Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если исходить нз уравнения (3.1), выражающего закон Ньютона, то, прибавляя к левой части произведение вектора скорости тг на левую часть уравнения нераарывности (1.7), мы получим уравнение (2.10), выражающее изменение количества движения в фиксированной точке пространства. Следовате.чьно, используемая в й' 2 теорема об изменении вектора количества лвижения в фиксированном элементарном параллелепипеде для случая среды частиц с постояннымн массами полностью зквивалентна закону Ньютона. Однако прнвоаимая в $ 2 формулировка теоремы об изменении количества движения имеет преимущество по сравнению с обычной формулировкой закона Ньютона.
Это преимущество заключается не только в том, что для вывода уравнения (2.10) не потребовалось понятия ускорения фиксированной частицы, но н в том, что рассуждения по выводу уравнения (2.10) оказались весьма простыми и сходными с рассуждениями по выводу уравнения (1.7) изменения масс. Следовательно, способ Эйлера изучения движения только в окрестности фиксированной точки пространства проведен последовательно не только при выводе уравнения неразрывности, но и при выводе основного уравнения движения среды.
Входящие в уравнение (3.1) векторы )г, Р,, ра и Ра можно представить в виде суммы произведений проекций зтих векторов на касательные к координатным линиям на единичные векторы зти. касательных !',, !'., 1.„т. е. 80 лиаявтянцилльныв ттлвнвния движения вязкой жилкости (гл. и Следовательно, уравнение (3.1) в проекциях на декартовы оси коор- динат представится в виде ди дл Возьмем теперь случай цилиндрических координат. Лля этого слу чая булем иметь (рис. 19) Ча = л и =! лх — Г, Н =1, Чэ = р Н.,= г, Фг = о, (3А) Ры Р1 Рга=Рт Ры Рж Раз =Р а Рэз = Р а Ры =Рте Р =Р= Рж=Р ~ Рвг =-Рм Рис.
!9. Иэ единичных векторов гы юз, 1„последний будет постоянным, а первые лва будут меняться по углу у. Из теоретической механики известно, что дтг д!г —,' =вэХ1, — =-еаХ '., дав В данном случае вектор угловой скорости поворота направлен по дт оси Е и по величине равен †, т, е. иг ' ы= „— ю', а поэтому будем иметь: (3.5) Учитывая эти равенства, получим: др д два дт — = — (о г,+и 1а+о,дз) = до, дэ до, дт ' дт Я ' дт = — 1 + — т1 + — 1з+о,дэ — - о„1,, д диэ в г - 'дà — (НвН,Рв) =,— (РтА+ Рттдэ+ Рт:гэ) = дртг дртт дРт . дт дт 1х+ гэ+ д э+Рг ха Ртт а (3.6) ди ди — +и— дг дл дэ до — +и— дг дх дгл дге + и дг дх ди + о — + те ду де +о — +~ ду дге + о — +.те ду $ 31 диеевранцнлльные хглвнвния лвижкния сраны в напряжениях 81 дог дог н диг двг и', +о +-- +ив дт "дг г др "дл г ! удр, дргт, др„р„,-р.', =Р+ — 1 — + — -+- — + — ), р (,дг где дл г )' дет дв е дов дцт я„св — + о.— + -'-'+о — + — = дт гдг г др 'дл г де„дез о, дв, дн, — +р — + — ' — + дт ''дг гдт гдз =-Р*+ (д + д.'+ д'+ ) (3.2) Возьмем теперь случай сферических коорлинат (рис, 20).
Для этого случая будем иметь: л =гт, Н =1, уч == 0, На = й, дэ — сц На- — ге 51п 0; ) (3.8) Ры Рлл' Ры Рл~' Ры Рл ! Рю Р~л Рээ — )Риг Рэз — Р г Рм ='= Ртл Ры =' Р„.~ Ры = Р, . В дзнном случае все елиничные векторы изменяют своь направление при переходе нз Рнс. 20. одной точки в лружую, если этот перехол связан с изменением двух координат 0 и 2. Вектор угловой ско- рости поворота с изменением угла 0 будет направлен по касатель- ной к коорлипатной линии у, т, е. Вектор жс угловой скорости поворота с изменением угла ф будет направлен по оси Е, и поэтому булем иметь: ы = — (соэ0г — э!п оюя).
дт Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.4) и (3.6) и собирая коэффициенты слева и справа при одинаковых единичных векторах, получим слелующие лифференциальиые уравнения лвиження сплошной среды в цилинлрических координатах в коипоненгах напряжений: 82 лиеевгвнцилльные твлвнения лвижвння вязкой жидкости ьгл. и Учитывая эти равенства и равенства для производных от единичных векторов по времени, получим: дЮ„ дв =ЮзХ(з= — '=(соз Ою,— з(п 01з) Хю, = з)п 0)з, дЮ, з дт — ю', — ' = (соз Мю — зюп 01) Х1я= соя 0(з, дю, т О, д - — — (соз ОЯ,— з)п ОЩ(ю~= — соз 0)з — ~1пОКы двз в дЮ дз = юзХ~г = з (3.9) дюз дз =ююХ"ю= На основании этих равенств булем иметь: до' д д— ,„= дз (ол(в+оввз+ отюз) =- дол доь до„ дз з+ дз з+ дз з+ из дР д д д (олью+пью' ~ о Ч— Чз т т дол дов . до = — г + — ю(+- — тю(+ дт ' дт з ду + ов 5!и юююз+ов соя 01з — о, соз юьюз о зьп Оюь д д д— „,Жив) = дз 1Ю зььь 0(Рвлюв+ Рььюэ+ Рвь(з)1 = (3ПО) = ьь соз 0 (Рввюз+ Рввюз+ ЮзвтЮз) + дль дльз .
дль, . +)~"" 0(дз ' + дз ' + дз'"юз+Р ' — Р4) д д дй ()зь)тьРз) = д. М(Ртл)ю+Рььюю+Р юЛ = Юдоьв . ОРьь дР +Р всозОЮж — Юэ сов бюз — Р„„эьп Ою ), Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3,2), (3.8) и (3.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых елиничных векторах слева ь и справа, получим следующие дифференциальные уравнения вижеь ия сплошной среды в сферических кооодинатах в компонентах л гвлвнкнив пеевносл полной знеегии напряжений: дерк дек е д'рк г дпк ее -(- ез дт дк( А' дз РерпО дт р — к+од — + — ' — + — т — — — т = 1 гдркв 1 дРьк 1 'др в = рл+ — ~ — + — — + — — ь Г !( дв0 я, дз рзрпО д 1 + ~ (2рлк+ 0!К Орьн — р„— р де, деь е де„е де+в е ц~ дт дЛ' ' А' д0 )серп О дэ Аь др — +ел — -'- — ="+ — т — —,+ — ' — — ес)сО = 1 МИко 1 дкм 1 д.е, Рь+ 1 + + — — те+ Р д0 10е1п 0 дт 1 + —,(рмссаб+Зр,„— р с)ЕО)1, де еь дет е'т де е ев — '+ — -+ — — + — — + + — ' дг дЙ д дв де1пО дт рз лр 1 гдркр ! дрьр 1 ь ( д)0 )О дв ' 10 зря О дт + — (2р 01к О+ Зр л)~, (зп !) й 4.
Уравненне переноса полной энергии Переходя к выводу уравнения изменения энергии в фиксированном элементарном объеме, заметим, что в термодинамике под внутренней энергией системы полразумевается та часть полной энергии, которая зависит от температуры, объдма и химического состава системы, при этом, если пренебрегать энергией взаимодействия частиц системы друг с другом, то внутренняя энергия обладает свойством аддитивности, н поэтому можно ввести понятие удельной внугвренней энергии е, представрряюшей внутреннюю энергию единицы массы. Если мы будем рассматривать фиксированный объем, не изменяюрцийся во времени, то полная удельная энергия елиницы массы будет 1 состоять из кинетической энергии — (ря и внутренней энергии е.
2 Изменение полной энергии массы в фиксированном малом объеме за малый промежуток времени Ы будет составляться из о~дельных изменений за счет: !) входа и выхода масс через границы обьвма, 2) элементарной работы объвмной силы Р, 3) элементарной работы векторов напряжений р,, ре, рз и 4) притока тепла благодаря теплопроводности, г(ругие источники изменения полной энергии (излученне и пр.) мы учитывать не будем. Подсчитаем отдельные изменения полйой энергии в фиксированном параллелепипеде с ребраии Оэо еэа, Оэв. 34 диФФеРенциАльные УРАвнениЯ дВижениЯ ВЯзкОЙ инакости Ггл.
и В момент Г масса, содержащаяся В фиксированном объвме Ьгеазйзз, бУлем иметь полпУю энеРгию, РавнУю [( —, + а) р] Н,Н Нлйд, йд ед,, а в момент Г-+ЬГ булет иметь: р( —,+з)] Н Н Няйд,йдаьда= = ~ [р( — +-а)] + — [р ( — +а)] бт+... ) Н НЕН Зд,йдаЗда. [Гох ( 2 + В)НВНА] едэ еда йт. Через противоположную грань, проходящую через точку с коорлинатами д +эд,, д, дз, выходящая масса вынесет количество полной энергии, равное [ГО,НАНА ( — + В)] едя ьдз — ( [зп, ( — + е) Н.,НА] + + — [Ро ( — + е) НЯНЯ]йд,+ ...
~едэйдзМ. Следовательно, внутри параллелепипеда задержится следующее коли- чество полной энергии: — — [ро ( — +з) Н. Н ~йд едчедаМà — .. г4. 2) Повторяя такие же рассуждения по отношению к граням, перпе~гдикулярным к касзтельным к координатным линиям дя и д, получим: — — ) РВ, )--+ а~ Н НЯ1 йд 'дяйдя бт —... 44.3) Складывая выражения (4.'2) и 44.3), получим приращение полной энергии в фиксированном объеме за счет Входа и выхода масс через Следовательно, приращение полной энергии в фиксированном объеие за промежуток времени ОГ представится в виде Л вЂ” )Р~ — +яд ЬГНЕНВНаедгьдяйдз г Через грань, перпенликулярную к касательной к координатной линни д, и прохолящую через точку О с координатами ди дю дз входящая масса ро,НЯНзодяйдт внесет с собой в параллелепипел следующее количество полной энергии; 86 диеевтянцилльныв ягавняння лвижяния низкой жидкости (гл.
и Через перелнюю грань, перпендикулярную к касательной к координатной, линии д,, за промежуток времени Ы будет передано по закону Фурье следующее количество тепла: — (х — Нзйз) йд, йда Ьд дТ Над, з в з а Через противоположную грань за тот же промежуток времени будет передано количество тепла, равное — (х — — — а) ОдзВдадт = / дТ НаНа~ ддг Нг )я,чля, Следовательно, внутри параллелепипела задержится следующее коли чество тепла: д I дТ НаНя' — (х — а ' ) йд„йд. бдяща+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
