Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е. 3 (7.13) Скорость деформации Резулыпрующего сленга называется также интенсивностью скоростей двФортацал сдвига частицы Если воспользоваться главными скоростями деформаций, то фор мула (5.10), определяющая скорость смешения точки М за счет деформации частицы, представится в зиле е»=Е и =1 Возьмем теперь отрезок ОМ, наклоненный к осям главных скоростей деформаций (1), (2) пол углом в 45*, т. е. имеющий следующие направляющие косинусы: Зд» У 2 Зкг )Р2 — Ц= — = —, 7=0.
ет 2 зв При этих значениях направляющих косинусов из (7.!4) будем иметьс ()гом)лей 2 ез ( А+ ве(з)' )52 . (7.1 5) Проектируя этот вектор скорости па направление самого отрезка, подучим скорость абсолютного уллинения в виде 1 ()га ом) „= — 35 (в, + е~. В таком случае скорость смешения точки М за счет скошения угла, т. е, за счет деформации слвига, булет прелставляться в зиле (Ъ» Ом)лей = ) (1 ом)лев (" и ом)еее = = 2 У2(е1+е„') — (е,+а.)а= — Ьз(,— е.,).
3 8) тзнзог скогоствй даеогмлции в кеиволинвйных кооглинлтлх 47 Разделив левую и правую части на егь получим скорость деформации сдвига на площалке, разлеляющей угол межлу главными направлениями (1) и (2) деформаций на лве равные части: ! ень — т-(е — е ), (7.16) где через (1') и (2') мы обозначили направления биссектрис углов между направлениями (1) и (2). Аналогично обстоит пело и со скоростями леформацни слвига на площалках, служащих биссектрисами направлений (2), (3) и (3), (1), т, е.
! ег е = †, (е, — е,), 1 аз н = 2 ('а — еь). (7.17) Величины е, е ь, ее, называются гяавнмльи скоростялеи сдвига. Следовательно, главные скорости леформации слвига равны полу- суммам главных скоростей удлинений соответственных отрезков, Так как среди значений е,, е и еа имеется как минимальная скорость удлинения, так и максимальна», то разность именно этих главных скоростей удлинений будет давать максимальное значение скорости деформации сдвига. й 3. Компоненты тензора скоростей деформации в криволинейных координатах Рассмотрим криволинейные ортогональные координаты ры д и д (рис, 7). Элементы координатных линий булут представляться в виде Ь, = Нь3ды Ьг — — Наерм Ьз= Нз34,, где Н„Н и Нз суть дифференциальные параметры 7яже.
Выражение для первого из этих коэффициентов мы получим, если расэмотрим квалрат линейного элемента Ь в декартовых координатах 38ь — х~~ ~3хь ь=г Рнс. 7. и учтем, что приращения 3х; обусловлены приращением только одной координаты рм т. е. дхе 3хе= д 3чы вт 48 скотости двеоемаций частицы. компонвнты наптяжаний [гл. ! Тогда получим: т. е.
(8П) Так как составляющие вектора скорости точки можно получать с помощью деления элементарных отрезков пути перемещения на элементарный промежуток времени, то эти составляю!цие вектора скорости в криволинейных координатах будут иметь вид (8.2) Квадрат произвольного линейного элемента в криволинейных ортогональных координатах будет представляться следующим образом: (8.3) Дифференцируя это равенство по времени, получим: а=! (8.4) Так как На зависит от времени только через координаты до то Ф=а !=а а=! Ч! !=! Обозначение одл представляет собой разность значений координаты Ч! в двух близких точках, т.
е. поэтому будем иметь: Подставляя полученные выражения в (8,4) и заменяя 8!га через оз„, получим следующую формулу для производной по времени от квадрата линейного элемента; а=а а=а 1=! а=! а=а йаа = ч' „Нл йуа'. ь=! й 8) твнзог скогоствй двьогмлции в кгиволинвйных коогдинатхх 49 В случае прямолинейных осей координат производная от квадрата линейного элемента представлялась через компоненты скоростей деформации равепствои (6.6). Сопоставляя формулы (6.6) и (8.6), мы можем прийти к тому заключению, что компоненты скоростей деформации частицы в криволинейных координатах можно получить из (8.6), собирая коэффициенты при квадратах и при произведениях линейных элементов координатных линий. Навример, скорость деформации относительного удлинения отрезка, направленного по касательной к координатной линии йы мы получим, если соберйм в правой части (8Л) коэффициенты при ба'-,'.
ыв (8.6) Скорость деформации сдвига в жюскости касательных к координат- ным линиям д, н д., будет представляться в виде (8.7) Остальные компоненты скоростей деформации частицы можно получить из (8.6) и (8.7), меняя индексы в круговом порядке. ((ля определения выражений компонент вихря в криволинейных координатах применим теорему Стокса к элементарной площадке Н,оу,Н,,6с(ы Согласно этой теореме удвоенный поток вектора вихря через площадку равен циркуляции вектора скорости но контуру, ограничивающему эту площадку.
Обозначим компоненты вектора вихря через е о мз й мз. Тогда удвоенный поток вектора вихря через рассматриваемую площадку будет представляться в виде омзНсНг ацт 8 Чз. Р = (птНт) с4ь+(ияНз)т ьч бг)з (п1Нс)д„ьчп (пгНз)», = д (РЯНз) д (п~гб)1 — — — — — едь бааз. ддь ддз Таким образом, компонента вихря ыз будет представляться в виде Гб а " =9Н,Н,,'(ад„(озН) баз(о Нт)1' (8.8) Выражения лля других компонент вихря могут быть получены из (8,8) изменением индексов в круговол1 порядке. ((иркуляььию по о~раничивающему площадку контуру будем подсчитывать как произведение проекции вектора скорости на касательную к контуру на элемент дуги и на косинус соответственного угла, т, е. 50 скОРОсти деФОРмАций частицы.
кОмпоненты нАОРяжений [Гл, 3 Рассмотрим цилиндрические координаты г, А7 н - (рис. 8). Квадрат линейного элемента представляется в виде йее = иге+ г"-дри — [ — дее. Обозначая компоненты скорости движения через о, е и о„и используя д1ормулы (8.6) н (8.7), получим слелуюнсне выражения для скоростей деформации частицы в цилиндрических координагах: ди, дг (8.9) Рис. 8.
Компоненты вектора-вихря в цилинлрических координатах будут прелставляться в виде Квалрат линейного элемента в сферических координатах (рис. 9) й, й и 0 прелставляется в виде ейэя = ейе+ йеейе+ йэ е(пе 089Я. Следовательно, Рнс. 9. Н,=[, Н =й, Не=йа( 6. Если обозначить компоненты скорости движения через о„, оа и пт, то на основании формул (8.6) и (8.7) получим следуюньие выраже- Следовательно, параметры Ляме булут равны Н .=. К Ни==г, На=!. 1 ди иг ЕР„== — — + -— г де г ди д» ' 1 ди,.
д и де г де' дии дес 2ем — — — — '+ — '-. дг дл' ! (8ЛО) 1 компоненты нлпеяжений ния для скоростей деформации частицы в сферических координатах: 1 дев дщ ве )г дз+дР У' де 1 див в дР !Г з1п 0 дт 1 двв 1 дет вт = — —.+ — —— 1~э!и 0 дт У дэ дп,ч лл дт! ' ! с!8 О (8.1!) ди, вн вв с!я 0 — + — +, 2е,,л дт пн + —, Р ' 2е 0 т 1 РАНО двь зьь т до А' дО Компоненты вектора-вихря в сферических коорлинатах будут представляться в виде О ~ — (о,)с з)п О) — - — (его~)1, ! 1 (д . д 1 двл д 2Р з!и В дт дР ! (8.12) ы ф н. Компоненты напряжений Связи в механике заменяются действием особых сил, навываемых реакциями связей и прикладываемых в тех точках тела, в которых эти связи осуществляются.
Аналогично обстоит дело и в механике деформируемоя среды. Если- мы хотин рассмотреть какую-либо часть среды, ограниченную некоторой замкнутой поверхностью а (рис. 10), то мы должны заменить действие остальной массы среды реакциями связея. Так как свчзь рассматриваемой части с остальной пассов срелы осущест- б вляется по всей поверхности :, то реакции связей доля<им быть распределены по всей поверхности з. Таким образом, силы возлеяствня на рассматриваемую часть среды со стороны асей остальной массы суть силы но- рис.
1О. еерхноетные. Сила воздействия на рассматриваемую часть среды со стороны окружающей массы, отнесенная к единице площади поверхности соприкосновения а, называется нипрнжениеле р. Напряжение представляет собой вектор, зависящип также н от ориентации рассматриваемой элементарной площадки.
Последнее обстоятельство отмечается тем, что к обозначению вектора напряжения присоединяется внизу индекс, указывающий направление нормали к рассматриваелшй площадке (рис. 11). Если мы эту элементарную площадку Ьт будем поворачивать так, чтобы нормаль п последовательно совпала с положительными направлениями прямолинейных осей координат, то получим три вектора напряжений: Р> Ра Р:>.
Проектируя этн три вектора напряжений на оси, получим следующую таблицу компонент напряжений в рассматриваемой точке; !ы !1> рп> Рю Рш Ри ('! 1) !(> !>> Рпс. !!. По диагонали будут располагаться те компоненты напряжени!1, направления которых совпадут с направлениями нормалей трЕх взаимно перпендииулярных площадок. Эти компоненты напряжений называются нармлльныма нллряженилми. Направления остальных компонент папря>кении будут располагаться в плоскостях самих эле- Ю ментарных площадок и поэтому эти компоненты напряжений и называются пасите:гьим.яи налряжелаяма. Рассмотрим теперь тетя(ь с' лл раэдр АВСМ (рис.
12), боковые грани которого дз>, дзв, Ьзз соответственно перпендйкулярны к осям х,, х, хз, а грань основания Ьа имеет произволыюе направление с Рпс. 12. нормалью п. Так как внешние нормали к площадкам бяо дзв, Ьтз параллельны отрицательным направлениям я,, хэ, хз, то векторы напряжений по этим площадкам буден обозначать через Р > Р е Р т Знак иинус в индексе означает, что рассматривается напряжение на той стороне площадки, которая обращена наружу тетраэдра, т. е. берем внешнюю нормаль. В силу закона деиствия и противодепствия векторы напряжений, приложенные к обеим сторонам одной и тои же элементарной площадки, должны быть равны между собой по веяичине, но иметь прямо противоположные направления, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
