Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 14
Текст из файла (страница 14)
= — р -[ — 28 — з+. [ Д' — —,' ! О; (11.18) Дезиатор напряжений (10.22) через глазные нормальные нзпряження представляется в виде 1 [ Рь Рз — (Рз — Рз) 0 о (!)л) = — О рз — р, — (р, — рз) О з~ О 0 Рз — Рг (Рз — Рз) Девнатор скоростей деформаций (7.9), представленный через главные ско. рости удлинений, имеет зид О 0 ьз — ез — (ц ьз) 0 0 ез — еь — (ьз — ьз) 1 М вЂ” 'з — ('ь и) (с),) = — О з Равенства (11.18) представляют собой в окончательном виде обоби!йнную гипотезу Ньютона, устинаеливаюигую дифференциальную связь между компонентами напрнжений и скоростями движений частиц жидкости.
ф 11) ОБОЯЦЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА 05 Если значения разностей главных нор»»альных напряжэний в (()я) заменим согласно (11 2) через разности главных скоростей удлинений, то мы получим: (Тз ) =2н(В,). (11.19) Таким образом, обобщение гипотезы Ньютона, прелставлеиное соотношениями (1!.1) или (11.2), по своему существу означает, что девиатар напряжений пропорционален девиатару скоростей деформации, причем козффицнеит пропорционзльности равен удвоенному козффициенгу вязкости. Заметим, что соотношение (!1Л) есть не что нное, как линейное соотношение между линейным инвариантом тензора напряжений (РН и линейным инзарпантом тензора скоростей деформаций (Е,), т. е. Р, —.— — Зр+ ЗА'Еи (! 1.20) Аналогично обстоит дело н с соотношениями (11.2).
Если мы возьмбм квадратичный инвариант девиатора напряжений (10.28), заменим в пбм разности напряжений нз (11.2) и учтем выражение (7.!2) для квадратичного ннвариаита тепзора скоростей деформации, то получим: (11.21) Таким образом, обобщенная гипотеза Ньютона сводится к линейному соотношению (11.20) аинейных инвариантов тензоров напряжений и скоростей деформации и к линейно»»у соотношению (1!.21) квадратичных инварпаитов девнаторов напряжюшй и скоростей деформаций.
Это обстоятельство указывает па то, что обобщенная гипотеза Ньютона обладает свойством инвариантности, т, е. онз не зависит от выбора системы координат. Наконец, подставляя в (11.2!) Значения Р„из (Н129) и зиачения Е„из (7.13), получим: Р,» = 2Н»» (!!.22) Таю»и образом, обобщение гипотезы Ньюгова, представленное соотношениями (11.1) нлп (!1.2), сводится к тому, что интенсивность касательных напряжений пропорциональна интенсивности скоростей деформаций сдвига.
На освозаннп (10.2б) нормальное напряжение на площадке результирующего сдвига сводится лишь к среднему нормальному напряжению. Следовательно, соотношение (1!.3) можно представить также в анде р „=- — Р+ 1'э. (11.23) Таким образом, второе обобщение гипщезы Ньютона свод~»тся к устаиовяению линейного неоднородного соотношения между нормальным напряжением на плоитадке результирующего сдвига п скоростью объемной деформации.
Уравнен»гя (1!.18), представляющие гипотезу Ньютона в окончательном виде, содержат два коэффициента вязкости р и ) '. Эти два коэффициента вязкости след>.ет рассматривать как физические постоянные, зависящие прежде всего от температуры и, может быть, ог давления, Так как в процессе движения жидкости температура, вообще говори, не будет оставаться постоянной, то и введЕнные коэффициенты вязкости, вообще говоря, тоже должны рассматриватвся как переменные величины, зависящие через температуру от времени и координат рассматриваемой частицы. Зависимость значения первого коэффициента вязкости от давления начинает проявляться бб сковости дьвогмаций частицы.
компонвнты напгяжвний (гл. ! при сравнительно больших давлениях, причем по исследованиям Бриджмена ') вязкость многих жидкостей увеличивается до давлений 2000 — 3000 пгл приблизительно по линейному закону, а затем это увеличение проходит по более резко подымающейся кривой. Можно считать оба коэффициента вязкости строго постоянными лишь в том случае, когда можно пренебречь изменениями температуры при движении жидкости и когда нет внешних источников изменения температуры и давления внутри области, занятой жидкостью.
Первый коэффициент вязкости р является основным. Для его определения существует множество различных способов, основанных на применении тех конечных формул, которые могут быть получены в рез> льтате интегрирования соответственных дифференциальных уравнений с использованием соотношений (11.18) для частных случаев движения жидкости. О некоторых из этих способов мы будем говорить ниже. Что же касается второго коэффициента вязкости, необходимость учета которого монсет возникать только при рассмотрении того движения жилкости или газа, в котором явно проявляется свойство их сжимаемости, то до последнего времени его совершенно не учить!вали.
И только в связи с исследованиями Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовичах) влияния внутренних процессов с большим временем релаксации на распространение звука в жидкости было указано на необходимость учета второго коэффициента вязкости. В отдельных случаях значение второго коэффициента вязкости может намного превышать значение основного коэффициента вязкости.
Но приборов по определению второго коэффициента вязкости пока не предложено. В 12. Различные виды сред В предшествующем параграфе напряжения были поставлены в зависи. мость только от скоростей деформации частиц, причем зта зависимость была принята в простейшей своей форме, т. е, в виде линейного соотношения (11.20) между первыми иивариантами тепторов напряжений п скоростей деформаций н линейного соотвошевия (11.19) между самими девнаторамп напряжений и скоростей деФормации. Будем жидкость называть вяткой, если для неа будут приняты соотношения (11.19) и (!1.20). Полагая оба козффицнента вязкости равными вулю: 9=0, 17=0, получим жидкость, я которой напряженное состояние в каждой точке харак. тернзуется одним лишь давлением, не зависящил~ явно от скоростей деформации частиц.
Такая жидкость называется идеальной. Понятия идеальной и вязкой жидкости отражают лишь приближенно объективно существующие свойства реаг ьных и.идкостей и газов. Лишь некоторые из них могут с достаточной степенью точвости изучаться либо с помощью гипотезы идеальной жидкости, либо с помощью гипотезы вязкой гкидкости. Но в некоторых случаях не только гипотеза идеальной жидкости, но н гипотеза вязкой жидкости может оказаться недостаточной. Так, например, для масзя- т) Бриджмеп П. В., Физика высоких давлений, ОНТЫ, !935. з) Леонтович М.
А., и Мандельпгтал~ Л. И., Журн, зкспер. и теор. физики, т. НП, 1937. 121 глзличныв вилы свил иг 2их : !О + 2иги, 3) 2н х — )О+ 2ре г, 3) 281 — ) О -~- 2игзь 3) ри=(1. рщ=()у— ри = ('~— (12.! ) ртз = 2йгтг рю = 2йгж, рщ = 2ргж Лри таком предположении среднее нормальное напряжение строго пропорционально скорости объемной деформации, т. е, — (ртт+ргз+рш) =)'О. ! 3 (12.2) Соотношения (!2.1) и (12.2) по своему формальному лиду совпадают с соот.
ношениями длн упру~ой среды, подчиняющейся обобщйнному закону рука, г той лишь разницей, что вместо самих деформаций для упругой среды в рассматриваемом случзе входят скорости деформаций. На етом основании гипотеюшескую среду, для которой принимаются соотношения (12.1), можно именовать чисшо вязкой средой. В чисто вязкой среде напряжения возникают лишь тогда, когда возникают скорости деформаций частиц. Дифференциальные уравнения движения такой среды впервые были предложены ещб Коши в 1828 г., а затем в 1877 г. Бочером г) В качестве приыера такой чисто вязкой среды Бочер привбл канадский бальзам. Другая возможность уравнять отношения Напряжений и скоростей деформаций будет заключаться в том, чтобы и касательное напряжение связать со скоростью деформации сдвига также неоднородным соотношением.
Например, соотношения (11.22) и (11,23) иы пажем заменить иовыьпг, пиеющими вид р,г=б —;2иги, (123) ') Ви1сйег, Ргос. вопд. Ыа!Уь 5ос., чо1. (ГП!, 1877. ных красок, для различных суспензий, Лля смазочных масел при низких температурах гипотеза о вязкости в форме соотношения (11.19) оказалась недостаточной, н потребовалось ее изменение в сторону прибавления допол. нительного слагаемого, представляющего собой так называемое предельное иапряжгиие сдвига. Вой сказанное выше дает основание к тех~у, чтобы, помимо гипотез об идеальности или вязкости жидкости, рассмотреть и некоторые другие гипотЕзы, устанавливающие иные связи между состояипвм напряжений и состоянием деформаций в каждой точке. Сопоставляя соотношения (11.1) и (!1.16), мы андии, что нормальные и касательные напряжения находятся не в одинаковом отношении к соответственным скоростям деформаций. В то время как касательные напряжения обращаются в нуль вместе со скоростями деформаций сдвига, нормальные напряжения пе обращзются в нуль при обращении в нуль соответственных скоростей деформаций удлинений, Следовательно, можно ставгпь вйирос о точ, чтобы уравнять отношения напрюкеннй к скоростям деформаций.
Это можно сделать, если положить в соотношениях (11.16) или (!!.4) давле- инЕ равиыи нулю. Тогда получим следующие соотношения, связывающие напряжения со скоростяии деформаций: 68 скогости дпеовмаций частицы. компонвнты напгяжвннй (гл. г где слагаемое 6 следует именовать предельным напряжением сдвига. Срелу, для которой принимаются соотношения (12.3), можно иззывать плястпческггзязкой средои. Впервые такую пластически-вязкую среду ввсл в рассмотрение Бочера), а ззтем и Бингам з). В своих исследованиях Бинтам показал, что примераип пластически-вязкой среды могут служить масляные краски и некоторые виды суспензий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
