Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 19
Текст из файла (страница 19)
„—, . — + —, — !. рд!!дб 1, Р-'з>пэб УГзз>пзб дт УГз дб У' ди„ди о, ди„о, ди оли„, оаор стй 0 — -+ол — + — --+ —. — + — "+- дг дУГ УГ дб УГА!па др УГ ' Д> 1 др у о, 2соз0 до„2 дол> — — о ч рурзтпбдт '), ч урка>пзб ' ГГзз>пзб др >Газ>пб от)' (6.1 где оз 2 д 1 дз с>йб д 1 дз .! = — —,+ — — + — —.+ — — +, . —... (6.!2) дУГА УГ дУГ УГэ дбэ УГа дб >Газ!паз дра' дналогичнь>ь> путем можно получить дифференциальные уравнения лини<ения вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами вязкости. Что касается других сред, рэссмо>ренных в й 12 главы !, то дифференциальньш уравнения движения таких сред можно выразить через состэваяющис вектора скорости лип>ь в тех случаях, когда соотношения, связывающие напряженное состояние с состоянием деформаций, могут быть разрешены отнес>цельно всех компонент напряжении, Бо всех других случаях необходимо соотношения связи напряжсни,".
с дсформациями рассматривать совместно с дифференциальными уравненивми движения среды в напряжениях. й 7. Г)ачальиые и граничные условия для вязкой несжимаемой жидкости Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с посто. янным коэффнциентом вязкости необхоличо решать совместно систему дифференциальных уравнений (6.2) и (6.4) с частными производными второго порядка. Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать произвольные функции, для определения которых необхолимо задавать начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь в том случае, когда изучается неустановившееся движение жидкости. В этом случае должно считаться изнестным все движение жидкости для накого-либо финсированного момента времени, например для начаяьного момента У = О. 94 дияьягкнцилльныя зилвняния движения вязкой жидкости [гл.
и йля этого момента времени должно быть задано распределение скоростей и давлений, т. е. прн 1=0 и=из(х, у, г), п=пя(х, у, г), р=ря(х, у, г), те = сир(х, у, л), (7.1) Этого условия было достаточно для изучения движения идеальной жидкости, для которой дифференциальные уравнения содержали ляшь частные производные от скоростей а, и и тз первого порядка. Для изучения же движения вязкой жидкости одного услояия (7.2) будет недостаточно не только с физической точки зрения, но и с формальной, так как порядок дифференциальных уравнений повысился. К кипематнческому условию (7.2) необходимо присоединить еще и дикллшческое условие. Коль скоро мы допустили, что частицы яязкой жидкости взаимодействуют друг с другом не только давлением, но и с поиошью внутреннего трения, то с тем же основанием л1ы должны предположить и наличие касательного взаимодействия частиц жидкости с точками стенки.
Это касательное взаимодействие частиц жидкости с точками степки булез представлять собой внешнее трение жидкости, Силу внешнего трения, приходящуюся на единицу площади, принято считать пропорциональной разности касательных скоростей частиц жидкости и точек стенки, т. е. ря,=Л(К„- К,), (7.3) где Л вЂ” коэффициент внешнего трения, р„., — касательное напряжение, вычисляемое через скорости деформации согласно обобщенной где ие, пя, шя и ря — заданные функции координат. Во многих случаях на искомые функции и, и, ш и р накладываются ограничения, вытекающие из су~цества самих задач, не только в отношении однозначности, цо и в отношении ограниченности их значений. Эти требования однозначности и ограниченности искомых функций играют роль своего рода краевых условий, так как они позволяют исключать из решений произвольные функции, вносящие неоднозначность в распределение скоростей и давлений либо обращающие их в бесконечность.
К простейшим граничным условиям относятся: 1) условия на твердых нелеформируемых стенках, вообще гонора, цодяижных и 2) условия на деформирующихся поверхностях раздела, отлеляющих две несмешивающиеся жидкости. При обтекании вязкой несжимаемой жидкостью твярдых стенок должно выполняться следующее кинелгавическое условие: частицы не могут проникать через твердые стенки и отрываться от ннх.
Это кинематическое условие будет вьполнено, если существует равенство проекций на нормаль к поверхности стенки векторов скоростей частиц жидкости и соответственных точек твердой стенки, т. е. = — )г „. (7.2) НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 95 гипотезе Ньютона. Возьмйм элементарную площадку оз на поверхности стенки с нормалью, направленной внутрь жидкости (рис. 21). ВектоР касательного напРЯжениЯ Рл, можно представить в виде Рл> =Рл Рпл С другой стороны, в силу условия (7.2) будем иметь: У вЂ” Ъ',= Уч — У. Пользуясь этими равенствами, динамическое условие (7.3) можно представить в виде Рнс.
21. Рп Рпп =1 (1"ч — 1") (7.4) Проектируя левую и правую части (7.4) на оси координат, вводя направляющие косинусы 6 т, и нормали и используя формулу (1О.З) главы 1, получим слелующие три соотношения, выражающие динамические условия на твердых стенках; р — (рл 1+рлпт +рл,п)! = ),(и, — п), Рле — (Р, 1+ Р, т+ Р„,н) и = А (Ш, — — Ш), В ранних работах по теории движения вязкой жидкости предполагалось, что коэффициент внешнего трения имеет конечную величину. Но прове>твнные в последующее время тщательные опыты и измерения скоростей час>нц вблизи стенок показали, что коэффициенту внешнего трении следует придавать весьма большие значения. Нз этом основании значение этого коэффициента теоретически можно считать бесконечно большим.
Так как леван часть равенства (7.4) является конечной, то, предполагая коэффициент бесконечно большим, мы должны второй множитель считать равным нулю. Таким образом, граничное условие на твердой стенке принимает следующую форму: У, =- К (7.6) Равенство (7.6) означает, что частицы жидкости, примыкающие к степкам, име>от те же скорости, какие имеют соответственные точки самой стенки. Условие (7.6) по этой причине называется условием прилилания частиц вязкой жидкости к твврдой с>пенке.
Это граничное условие можно было и не выводить из условия (7.4), а принять его как результат наблюдений. При решении конкретных задач в большинстве случаев используется именно условие прилипания (7.6). Обратимся к выяснению граничных условий на коперхности разлела двух непереме>нивающихся жидкостей. Условие, что частицы первой жидкости не перемешиваются с ча- стицами второй жидкости, можно выразить равенством проекций 96 дичькгвнцилльнык хглвнания движиння вязкой жидкости (гл, и Условие (7.7) не исключает возможности разрыва касательных составляющих скоростей частиц первой и второй жидкости на поверхности раздела. Для выяснения динамического условия возьмйм на поверхности раздела элементарную площадку (рис.
22). На одной стороне этой площадки будет развиваться на(р а л пряженне (р„)г, обусловленное деформацией примыкающих частиц первой жидкости, а на второй стороне будет развиваться напряжение (Р„)ц. Зти два вектора напряжений в общем ! а! случае по величине не булут равны между собой пе только по причине возможного наличия сил капиллярности, но и по причине образовация внешней силы трения. Силу внешнего трения ца поверхности раздела можно также полагать пропорциональной разности касательных скоростей частиц первой и второй жидРис.
22. костей. Если силы капнллярности будут пренебрежимо малыми, то в силу требования непрерывности нормальных составляющих напряжений при переходе через поверхность раздела будем иметь: (Р, )! = (Рч,)н. (7. 8) Касательные составляющие напряжений могут претерпевать разрыв, величина которого должна быть равна силе внешнего трения, т. е. (Рч-.)! — (Рч,)ц =- Лд и [()'-.)! — ((',)п), (7 9) где Л! ц — коэффициент внешнего трения частиц первой и второй жидкости. Таким образом, в общем случае на поверхности раздела должны выполняться кинематическое условие (7.7) и два динамических условия (1.8) н (7.9). Рассмотрим часто встречающийся случай, в котором вторая жидкость имеет сравнительно малую плотность н весьма малые скорости движения, как это имеет место, например, при движении воды в каналах н реках.
Поверхность раздела, отделяющая воду от атмосферного воздуха, в этом случае называется гвлооднод позерхносглью. Так как в этом случае будем иметь, (Рчч)ц =- — Ра (Р ч)ц =0 Лап =0 то динамические условия (7.8) и (7. 9) должны принять следующую форму: Рая = 'Ра Р„,=0, ,.'. 10) на нормаль к поверхности раздела векторов скоростей этих частиц, т.
е. (р'я)! =((г )н (7.7) $ 8) замечания ов озщсй злдлчв гидеодинаинки вязкой жидкости 97 где ра —.давление со стороны покоясцейся жидкости. Таким образом, на свободной поверхности раздела нормальная составляющая напряжения должна быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль. Кинеьсатическое условие (7.7) заменяется в этом случае другим условием, выражающим собой то предположение, что частицы жидкости, находящиеся на свободной поверхности, не покидают этой поверхности во все время движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
