Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 15
Текст из файла (страница 15)
М. П. Воларовнча) рассматривал смазочные масла при низких температурах также как пластически-вязкие среды. Им же разработаны и некоторые приборы для определения величины предельного напряжения сдвига. Второе соотношение (!2В) с заменой р.,-, и г,,- через максимальные компоненты было использовано А. А. Ильюшиным 4) з созтанной ии теории пластически-вязких дефориаций некоторых металлов.
До сих пор состояние деформаций характеризовалось одним только тензором скоростей деформаций. Если для характеристики состояния деформаций в каждой точке среды привлечь, помимо тензора скоростей деформаций, еще и тензор самик деформаций, то можно получнгь и другие соотношения, отвечающие другим видам сред с различными механическими свойстваии. Скорость деформации представляет собой величину деформации, образованную за единицу времени. Следовательно, чтобы получить величину деформации, образованную за конечный промежуток времени, надо скорость этой деформации умножить па дифференциал времени и проинтегрировать, например, от нуля до произвольного момента времени г.
Таким образом, величины объбмной деформации н девиатора самих дефоР- мзцпй потуг быль представлены в виде (12.4) (!2.5) Примем, что первый инвариант тензорз напряжений линейно зависит от первых пнвариакгов тензоров деформаций и скоростей деформаций, т. е. с 1 —, ( р + рз + рз) = — р+ 1. 0 .+ ).
~ 6 31, (! 2.6) з Кроме того, положим, что и девиатор напряжений также линейно представляется через девнаторы деформаций и скоростей деформаций, т. е. (О г ) =- ())э) + 2Н (О,) + 20 ~ (Рг) ЛГ, (12.7) где (()э) — постоянный девнатор. Соотношения (126) и (!2.7) обоб;цают со. отношения (11.3) н (11.19) в сторону учета дополнительных слагаемых в правых частях, пропорциональных самки деформациям.
Поэтому онн в себе будут содержать уже как частные случаи, и те соотношения, которые имеют место лля вязкой среды, для упругой среды н упруго-пластической среды. Этн соотношения включают в себя гзкже и случай среды с последеастаигж. г) См. сноску на стр. 67. з) В 1п 6 й а ш, Г)нщйу апб Р1азнсцу, (4еж-хогй, 1922. з) Вола р он и ч М.
П., Вязкость смазочных масел, Изд. АН СССР, 1944. г) И лью ш и н Л. Л., ученыс записки Мру, вып. 39, !940. 9 12! 69 РАЗЛИЧНЫН ВИДЫ СРЕД В самом деле, положим в последнем соотношении (12.7) постоянный девнатор равным нулю. Прнменяа зто соотношение к одной нз компонент сдвига, будем иметь. Рта =2рвсз+ 2П ~ асал!. о Полагая напряжение равным нулю, а Р и П не ззвнсящнмп от врененн, после дифференцирования будем нмсть: ссзгз П вЂ” + — т,з =О. пе После Интегрирования зтого уравнения получим: н — г агл = (гсз)з е (12.9) ссра+Рз ~ рлпс-рсйг~ агап! =О, (12.1!) т) Ке)ч(п, Марш апб Рйуз, Рарегз, г. 3, Сашйгщйе, 1890. з) Чо!81, Апп. Рйуз. Спенс (97(ебешап), т. 47, 1892.
з) М а хтв е11 3. С., РМ(. Май. (4), 35, 1868. Скорость деформацпп сдвига будет убывать после обращения в нуль соот. ветственного напряжения по закону показательной функцлн, а как рзз стим свойством н характеризуется срела с простейшим видом последейстаня. Идея учета вязкости ддя твбрдых упругих тел была впервые выдвинуса Кельвином с) в 1878 г., но формальные соотношенпя вндз (12.8) были введены в рассмотрение позднее Фогтоьсз) а 1892 г, В соотношеннн П26) первый инвариант тснзора скоростей лсформацнй входит однц раз явно и второй раз под знаком интеграла, тогда как первын инвариант тензора напряжений входпг только явно, Аналогичное положение имеет место н в соотношеннн (12.7) по отношению к девизторам.
Следовательно, соотношення (!2.6) н (127) можно н далее обобщить, ползгая, что напряжения будут в новых соотношениях представлены гак жс, кзк и скорости деформаций. В таком случае полу шм: г Ч"„СЬЬ Ч С,-'т)и, се З - Аь*,( -,1 > (12.! О) с й и Ссьс Ь(с пс «сис сч(сис .=./ з а ! Соотношеннл (1230), солержащне !О коэффициентов, будут представлять среду, в которой состояння нзпряженпй н деформаций будут находиться в достаточно слоскноус завпснмости друг от друга. Частный случай среды е релаксацией напряжений, введенный Максвеллом ч) в !868 г., мы получим, еслц положим: йз = о, йз = О. В самом деле, применяя второе соотношенне (!2.10) к компоненте напряжения сдвига, получнм: ?О скогости дееотмлцнй частицы.
компоненты нлпвяженнй (гл,г Положим, что коэффициенты йт и,эа не зависят от времени, тогда после дифференцирования (12.11) яолучнм: д~ — + йарш+ дрш = б дргь (12.12) Соотношение (12.12) как раз и представляет собой то соотношение, которое было принято Максвеллом. Полагая скорость деформации сдвига е,в равной нулю в проводя интегрирование, получим: — т Рть = (Рть)ее т. е. вапряжение после обращения скорости деформации в нуль будет убывать по закону показательной функции. Отношение — называется нериодож ()1 (12 оелаксации напряжения, ГЛАВА !! ДИффВРВНЦИАЛЬНЫВ УРАВНВНИЯ ДВИжвния вязкой жидкости В 1. Уравнение неразрывности Положение фиксированной точки пространства в области, занятой жидкостью, будем определять с помощью криволинейвых ортогональных координат д,, д, и да, Череа зту точку провалам три линейных элемента координатных линий Ьо ьл, еаз, равные йаь = Н, йдн Вая = На ада, ьха =.
На еда. (1.1) Рассмотрим параллелепипед, построенный на зтих трех линейных элементах !рис. 17). Компоненты вектора скорости частиц булут представляться в зиле о, = Н, —,, оа =-. На — ', иа = ̈́—. !1.2) Рис. 17. Проконтролируем изменение массы в фиксированном параллелепипеде двуия способами: 1) способом непосредственного подсчЕта изменения масс и 2) способом учета входа и выхода масс через границы. В момент Г масса в фиксированном параллелепипеде !!),Н,Н,Н, йд! 3д,йда.
В момент Г+Ь1 лг (р)гчюН,НяНаьд, Вдаьда = ~®,+А! Л г+ ~ НьНтНайдтйдзйдз. Следовательно, приращение массы в рассматриваемом параллелепипеде за промемсуток времени АГ будет равно $Н,Н Н бтьд,йд 3да+... (1.3) Точками в правой части (1.3) отмечены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости за сит лишнего множителя АГ в разных степенях. 72 диооагвнцнгльные хглвнення движения вязкой жидкости [гл. и Теперь проконтролируем вход н выход массы через грани, перпендикулярные к касательным к координатной линии д,. Через переднюю грань, проходящую через точку О с координатами д,, дг и дв, войдат за промежуток времени б( масса, равная (ро ЛгЛг) о>7 о>)абб Череа противоположную грань, проходящую через точку с координатачи д>+Ьд>, д, д, из параллелепипеда выйдет за тот же промежуток времени масса, равная (Рог>ЛгЛД ьг йдз одг бт = д = '[(ри>НгНг) + — (ро>НгЛз) од>+...
~ одг ода Ы. Следовательно, внутри параллелепипеда задержится масса, равная (ро>НгЛ ) одг од од> Ы— д (1.4) дд, ' Точками в правой части отмечены те слагаемые, которые имеют, по'крайней мере, один лишний множитель од,. Если мы возьмем две грани, перпендикулярные к касательным к коорлннатной линии дг, а затеи и перпендикулярные к касательным линиям дв, и проводам аналогичные рассуждения, то для количеств массы.
задержавшихся внутри параллелепипеда, получим следующие выра>кения> д — — (Р гнгН>) д>6дгодгб( —...,1 ддг д — — (РовН>Л)од, од, одаб( —... Складывая выражения (1.4) и (1.5), получим то приращение массы внутри параллелепипеда, которое будет иметь место за счет входа и выхола массы через его границы за промежуток времени бт> — ~ — (Ро>ЛгНг)+ — ((о ЛзН>)+ — — (РпаН> Лг))Рд>одгод>Ь( — —... (1.6) [дд> ' г дд, - а Ь), Предполагаем, что внутри параллелепипеда источников нет; тогда изменение массы за счЕт изменения плотности, представленное выражением (1.3), и изменение массы (1.6) за счет входа и выхода ед через границы лолжны быть равны между собой, т. е. др Г д дг Н>НгНвбтдд> ода о>уз+...
= — [ ~ (ди>НвНг)+ 'с д д д + (рогНгН>) + (ровН>Нв) од> одг одз бт ' ( 1 7) ддг дд„ т8 тгавнзнив нвтлзрывности Это уравнение представляет собой уравнение изменения массы в эле- ментарном фиксированном параллелепипеде. Делим обе части равен.
ства (!.7) на произведение Н>НзНз ир щ > 0(>з й>гз и переходим к пределу, стягивая параллелепипед в точку (о>)> -> О, 3>)з -ь О, 8>)а -т 0), а промежуток времени ЛГ к нулю. Тогда все бесконечно палые слагаемые высшего порядка обратятся в нуль, и иы получим уравнение изменения масс в фиксированной точке пространства в криволинеиных координатах — + — (Рп>НэН>)+д— (РозНзН>)+ д ((РюзН,На)Э = О, (1.8) Ч! =х, Ча=-у, >)з=л' г>> ==- и, тх =.и, па=-.сш Н,=1, Н,=-1, На=1, и >равнение неразрывности (1.8) примет вид — — — = о. др, д (ри) д (ри) д (рю) дг дх ду да (1.9) Если жидкость нес>кимаема (р = сопя(), то уравнение неразрывности (1.9) примет вид (1.!О) Уравнение (1.!0) обычно называется уравнением несжимаемости, Левая часть этого уравнения представляет собой дизергекаию вен>лора ско)юсюи (1.!1) — + — + — =д!ч У ди ди дз> дх ду дх Так как ливергенция вектора скорости прелставляет собой прелел отношения потока несжимаемой жидкости через бесконечно малую аамкнутую поверхность к величине объвма, охватываемого втой поверхностью, то в криволинейных координатах эта дивергенция булет представляться выражением (1.6) с обрзтным знаком, полелан- которое называется также уравнением неразрывное>пи.
Уравнение неразрывности связывзет локальное н конвективное изменения плотности жидкости с изменениями скоростей при перехоле от одноб фиксированной ~очки к другая. рассмотрим случай, когда положение фиксировапнон точки пространства опрелеляется с помощью обычных декартовых координат х, у и г. В этом случае мы будем иметь: 74 дня ьятенциальные теавнення дан>кения вязкой жидкости [гл. и ным на об.ьем и сокращенным на плотность. Таким образом, для дивергенция вектора скорости в криволинейных координатах получим следующее выражение: 41ч У = >у О >т д (о>Оз)тз)'+ д (оэ>ьгзгт>) + д (озгт>гтг)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
