижней стенке (ч) = О), т.
е, (3,1?) (и)ч)" Тогда прн значении г = ге функции У, и Ув из (3.12), а также и их первые производные будут обращаться в нуль. Поэтому первые два условия (3.16) прн подстановке выражения (3.14) дадут: С+О= О, и(С вЂ” О) = — О. Отсюда С=- О, АУ, (г,) + ВУз(г,) =-= О, АУг(г,)+Вуз(г,) = О. Так как постоянные А и В не могут обращаться в нуль, то мы должны приравнять нулю определитель системы, т. е. У,(~,)Уз(~,) — У,(~,)У (г,) =- О. (3.19) Подученное уравненне (3.19) является трансцендентным карактеригтичегним уравнением поля возмущении, наложенного на поле скоростей основного потока вязкой несжимаемая жидкости. Это Обозначим через г, значение г, отвечающее верхней стенке, т.
е. „з+;р (з ать (ий) Удовлетворяя условиям прилипания к верхней стенке, получим из (3.14) следующие уравнения: й 3) течения с пгямолииайным пгоэилям гаспгядвлвния скогостяй 401 уравнение связывает значение числа )2 основного потока с кинематическнми характеристиками а и )) поля возмущений.
При этом значения гс н з считаются действительными и заранее заданиымн, а для величины )) допускаются комплексные и подлежащие определению иэ уравнения (3.19) значения. Как уже было указано в 9 1, для исследования вопроса об устойчивости рассматриваемого основного течения достаточно только установить знак мнимой части множителя р из уравнения (3.19). Но и эта ограниченная задача исследования знака мнимой части р по характеристическому уравнению (3.19) представляет весьма сложную по своим вычислениям задачу. Мы ограничимся случаем, когда произведение а)2 считается малым и когда представляется возможным цилиндрические функции в (3.11) заменить их асимптотическнмн выражениями в своей простейшей форме, На основании (3.17) и (3.13) будем иметь: яо лг =1(в)ч) '.
(3.20) Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой, параллельной мнимой оси, Но концы отрезка, этой прямой ге н л могут располагаться на плоскости комплексного переменного я в различных местах. От того, в каких четвертях плоскости х будут располагаться точки яз и я„ будет зависеть зид асимптотических выражений цилиндрических функций. Возьмйм в качестве цилиндрических функций (3.!1) функции Ханкеля, для которых имеют место следующие асимптотические выражения: НЯ(х)- $/ — е ~ (3.21) Если положить; к.= гг'г, го асимптотическне представления (3.21) будут справедливы только для значений аргумента р в пределах Х~Р~ 2' В рассматриваемом нами случае (3.1!) мы имеем: х = — я'1 .
2 Следовательно, иа плоскости комплексного переменного л = г е'г асимптотические формулы (3.21) могут быть использованы для УстОйчиВОсть ллминАРных твчвкий (тл. х! начений аргумента в пределах — е <у(-. 3 3 (3.22) о, г о (3.23) В силу детермннантного характера уравнения (3.19) постоянные множители В (3.23) будут сокращаться, поэтому в дальнейьпем мы эти постоянные выписывать не будем. Положим г=го —- и, считая ".
малым, примем: При этих предположениях будем иметь из (3.23): А=готы ' о) е з(пх(го — г1 — '.)Ы:= о о - о ~п-оп о' ' ч г ! е о о о го — ол — — ТВ1п я(го — г,)+ соя х(го — г,)), (3. 24) -о, О ~о„- оа оа ' ч. =г'Р ', [ — е " ' + го — оо го + — ю' з1п я(го — г )+ соз я(го — гт)1. Будем теперь предполагать, что точки го и г, выбраны в области указанных значений аргумента. Подставляя (3.21) в (3.11), а затем и в (3.12), получим: $ 9) тячвния с поямолинвйным птооилям таспгкдяляния скотостяй 403 После лифференцирования (3.24) получим; + г,' ! сов х (го — г,) + х з!и х (г, — г,)), ) (3.25) о Хо — Π— гун соя х(г,— г„)+хв!их(г,— г,)).
Г=— лог 1 - Иг, Ло'х Согласно (3.13) и (3.20) будем иметь: юп х(го — го) = а!и сх(а(х)Л = ! ай а, ~ соз «(го — г,) = сн а, Подставляя (3.24), (3.25) и (3.26) в левую часть (3.!9), получим характеристическое уравнение в виде (3.26) — хо + г 'зн о+ась о 'о 'о — хо — е " он о + х с!1 а о о ( н!'о'* «о После приведения к общему знаменателю харзктеристическое уравнение примет вид гу 2 — 2 сй а сй гол(а ох)'+( —,+ — ) зп а зк го'(ай)О'" = О. (3.2?) о Введам новое переменное, полагая !гол(агх) *= х, тогда будем иметь: (3,28) Х Х о а з|! г„"(аК) '" вй а =- — 4Е з!и — соз — яй — сй —, 2 2 2 2' о . х х 2 — 2 сй хо ей го'(аЯ) '=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
