Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 74
Текст из файла (страница 74)
438 [гл. хп тггзтлентнов движения «=и ~я~~ ~т«г« «=1 го"— ~ >л« «=г (2.!) где и — число точек. Лвиже»гие системы точек можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного двнжсния, совпадающего с движением какой-либо точки, выбранной за полюс О, и совокупности относительных движений всех отдельных точек системы по отношению к системе координат, движущсйсв поступательно виесте с полюсом, т.
е. Ъ >„— — — Уо+- Уь (2.2) где Ъ'« — всктор скорости точки с массой т« по отношению к ннерциальной системс, Уо — вектор скорости полюса О по отношению к той же системе координат и Ъ" — вектор скорости относительного « движения рассматриваемой точки по отношению к систел>е, движущейся поступательно вместе с пол>осам. Главный вектор количеств движения системы и кинетическая энергия системы при этом будут представляться в виде Я = ~ т«Ъ'г = Уо ~ тг+ ~г т«Уь «=1 «=1 «> г=п )жз г Т= 2 ~~т«Ъ'« =- «-> «=.и «=и «=и 2- ~ Уба ~» т«+ 2 Ъ о Ъ т«Ъ «соя ( Ъ «Ъ о) + ~~и тг У «) =1 «=г «=г (2.3) $2. Метод осреднения Лля изучении турбулентного движения жидкости широко используется метод осреднения не только отдельных кинеиатических и динамических харак>еристик движения, но и ряда уравнений.
Наив»>нн»> некоторые положения теоретической механики, которые до некоторой степени могут служить исходными механическими основаниями для использования негода осрсднеиия. Рассмотрич некоторую систему дискретно расположенных материальных точек. Положение точки этой системы с массой т«относительно некоторой инерциальной системы будет определяться радиусом-вектором гг.
Радиус-вектор центра масс С этой системы точек будет представляться в виде 6 2) метод осгедивння Таким образом, кинетическую энергию лвнжения системы относительно инерциальной системы отсчета нельзя составлять как сумму кинетических энергий отдельных движений системы при произвольном выборе полюса. Но если за полюс выбрать центр масс системы материальных точек и положить: ть — и„+т', (2.4) где г' — радиус-вектор точки с массой лего с началом его в центре в масс, то при подстановке (2.4) в (2.!) получим: ~ь: твг, = — О, л=т (2.6) а после дифференцирования по времени (2.5) будем ииетгц л=и ~ ть )гь = О. В=1 (2.6) Полученное равенство (2.6) означает, что главный вектор количеств относительных лвижений псех то щк рассматриваемой системы по отношснию к ее центру масс равен нулю. Учитывая (2.6), получим нз (2Л): а —.ч ~г жаря а=ч п~ь ь-! х: (2.7) ~ро,ыша а -.! ! кч з 1 Г =- — гтн лгь(гь = -;, Таким образом, при выборе за по:пос центра ьщсс системы кинетическую энергию общего лвиження системы можно представлять как сумму кинетических энергий отдельных составляющих движений этой системы.
Приведенные выше положения из теоретической механики можно истолковать несколько иначе. Операции суммирования в (2.6) и (2.7) можно рассматривать как операпни огредненин по массам точек рассматриваемой системы. Тогда поступательное переносное движение системы точек со скоростью \го лщжно рассматривать как осреднйнное йвиженне системы точек, а совокупность относительных движений точек системы по отношению к систеие координат, перемещающейся вместе с центром масс поступательно, как совокупность пульсацивнных двилсений отдельных точек системы по отношению к осредненному движению системы. При таком толковании )й=о. (2.8) Выделим теперь из системы точек подсистему из и, точек (л,((л). Положение пентра масс этой подсистемы точек по отношению к центру масс всей системы будет определяться равенством й-н Хшйг" й=т "о, — й=, ~г мй й.= ь Полагая гй гс +гй (2.9) где г'„' — радиус-вектор точки подсистемы с началом в центре масс этой же подсистемы, получим: й=н, ,б; тйгй = О.
й=г (2.10) Вектор скорости пульсационного лвиження точки подсистемы можно представить как сумму вектора скорости пульсацнонного движения центра масс подсистемы и вектора скорости вторичного пульсационного движения рассматриваемой точки по отношению к первичному осреднднному пульсационному движению подсистемы, т. е. Р'= 1'о+ 1'й (2. 11) Для осреднбнного вначення скорости вторичного пульсационного движения получим из (2,10) после дифференцирования: й=в, лгй)гй = О. й=! Проводя осреднение равенства (2.11) по массам точек подсистемы, (2.12) получим; отдельных движений вектор то будет представлять собой вектор скорости осреднднного движения системы, а вектор ьгй — вектор скорости лульсанионного движения рассматриваемой точки с массой тй.
При этом осредненное вначение вектора скорости пульсацнонного движения на основании (2.6) равно нулю. Если операцию осреднення в указанном выше смысле обозначать чертой сверху, то первое равенство (2.7) и равенство (2.6) можно представить в виде метод осгвднвния При сопоставлении равенств (2.8) и (2,!3) мы приходим к заключению, что результат осреднения существенно зависит от того, проводится это осреднение по всей системе точен или по отдельной подсистеме точек. Разумеется, операцию разбиения системы на подразделения, содержащие вса меньшее и меньшее количество материальных точек, можно продолжать и далее.
Слеловательно, наряду с первичным пульсационным лвижением точек системы можно вводить в рассмотрение вторичные пульсационные движения точек отдельных подсистем всей системы, третичные пульсационные движения точек дальнейших подразделений подсистем и т. д. От дискретной системы материальных точек перейдвм теперь к сплошной среде. При этом переходе мы должны ввести в рассмотрение плотность срелы р, элементарный объвм дя = Их' Фу' Ыг', где х', у', г' .
координаты элементарного объема по отношению к системе координат с началом в центре фиксированного объвма -., коорлинаты центра объвма ". по отношению к инерциальная системе отсчЕта х, у и г и операцию суммирования заменить операцией интегрирования, Выбор объема ".
предопределяет выбор коорлинат его центра х, у, г, но ещЕ не предопределяет выбора текущих коорлинат х', у', г', поэтому обе группы координат можно рассматривать как две группы независимых переменных. Для точек, находящихся внутри объвма с, вектор истинной скорости необходимо рассматривать как функцию от всех шести указанных координат, т. е. У= У(х, у, г; х', у', г', Г). Вектор же скорости осредненного движения частиц в объвме т будет функцией от координат центра объема и времени, т.
е. ()=(г(х, у,, г), Операции осреднения нри этом определяются следующим образом; и(х,у, г, П= ~ ~ рь'(х, у,, х', у', е', е) их'Иу'ие' — У(х, у, г, г)— (2.14) ) ) рихеиуе иге Поле скоростей в объйме -. будет состзвляться из поля равных скоростей осредллиного движения и дополнительного поля переменных скоростей, называемого полем пульсаций. При этом вектор скорости поля пульсаций определяется как разность вектора истинной скорости и вектора скорости осреднбнного движения, т.
е. У'(х, у, г; х', у', г', Г) = У(х, у, г; х', у', г', Г) — (е (х, у, г, Г). (2.15) гтеюленгнон движснне Ып, ьи Если провести операцию осреднения над обеими частями равенства (2.15) и использовать (2.14), то получим: (2. 16) т. е. осреднйнное значение ленгнора сьороснги полн пульсаций в финсированном объа.гге ". равно ну,гю. Операция осреднения (2.14) имеет тот же механический смысл, что и операция выделения из движения системы материальных точек переносного двигкения вместе с центром масс системы, и равенство (2.16) при этом выполняется строго.
Будем теперь плотность среды считать постоянной в пределах рассматриваемого объема т, т. е. р=р(х, у, г, г). (2.17) Тогда из операции осреднеция (2.14), нмеюищй определенный меха- нический смысл, мы получим чисто математическую операцию осред- нения по объему 0(х, 16 г, г)= у(х, у, г, г)= — ~ 1г(х, у, г; х', у', -', г)йх'йу'дг' (218) 1 1 Г р(х.
у, г, г) = —. — ~ ~ ~ р(х, у, "; х', у', г', Г)йх'йу'дг 1 р„. (х, у, г, Г) = — — ~ ~ ~ р„.(х, у, г; л', у', г', г)дх'Лу' Лг', р„(х, у, г; х', у', г', г) Пхг йу'йг', ре(.т, у, г; х', у', г', г) йх' ггу' йг', Т(х, н, г: х, у, г. г)йх йу агг. Ре(х у (2.19) р,(х, у Т(х, у Такого рода математическую операцию осреднения по объему можно теперь проводить по всем величинам, связанным с каждой точкой объема осредненил, и даже по тем соотношениям и уравнениям, которые должны выполняться для каждой точки в объеме ",. Следовательно, наряду с вектором скорости осреднйнного движения () можно ввести осреднйнное д'авление р, тензор осредненных напряженой р., р„, р, осредненную гнемперагнуру Т с помощью следующих равенств; 2 2) 443 метод осведнгния В таком случае под нульсациями давления, тензора наирялсений и температуры следует понимать величины, прелставляемые в виде следующих разностеи.
р(х у»'х,)>',»П)=р(.,у,г; -',У', ',>).,(. р (х,у,»;х',у',»',() —.«р (х,у,г;х',у',г' Г) р (х у» () р„(х У г: х ° У, », П вЂ”.р (х,у,»; х>,у',г'П) — р (х у г т) р' (х, у, г; х', у', г', е) =-- р, (х, у, г; х', у', »', т) — р (х, у, -, с), Т (с,у,г; х',у>,г,т) -.= Т(х, у, г; х', у', г'П) Т(х у г С) (ух2о) р' =-- О, р'„= о, р,', —. о, р' =. о, У'= О, (2.2!) 'г)аряду с матема>ической операцией осреднения по обьему можно всести также формально математическую операцию осреднения ао времени. Обозначим величину фиксированного интервала времени осреднения через Лб и пусть центр етого интервзла времени совпалает с фиксированным произвольным моментом времени с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
