Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это новое условие можно выразить равенством нормальной составляющей вектора скорости частиц скидкости скорости перемещения по нормали точек самой свободной поверхности, т. е. 1 ч — ( чч (7.11) где т'чл — скорость перемещения по нормали точен самой поверхности. Мы рассмотрели лишь те грзннчные условия, которые должны выполняться для скоростей и напряншний, Этих условий будет достаточно для изучения ряда случаев движения несжимаемой жидкости и некоторых случаев движения нязкой сжимаемой жидкости, в которых можно пренебрегать изменением температуры. При учЕте изменения температуры необходимо вводить в рассмотрение и граничные условия по отношению к температуре, которые могут быть весьма разнообразными, и поэтому об этих условиях целесообразно веста речь не в общем виде, а в каждом конкретном случае отдельно.
8 8, Замечания об общей задаче гидродинамики вязкой жидкости С математической точки зрения общая задача сидродинамики вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению следующей совместной системы четырех дифференциальных уравнений с частнылси производными второго порядка: (8.1) При этом искомое давление должно быть непрерывным, конечным и положительным, а искомые скорости должны быть также, вообще говоря, непрерывны и ограничены. На неподвижных стенках искомые скорости должны обращаться в нуль: и=О, о=О, ш=О, (8.2) дл — + дс до дс — + дж — + дг дл ди дл 1 дР и —.+ о — + ш — = Š— — — + т Лсс, дх ду дг х я дх до до до 1 др и — + о — +ш — = г — — — +что, дх ду дх и Е ду да~ дос дж ! др и — +о — + ш — = Г,— — — +тдш, дх ду дх * Е дх ди до дш дх ' ду дх — + — + — =- О.
98 диьовгенцилльные зглвнания движгния вязкой жидкости [гл. и на подпижных стенках эти скорости должны совпадать со скоростяии точен стенок: П =их и — 'От Ш вЂ” шт (8.3) а на свободных границах нормальная составляющая напряжения должна быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль, т.
е. Р„„= — — РФ Лч, = б. (8.4) При неустановившемся движении искомые скорости должны к тому же удовлетворять и начальным условиям; при Г = 0 и =- ио (х„у, л), о = по (х, у, г), то = шо (х, у, л). (8.5) Вопрос о существовании решений системы дифференциальных уравнений (8.1) при граничных и начальных условиях (8.2), (8.3), (8.4) и (8.5) в своей обшей форме до сих пор не разрешен. В таком же состоянии находится и общий вопрос о единственности возможных решений этой системы уравнений.
Основное затруднение как в общем исследовании вопросов о существовании и единственности решений уравнений (8,1), так и в фактическом построении решений этих уравнений для конкретных простейших случаев движения вязкой жилкости заключается в наличии в левых частях первых трех уравнений нелинейных слагаемых, так пазываел1ых кзодратичимм членов инерции, Квадратичные члены инерции имеют место и в дифференциальных уравнениях движения идеальной жидкости, которые мы получим из (8.1)'путем зачеркивания в правых частях слагаемых, содержащих в качестве множителя кинематический коэффициент вязкости. Этн нелинейные слагаемые и в этом случае весьма затрудняют проведение общих исследований о существовании и единственности решений уравнений, и, например, в большой монографии Н. 91.
Гюнтера ') такого рола исследование о существовании решения проведено лишь для случая движения несжимаемой жидкости в безграничном пространстве без каких-либо границ и при условии, что силы имеют силовую функцию. Но все же для случая илеальной жидкости возможности фактического построения решений уравнений движения для отдельных случаев весьма широки и не идут в сравнение с возможностями фактического построения решений уравнений движения вязкой жидкости.
Такое положение следует объяснить прежде всего тем, что для случая идеальной жидкости затруднения, вызываемые наличиелг квадратичных членов инерции, немедленно отпадают при предположении существования потенциала скоростей. При предположснии существования потенциала скоростей задача о движении идеальной и несжимаемой з) Г ю н те р Н. М., Об основной задаче гилромеханики. Известия Физ.- мат. ип-та нм. Стеклова, г.
11, 1926. ь 81 замечания оз овщвй злллче гидгодинлмики вязкой в<и>ткости 99 жидкости во многих случаях становится линейной, благодаря чему предоставляется возможным получать новые, более сложные течении с помощью линейной комбинации простейших течений, отвечающих частным решениям лифференциального уравнении Лапласа. Длв вязкой же жидкости предположение о наличии потенциала скоростей, как это булет показано ниже, становится совершенно невозможпым. Вследствие этого всякая конкретная залача о движении вязкой несжимаемой жидкости почти всегда нелинейна. Благодаря этому новые случаи течения вязкой несжимаемой жидкости нельзя получать с помощью простого наложения уже известных течений.
Общего метода построении решений нелинейных дифференциа>н,- ных ураннений (8.1) не существует. По этой првчине при изучении отдельных лвижеиий ввзкай жидкости приходится идти лвумв путями; 1) либо заранее задавать виды траенторий всех отдельных частиц жидкости и устанавливать отвечающие этим траекториям частные решения уравнений (8.1), 2) либо прибегать к приближенным методам, позволяющим в той или иной мере упрощать уравнения (8.1) н приспосабливать их к характеру отдельных типов нонкретных задач. Поскольку задавать заранее траектории всех частиц в конкретном виде можно лишь в ограниченном числе случаев, постольку первый указанный путь использовании уравнений (8.1) по своим возможноствм весьма ограничен. Что же касается второго пути — пути использования всякого рола упрощений самих уравнений, то возчо>кности его весьма широки. Большинство конкретных задач о движении вязкой жидкости, имеющих тот илн иной практический интерес, решено именно на основании приближенных уравнений движении вязкой жидкости, получаемых из полных уравнений (8.1) с помощью отдельных упрощений.
По этой причине при дальнейшем изложении основное внимание будет уделено приближенным методам интегрировании лифференциальных уравнений движении вязкой жидкости. ГЛАВА !!! ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В 1. О невозможности безвихревого движения вязкой жидкости Если предгюложить, что силы, отнесенные к единице массы жидкости, имеют силовую функцию (1, т, е. д = я!ад и, н пронести преобразование левых частей дифференциальных уравнений (8.1) славы П, пользуясь выражениями (5.5) главы 1 для проекций вехтора-вихря частицы, то получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости я форме Громеки — Ламба 2 (а ю — аги) =- — ~ У вЂ” — '- — — Ъ"з) + ч Ьи, 1 дх! р 2 2иг.— >=- — (и — ---гэ)г.а, ~ д / л 1 дух р 2 2 (а о — ш и) = — — 1() -- — — — (г ) + ч Ью, ! Р Вх(, а 2 ди до да — ~- — + — = О.
дх ду дг ди д! + -'-"-+ д! да — -Ф. де (1.1) Посмотрим, что произойдат с уравнениями (1.1), если предположить, что проекции вектора-вихря в некоторой конечной области обращаются я нуль, т. е. шш — О, а„=О, а,= О. (! .2) При таком предположении движение жидкости я этой области будет потенциальным, т. е. проекции вектора скорости частиц жидкости будут представляться через потенциал скоростей в виде дт де дт (1,3) Подставляя выражения (1.3) а четвертое уравнение (1.1), получим для потенциала скоростей дифференциальное уравнение Лапласа йр= О. (!.4) ТЕОРЕМА 0 РАССЕЯНИИ ЭНЕРГИИ В силу соотношений (1.3) и (!.4) будем иметь; йи = й ( д ) = д (йг) = О, и аналогично для по и йш.
Таким образом, слагаемые, обусловленные наличием в жидкости вязкости, нз уравнений (1.!) будут совершенно выпадать, а на основании оставшихся слагаемых получим интеграл Лагранжа — Коши, т, е. де р 1 '+и —.р -ь' =у(!), дс Р 2 (1.5) 2 2. Теорема о рассеянии энергии В !! 5 главы П было установлено дифференциальное уравнение иаменения внутренней энергии фиксированной частицы с постоянной мессой, имеющее вид (де де де »2! др др ' др + — ~ — (х — )+ — (кд )+»в (е» )1, (2.1) Итак, принимая предположение (1,2) об отсутствии вихрей в какой- либо области, мы получаем соотношения (!.3), (1.4) и (1.5), которые имеют место как раз для движения идеальной несжимаемой жидкости в этой области при отсутствии вихрей, т. е.
распределение скоростей и давлений в той области, где движение вязкой и несжимаемой жидкости предполагается безвихревым, не будет зависеть от коэффициента вязкости. Если бы при этих условиях можно было удовлетворить граничному условию прилипания к твердым стенкам, то вопрос о возможности безвихревого движения вязкой несжимаемой жидкости решался бы положительно.
Ио легко убедиться в том, что решения, отвечающие потенциальному движению идеальной жидкости, не удовлетворяют в то же время условию прилнпания частиц к границам, за исключением особых случаев. К таким особым случаям относится, например, чисто циркуляционное течение идеальной жидкости вокруг круглого цилиндра, в котором все линии тока будут окружностями, охватывающими заданный контур круга. В идеальной жидкости все точки контура неподвижны, и имеет место скольжение частиц жидкости вдоль контура с одной и той же скоростью. Для случая вязкой несжимаемой жидкости надо предположить, что цилинлр вращается.
Если исключить нз рассмотрения указанные выше особые случаи, то мы должны придти к тому выводу, что предположение о потенциальности движения вязкой несжимаемой жидкости несовместимо с самим явлением вязкости. Иначе говоря, еснкое движение вязкой несжимаемой жидкости будет движением еилрееым. (О2 озщив свойства движения вязкой жидкости (гл. ш где а представляет собой внутреннюю энергию единицы массы, а à — температуру.
Группа первых трех слагаемых в правой части представляет собой ту часть работы напряжений, которая идат на приращение внутренней энергии единицы массы. Эта часть работы напряжений, приходящаяся на единицу объема и единицу времени, для случая несжимаемой жидкости называется энергией рассеянии, Чтобы оправдать это название, подсчитаем полную работу всех снл, лействующих на массу жидкости в конечном объеме, и выясним, какая часть этой работы идет на изменение кинетической энергии рассматриваемой массы, а какая часть переходит в тепловую энергию, т. е. рассеивается.
Элементарная работа массовых снл, действующих на массу в объеме т, на элементарном перемещении Уйг будет представляться в виде (2,2) Элементарная работа напряжений, распределенных по всей поверхности 5, ограничивающей объем с, будет равна Ая йг —. Ц рл УйБ г(1. (2.3) Так как вектор напряжения на площадке с нормалью п прелставляется в виде рл —.р„(+ря т+рчп, Авй(=- ( ~ ~~ —,(,в, У)+ — '(ря У)-) + — (ре . У)~ йт йг. (2.4) Выражение в квадратной скобке представляет собой полную элементарную работу напряжений, распределенных по поверхности элементарного объема (см. (4.8) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
