Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 16
Текст из файла (страница 16)
( 2) Если существует потенциал скоростей >э, то 1 с>Ч 1 дт 1 дт В этом случае дивергенция вектора скорости будет равна дифференциальному оператору Лапласа от потенциала скоростей, т. е. дэу д Ч , дгт д>э Ъ' —. — — ь+ — + — —, = Ьр, дкэ дуг дег по аналогии Формула (1.!4) предстзвляет оператор Лапласа в криволинейных координатах. Произведение плотности р на вектор скорости частиц называется вектором плотности потока массы. В таком случае уравнение неразрывности (1.8) связывает локальное изменение плотности с дивергенцией вектора плотности потока массы. В 2. Уравнение переноса количества движения Теорему об изменении количества дан>кения в фиксированном обьеме можно сформулировать следующим образом: Количество движения в фиксированном объеме изменяется за счет: 1) входа и выхода масс через гранины объема, 2) действия импульса внешних массова>х сил и 3) действия импульса поверхностных сил напряжений.
Провезем подсчет изь>енеп количества дви- жения в фиксированном параллелепипеде с дли- )'о нами ребер аз>, эвэ и озз (рис. 18). да," ---.даг Обозначим через Р вектор силы, отнесЕнный к единице массы жидкости, а чеРез Р,, Р ., Р з— векторы напряжений на площадках, перпендикулярных к касзтельным к коорлинатным линиям >)>, Рпс.
1В. и дан проходящих через точку О(ро >уг,>)а).Вязки минусы в индексах означают, что нормали к этим площадкам направлены против положительных направлений координатных линий. В этом случае можно положить; Р.= — )з />-э = Рэ 75 о 2) гелвнение паеаносл количкствл движения В момент Г л>асса, заключенная в параллелепипеде, имеет вектор количества движения, равный (рЪг) Н Н Нэ од Ъд одл, в момент же (+Же вектор количества лвижения в рассматриваемом параллелепипеде булет равен д(>у) (ЧЮс,лл Н>ИеНэод>одеддэ+Ъг)г+ д> бт+.
~ Н>Н>НлоЧ, одоЗдэ. Слеловательно, приращение вектора количества движения в фиксированном параллелепипеде будет равно д(рь) дт Н>И Нэа г>дл од од + (2.1) (2.2) Теперь проконтролируем изменение количества движения аа счет входа и выхола масс. Через грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии дл,' входащаа масса Ро>НэйэбдеЪдэ бт внесет с собой в паРал. лелепипед вектор количеств движения (рол ЪгНеН,) Ъдз одэ Ы. Через противоположную грань иэ параллелепипеда выйдет масса со слелующим вектором количеств движения: (рт> УН Нэ) > од,. од Ь( = д ;...= (р,ЪИ,Нл), + — ((.
~)УНлИэ)од,-(-.. ~) дд,дд,~. дд, Следовательно, внутри параллелепипеда задержится вектор количеств движения, равный д — — (оо )гнэнэ)ОЧ>одльдэм— Проводя аналогичные рассуждения по отно>нению к граням, перпенликулярным к касательным к координатным линиям д и дэ получим: д — — — (рт>лЪ'НэН,) од, ддэод,.))в (ррзЪ Н>Нэ) о>1> одэ од дг дд, ' ' ' э Складывая выражения (2.2) н (2.3), получим приращение вектора количеств дан>кения за счЕт входа и 'выхода массы через границы параллелепипеда д д — — (Ри УНаН,)+ д — ((РвэЪ'НэН>)+ + — (ро,)ГН>Нэ)) Ъдл одэ одэб( —...
(2А) д 76 дифовганцилльныв эглвнвния движвния вязкой жидкости [гл. и рРИ,НэНздд,од. од ц(, (2.5) На грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии д,, действует импульс от вектора напряжения, равный Р дНэНв ода одэ оа = — (РгНэНзГ ода одэ п(. На противоположну16 грань с нормалью, направленной в положительную сторону координатной линни, будет действовать импульс, равнь1й (Р,Н,Н,),, йдаодви(+ЦнзНв), + — (Р,Н,Нв)дд,+...~ддзадвйд д Следовательно, результирующий импульс от этих двух импульсов будет равен — (р„Н Нэ)дд,од одэл(-[ д (2.6) дд, Проводя анзлогнчные рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к касательным к координатным линиям д.
и д,, получим: д — (раН Нг) од, од„одзлг [-..., ~ д (2, 7) Складывая выражения (2.6) и (2,7), получим то приращение количества движения внутри фиксированного параллелепипеда, которое обусловлено действием векторов напряжений по граням: д д д — (рдг(эНз)+ — (раНэН,)+ — (р„Н,Нэ)[од, ода ода л(+... (2,8) дд, дд, два Других источников изменения количеств движения внутри фиксированного параллелепипеда нет. Поэтому изменение количества движения, представленное выражением (2Д), мы должны приравнять сумме отдельных приращений (2А), (2.5) и (2.8): д (рУ) Н НзНаодг ддэддзйс+, ..
=- оРг(гг( Нзод, ода одаб(†— [д — (Ро,[гНзгуа)+ (РоэьНаН,)-[-д— (РоаУНтНо)]од,ддэодвгг( — „+ Гд д д Гд д д .+ '[ (РтНаНз) + (Ра7(вНг) + (РзНтН )~ ддг одз ЙУа ЛГ+... (2.9) [дд, ода Подсчитаем изменение количества движения за с йт действия сил. Приращение количества движения массы в параллелепипеде за счйт действия объймной силы Р будет рвано элементарному. импульсу этой силы, т. е.
телвнание пкевносл количестве движения 71 Уравнение (2.9) представляет собой уравнение изменения количества движения в элементарном (биксирозанном параллелепипеде, Обе части равенства (2.9) разделим на Н,Н Н эц,'деог) бс и перейдем к пределу, стягивая параллелепипед в точку (э>7> -« О, ь>)в-+ О, 6>)з -« О), а пРомежУток вРемени бс УменьшаЯ до нУлЯ. Тогла невыписанные члены высшего порядка малости, отмеченные точками, обратятся в нуль, и мы получим уравнение изменения количества движения в фиксированной точке пространства д ,1 (РУ)+~~ НН ~д— (рп>Уг(аНзН-д (риаУ™а >Н вЂ” (Рт>аУН> я)~— 1 Гд д, д .— РР+ ННН ~д— (Р>НеН!)+ д) (РеНчН,)+д (Рзг(>На)~.
(2.10) и =рпаУ вЂ” р, ~ и .— рпУ вЂ” Р. (2.11) Эти три вектора образуют тензор, который называется тензором плотности потоки импульсов. Вводя три вектора в, и„а., г) Маха>е!1, Оп Ше дулею>са! Шесту о1 йазеъ РЫ! Тгапз СЕЧИ, !Збб. Сопоставим выражения (1.6) 9 1 с выражением (2.4). Если в выражении (1.6) $1 под знаки производных по обобщеннын координатам входили проекции вектора плотности потока самой массы, умноженные на произведения параметров Ляме, то в выражении (2.4) под знаки этих производных входит три вектора: рп>У, рп. У, рп. У, представляющие собой векторы количеств дни>кения, переносимые массой через площадки, перпендикулярные к координатным линиям. Эти три вектора образуют симметричный тензор, который можно назвать тензором плотности потока количеств движения частиц жидкости. Уравнение (2.10) можно назвать также уравнением переноса количеств движения.
Это уравнение было впервые введено в рассмотрение Максвеллом ') в созданной нм кинетической теории газов. Обращаясь к уравнению (2.10), мы видим, что локальное изменение вектора плотности потока самой массы обусловлено не только действием объемной силы р, но и действием векторов напряжения р„ Р., р и векторов переносимого количества движения ро>У, роаУ, родУ. При этом действие последних векторов проявляется с формальной стороны так же, как и действие векторов напряжений, ваятых с обратным знаком. На этом основании этн векторы можно объединить, полагая 78 диеевевнцилльныв зезвнания движения вязкой жидкости Ггл.
уравнение (2.10) ио>кно представить в виде д(рр) 1 Г д . д, . д Р~+ НгнгНг'Гдоч(~ г)+дуг(~г' з )+до„('гН Нг)! (2.12) Для случая обычных прямолинейных координат х, у, з уравнение переноса количества яви>кения (2.10) представится следующим образом: д (зУ) д — дг — — — рр+д— (Рз — ри1)+д Грз — роЪ)+ д — (Рг — рчоУ).
(2.13) р 3. Дифференциальные уравнения движения среды в напряжениях Левую част>, уравнения (2.10) можно представить в виде дг 1 Гд (Гт, НгНг) . д д У(дт+Н>Нгнг'Г дй, Г де (РогНа)1)+де,(Р зНГ) ф+ Гс>У о, с)У, ог дУ и> др! ' ( дг Н> да> ' Нз дйг Пг дяг! Выражение в фигурных скобках представляет собоп левую часть уравнения неразрывности (!.7), т. е. оно обращается в нуль. Следовате.чьно, уравнение (2.10) можно представить следующим образом: л=г дУ %ч ои дУ Р вЂ” +Г Х вЂ”.— = ' дс 'Лйнидез з=> Уравнение (3.1) есть дифференциильнов уравнение движения снлоа ной среды в векторной форме в криволинейных ортогональных координатах, представленное через напряжения. Это уравнение можно получить и иным путем, применяя закон Ньютона к фиксированной массе внутри параллелепипеда с ребрами бч, ьзз и езг, Левая часть уравнения (3.1) представляет собой вектор ускорения, т.
е. изменение вектора скорости фиксированной частицы с постоянной массой. Первое слагаемое левой части представляет собой лишь местное (локальное) изменение вектора скорости, а остальные трн слагаемых — >сонвектизное изменение вектора скорости частицы с постоянной массой, связанное с переходои этой частицы из одного положения в пространстве в другое. Сумма всех слагаемых представляет собой индивидуальную производную от вектора скорости фиксированной частицы с постоянной массой.
Аналогично будет выражаться индивидуальная производная от любой другой величины, связанной с фиксированной частицей постоянной массы. Так, напри- й 31 дизевавнцилльныа тглвнвния движения сгвды в нлпгяжиниях 79 мер, индивидуальная производная от температуры фиксированной частицы постоянной массы будет представляться в виде ь=з Л7 д7' ~ч пь д7' Л! Л! Йтта дчь ' л ! а-! т'= Хо!7!, л —.! ь=! Рж= Ермо. а-! (3.2) При подстановке зтпх выражений (3.2) в уравнение (3,1) следует учитывать, что единичные векторы а,, 1я и 1з меняют свое направление. Подсчет частных производных от единичных векторов по координатам проведем для частных случаев. Для случая обычных декартовых координат будем иметь: Ч,=л, Ч!у У Ч! — з; На 1' ~з 7! — сопя!, (а —. соп51, а! — —. сопз1; пг.= и, па= т' Заметим, что уравнение, выражающее закон Ньютона для фиксированной частицы с постоянной массой, мы получили из уравнения (2.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
