Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Аегопачйса( 8с„т, 14, Эй 2, 1947. а для случая течения в пограничном слое — по формуле (4.39) 421 тачанив маждт паталлвльными станками мерений были вычислены значения 1с и и, отвечающие началу потери устойчивости. Точки вычисленных аначений Я и а располагались достаточно близко к разграничительной кривой на рис. 101. В заключение следует отметить, что применению метода теории колебаний к исследованию устойчивости ламинарного течения было ,ню И тд йУ йл ди 08 гл гр ю ло лр лр гр ла и лага тЬ Рис.
100. посвящено большое количество печатных статей в различных жур. папах. Однако только в последних статьях Лина ценой весьма сложных вычлслений удалось методом малых колебаний обнаружлть потерю устойчавости ламинарных течений между неподвижными дол /баю елпт дчзт лйю Рис. 1о!.
параллельнымн стенками и в пограничном слое при достаточно больших значениях числа Рейнольдса. Но потерю устойчивости ламинариых течений между параллельными стенками с прямолинейным профилем распределения скоростей и в цилиндрической трубе этим методом еще не удалось обнаружить. Выполненные до сих пор (гл. х~ устойчивость ллмннлтных течений теоретические исследования устойчивости ламинарного течения в цилиндрической трубе сводятся покз только к одному заключению, что это течение устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям, $ б.
Об устойчивости кругового движения между двумя бесконечными цилиндрами В й 7 главы !Н было рассмотрено установившееся круговое движение частиц вязкой несжимаемой жидкости. 1!ля единственной компоненты скорости в была'получена формула Сй о, = С,г+ — '. г (5.1) Если рассматривать круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами (г = Ь и г = а), то на основании условий прилипания частиц жидкости к стенкам получим: Ь, (1 — — з) Сэ= (ь)э аеыа — Фыг ле — ьэ (5, 2) — — + 2 (С, + — ) о + ч ~ — + — — (г — ) — ] дао 1 д до о до,. дг ' до дГ (5.3) де дг ' д(гв„) д (го ) =О дг + дг Потребуем, чтобы компоненты вектора скорости поля возмущений удовлетворяли условиям прилипания, т, е. прн г=Ь и г=а е„'=О, о'=О, о'=О.
(54) Таким образом, задача исследования устойчивости кругового двикения сводится к решению системы уравнений (5.3) при граничных условиях (5.4). Будем теперь исследовать устойчивость кругового движения (5.1) 'с помощью метала малых колебаний. Прн этом будем прел- полагать, что поле возмущений является пространственным, но обладающим осевой симметрией. При этих предположениях для поля возмущений будут иметь место дифференпиальные уравнения (2.16).
Если в эти уравнения подставить выражение (5.1), то получим: ф 5) кттговов движвнив мвждт ввсконвчными цилиндглми 423 Следуя методу малых колебаний, 'примем, что поле возмущений является периодическим по отношению к координате л и положим: л„= и, соа две, ад м о, = ив а(п лге ', ад (5.5) где множители и, и. н и, зависят только от одного переменного г. Подставляя (5.5) в уравнения (5.3) и исключая из них давление поля возмущений р', получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: = 2С,ид = — 2(С + — дд) иэ— (5.6) — д+ — д+ьи. = О где л'= дя+ —" (5.7) При этом граничные условия (5.4) принимают вид при г=Ь и г=а ид — — О, ив=О, иа — О. (5.8) Искомую функцию и (г) представим я виде ряда Фурье — Бесселя и,(г) = ~ а ад((д,„г), (5,9) ы=д где (5.10) Е (Ь„,г) = А )д(д„,г)+АяНд(й г) Таким образом, множители Ь„ суть корни уравнения 7,(Ь„Ь) Дг,(Ь„Ь) =О.
.Рд ()д,„а) ддГд (й,„а) (5.1 1) представляет собой цилиндрическую функцию общего вида, Постоянные Ад и Аз подобраны так, чтобы были выполнены граничные условия для и,, т. е. Лд/д()д„,Ь)+ А Ддд (Й,„Ь) = О, Л,/,(й а) +Л.М,(й а) =О. (гл. кг гстойчивость ллминлгных течений где Н,„= ~ г3,*(ймг) тг. ь Подставляя (5.9) в первое уравнение (5.6), получим: ч ~ — -+ — — — ~ — + Л' ~ из~ — 2СЛ ~ а,2д(й,„г). (5.13) Гнзиз ! лаз / 1 лб м=з Решение уравнения (5.13) без правой части представляет собой цилиндрическую функцию Л„(Ыг) = А„),(Гл'г)+А Ид(ЬГг), где Аз и А,— произвольные постоянные. Решение уравнения (5.!3) с правой частью можно представить в виде ряда Х К,.А(д.,г) ю=а коэффициенты которого могут быть определены после подстановки этого ряда в уравнение (5.!2) в виде 2С,а,„ '(Л + Лг) (5.
14) Таким образом, для функции а. мы получим: из(г) =Азу (1Л'г)-(-А М„(1Л'г)+~ Ь„,2~(й,„г). (5,15) Так как функция (5.10) обращается в нуль на границах, то для удовлетворения граничных условий (5.8) для из постоянные Аз и А, необходимо положить равными нулю. Обратимся теперь к уравнению (5.6) для и . На основаник рекуррентных формул имеем: — „— ~е(йг) = — ~~ (йг). 1 а Уравнению для из без правой части К Гнал 1 низ г А+ ',' 1 — 0 йг~ дгз ' г Мг На основании теории рядов фурье — Бесселя коэффициенты а,„будут представляться в виде а ат = ~ гиа (г) Еа Ямг) Ыг, 1 (5.12) и„,, ь й 5) кгкговов движанив мвждт ввсконвчными цилиндглми 425 можно удовлетворить, полагая иа = Аз+ Ар/о(!1,'г)+ Агро(!Л'г).
Следовательно, общее решение второго уравнения(5.6) можно искать в виле "а(г) = Аз+Аз!о (!Лг)+ МЧо (!Л г)+ Х ау~~о (Льаг) (5.16) Подставляя (5.16), (5.!5) и (5.9) во второе уравнение (5.6), полу- чим следующее уравнение для определения постоянных а(„;. +(Л' +й')Е,((г «) = ~У «(Л' + й~)а Е,(й г)+ ааа 1 ж=а +2(Са+ — ~) ~~» ., а 2 (й,„г). (5.17) аа 1 Подставляя (5.!6) н (5.9) в третье уравнение (5.6) и учитывая рекуррентное соотношение ха(х) хо(х) а Еа(х) получим: ~ (л а +ЛИ )Лр(й г)+Л(Аь+АеУо(!Лг)+А М((Лг)) =О. (518) на=а К уравнениям (5.!7) и (5.18) необходимо присоединить два уравнения, которые мы можем получить, удовлетворяя выражением (5.16) граничным условиям (5.8) для ие(г).
Дальнейшие вычисления, проведенные в работе Тэйлора '), приводят к бесконечной однородной системе уравнений для постоянных Аа, А„ и а . Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим характеристичаское или вековое уравнение, связывающее величины р и Л'=! ха+ — с заданными параметрами аадачи вы на, (а и а. Подробный анализ этого уравнения проводится в цитированной работе Тэйлора в предположении, что разность а+а радиусов цилиндров а — (а мала по сравнению с полусуммой — . 2 На основании этого анализа получается, что если цилиндры вращаются в одну сторону, то круговое движение жидкостн будет всегда устойчивым при выполнении следующего неравенства; еаааааа ( наля.
(5.19) а) Т а у!ос О., Ргос. йоу. 8ос. (А), т. 223, !923, 426 тстойчнвОсть ллминлвных твчвний (гл. х~ В работе Сайнджа ') покавано, что критерий устойчивости (5.19) можно доказать и не прибегая к предположению о малости разности радиусов цилиндров по сравнению с их полусуммой.
Если же неравенство (5.19) не выполняется, т, е, если аг — > —. ее Ьв (5. 20) или если концентрические цилиндры вращаются в разные стороны, то круговое движение частиц вязкой жидкости теряет свою устойчивость, как только число Рейнольдса (относящееся, например, к внешлз,„,1 нему цилиндру, т.
е. К =. — 1 превысит своа критическое значение, достаточно близкое к значению, установленному из экспериментов. -глгг -л;гг -lлл -гйт -лгг и ьр тыл гьп лпт Рис. 102. г) 3 у и й е 1., Ргос. йоу, Бес. (А), 1.опбоп, г. 167, 19Ж На рис. 102 представлена кривая, отделаюшая область устойчивости кругового движения от области неустойчивости, подсчитанная а работе Тэйлора для случая, когда Ь = 3,55 сж н а = 4,035 сж, так что ()= а 1е — 11 = 1,292.
По горизонтальной оси отложены значения — "', а по вер- Ь) тикальной — —. Есля внешний цилиндр находится в покое, а внутренний вращается или оба цилиндра аращаются з одну сторону, то появление неустойчивости характеризуется образованием ряда вихрей в плоскости меридионального сечения, заполняющих вса пространство между поверхностями цилиндров, прн этом направления вращений этих вихрей чередуются. Такое образование вихрей хорошо подтверждается экспериментально.
Окрашенная жидкость, первоначально распределенная 6 61 ов истойчивости лвижания взвешенной частицы ч27 в виде тонкого слоя по поверхности внутреннего цилиндра, впоследствии свзртывается в виде чередующихся колец, охватывающих центры вихрей. Если цилиндры вращаются в разные стороны, то неустойчивост>, кругового движения жидкости проявляется в образовании двух рядов вихрей, из которых один.
имеющий большую интенсивность, располагается вблизи внутреннего цилиндра, а второй — с меньшей интенсивностью — вблизи внешнего. В опытах окрашенная жидкость собиралась только вокруг вихрей с большей интенсивностью, а в области, примыкающей к внешнему цилиндру, вода оставалась прозрачноя. Места расположения центров вихрей, установленные на основании вычислений, очень хорошо подтверждены опытами; отклонения вычисленных значений критического числа Рейнольдса от соответственных опытных значений не превышают 2",' .
В 6. Об устойчивости движения взвешенной частицы в ламинарном потоке Первые экспериментальные исследования Людвига и Гагена, послужившие оснояаниеи для постановки вопроса об устойчиности и неустойчивости ламинарного движения в цилиндрической трубке, были проведены с помощью наблюдений над движением примешанных к воде видимых частиц. Такими частицами в опытах Гагена были опилки темного янтаря. В экспериментальных исследованиях Репнольдса наблюдения проводились за поведением тонкой окрашенной струйки, вводимой в поток прозрачной жидкости. Таким образом, при экспериментальных исследованиях производились лишь местные возмущения исследуемого ламинарного течении. а при теоретических исследованиях, рассмотренных в предылущих параграфах, возмущения накладывались на все течение в целом. В этом и заключаются расхождения между подходами а теории и в экспериментах.
Поэтому всякая попытка приблизить подход в теории по вопросу об устойчивости ламинарного течения жидкости к тому подходу, который использовался в ряде зкспериментоа, может представлять известный интерес. Рассмотрим движение частицы, авелэнноя каким-либо образом в поток вязкой жидкости. Чтобы составить дифференциальные уравнения движения такая частицы, необходимо учесть, по возможности, все основные силы воздействия на частицу со стороны окружающая жидкости, находящейся в движении. Будем эти силы относить к единице объема оассматриваемой частицы. К основным силам следует отнести, во-первых, силу веса эа вычетом статической силь> Архимеда Р = — К1р — р)у (6Л>) тле р,— плотность частицы, а у — единичный вектор вертикальной оси у.
Во-вторых, силу сопротивления, пропорциональную в первом гстойчизость ллмиилгных твчвний (гл. хг приближении разности скоростей частицы и местной скорости потока ), = — д,()г — и), (6.2) где )г — вектор скорости частицы. е/ — вектор местной скорости потока и Й вЂ” коэффициент сопротивлении, который для шаровой частицы ралиуса а будет равен й = — —. Я и 2 лз' (6.3) Помимо этих двух сил, необходимо учесть и боковую силу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
