Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 21
Текст из файла (страница 21)
П). Векторное дифференциальное уравнение движения фиксированной частицы представляется в виде йр др дрв др, о —,=рр+ — „+ — + —, (2.8) то после подстановки в (2.3) и применения формулы Гаусса — Остроградского преобразования поверхностного интеграла в объемный получим: тяогзмл о глссзянии эисвгии умножая скалярно левую и правую части (2 б) на )гпГЖ и интегрируя по всему объему т, получим; ~ у(г СЕРЖ=Ж ~ ~ ~ рР Уй+ Так кзк рассматривается фиксированная постоянная масса, т. е.
Ц ) р с(т = сопзГ (2)' то анак дифференциала в левой части можно вынести за знаки интегралов. Заменяя слагаемые в правой части (2.6) через (2.2) и (2А), получии: "(()'( 7 т)= =Азг(Г~Азс(Г г(Г ~ ! ~~ Ря' д +Ря' ~ +Рг' л ) гГт (27) Левая часть полученного равенства (2.7) представляет собой элементарное приращение кинетической энергии конечной массы жидкости в объеме -.. В теоретической механике доказывается, что элементарное приращение кинетической энергии произвольнои изменяемой механнческои системы равно сумме элементарных работ всех внешних и внутренних снл, т. е. г)т= г('Аз+ гГА», (2.8) где Т представляет собой кинетическую энергию механической системы, г('А" — элементарную работу всех внешних сил и д'А' — элементарную работу всех внутренних сил.
В рассматриваемом нами случае элементарная работа всех внешних сил по отношению к массе, заключанной в объеме т, будет представляться первыми двумя слагаемыми в правов части (2.7), т. е. г)'Аз = А, гй+ АзЖ. А тогда элементарная работа всех внутренних сия деформируемой среды булет представляться последним слагаемым в правой части (2Л), т, е.
скА'.=- — Ж ) ! ~ (Є— -)-р — -(-Р ° — )г(т. (2,9) др др дуз ! ~("" дх з ду ' дз) !оч озщнз свойства движзния вязной жидкости [гл. и дУ дУ дУ Зх+~ в ду+~ - д»' (2,10) Раскрывая скалярные произведения в левой части (2.10) и подставляя значения напряжений по обобгпйнной гипотезе Ньютона для несжимаемая жидности, получим; Е = р '[ 2 1 д ) + 2 '1 д — ) + 2 '1 д ) + ( д — + д— ) + Выражение в правой части (2.11) всегда положительно, за нскяючением случая, когда все производные от скоростей по координатам обращаются в нуль. Следовательно, движение вязкой несжимаемой жидкости будет происходить без рассеяния механической энергии лишь в твм случае, когда не будет происходить деформаций частиц, т.
е. когда жидкость будет перемещаться как твердое тело. Во всех других случаях движения вязкой несжимаемой жидкости будет происходить потеря механической энергии. Вычитая из правой и левой части (2.! 1) соответственно выражение и вводя компоненты вихря, получим; Е = 4н (мл + ма + м~) — 4н ~ — — — — — + гди дт ди дт в ' [ду д» д» ду дт ди дш ди ди ди ди ди! + — — — — — + — — — — —. д» дх дх д» дх ду ду дх!' (2.! 2) Из полученного равенства (2.7) следует, что на элементарное изменение кинетической энергии движения фиксированной массы расходуется вся элементарная работа внешних массовых сил и лишь часть элементарной работы внешних поверхностных сил, т. е. сил напряжений.
Другая же часть элементарной работы внешних поверхностных сил не расходуется на изменение кинетической энергии, н поэтому можно полагать, что она расходуется на изменение формы, объвма и температуры элементарных частиц, т. е. идйт на изменение внутренней энергии, что и подтверждается уравнением (2.1). Для случая несжимаемой жидкости внутренняя энергия может состоять лишь из одной тепловой энергии, поэтому та часть элементарной работы сил напряжений, которая не будет расходоваться на изменение кинетической энергии, будет .Расходоваться на изменение тепловой энергии, т. е.
будет рассеиваться. Обозначил~ энергию рассеивания, приходящуюся на единицу обьел|а и на единицу времени, через Е, т. е. 106 теОРемА О РАссеянии энеРГии ~ О Г е)т = — 4)е Щ (аз + а,- '+ ае) г(т (2.!4) Пусть осн х, у, х будут совпадать с глазнычи осанн деформаций з рзс. сматрнзаемой точке, тогда энергия рассеяния (2.11) будет представляться через главные скорости деформаций з виде Е = 2Р (е" + е", + ее), (2.!6) 3 Умножая левую и правую части на — и вычитая пз левой и правой часгн 2 соответственно выражение 6=!,(м 4 ез4 ..)з, получим —. Е = Р ((ет — )'+ ( з — з)з+ ( з — )') 3 2 -= (2.16) Выражение в квадратной скобке з правой части (2.16) представляет собой е точностью до множителя не что иное, как квадратичный инвариант девиа- тора скоростей деформаций, рассмотренного иаии з 6 7 главы 1, который з свою очередь пропорционален скорости деформации результирующего сдвига частицы ((7,!2) гл.
1). Таким образом, скорость рассеяния мехаинческок энергии для несжимаемой жидкости пропорциональна квадратичному инаарнанту девнатора скоростей деформаций илн пропорциональна квадрату Скорости деформации результирующего сдвига частицы, т. е. Е = 4РЕ =бра'. 12,! 7) Умножая левую и правую части (2.12) на элемент Объема дс и проводя интегрирование по всему объйиу, получим количество иеханической энергии, рассеиваемой за единицу времени в конечном объйме т. ~ Ег)г= 4и ~ ( ~ (е'з +а,'-' ) аг),)т 4 ~' ~ ('(до да ди да ды ди да ди ди де ди дп) дг ду да дх дх дх дх ду ду дх) Если границы объема т будут представлять собой неподвижные твйрдые стенки, на которых в силу условия прилипания проеицни вектора скорости булут обращаться в нуль, то после интегрирования по частям булем иметь: 1 )да да [да ю — с05 (п, я) — й- с05 (п, а) е)5 — = О, и аналогично с другимн слагаемыми в правой части (2.13).
Следовательно, при движении несжимаемой жидкости, заключанной в неподвижном объеме, полное количество рассеиваемой механической энергии за секунду будет зависеть только от интенсивности вихрей внутри объема и будет представляться в виде )ое овщиз свойство движвния вязкой жидкости [гл. щ й 3. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости Лифференциальные уравнения (8.!) главы П движения вязкой несжимаемой жидкости преобразуем к безразмерным величинам. Для этого все входящие в эти уравнения величины выразим через величины той же размерности, но являюгциеся характерными для рассматриваемого те<ения. Так, например, прн движении жидкости в круглой цилиндрической трубе за характерный геометрический размер можно взять диаметр трубок а за характерную скорость — срелнюю скорость по течению.
При обтекании жидкостью шара за характерный размер можно взять диаметр шара, за характерную снорость — скорость потока на бесконечности и за характерное давление †давлен на бесконечности. Аналогично обстоит дело и в других случаях течений. Введам следующие обозначения для характерных величин: )э в линейный РазмеР, )г — скоРость, Ро — лавленне, То — вРемЯ, Ло — сила, приходящаяся на единицу массы.
Эти характерные величины можно рассматривать как своего рода масштабы соответственных величин рассматриваемого течения. Все переменные размерные величины будут представляться в виде пронзвелений характерных масштабов на безразмерные величины. Таким образом, мы будем иметь: х — йох» и = 1'ол», Гх = зарх, У'=тоУ» с= Тот * о= !»ооы Р =йорг го=»Тогу ~ !8 !) х =. ход,; ш = )гож,; Т» -- КО"ч Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения движения вязкой и несжимаемой жидкости и разделяя первые три полученные "о уравнения на множитель —, стоящий при квадратичных членах ьо инерции, получим следующие уравнения; ьо ди» ди, ди~ ди» вЂ” — + л — + о — + тв — =- То!Го дГ» ' дх, ' ду, ' дх, Го до, до, дп, дш — — — — +и,— +о — +ш То!го дт» т дх»» ду» т дх» ро г о ьо доо, дм» дш» дш» — — +л — +о — +ш —.
= Тот»о дтт» дх, ' ду» т дх, И»Е»» ро др» Ь'„у!1оз дог й»о» о ди» до» дш~ — + — + — =О, дхт ду, дх, й 31 подавив ташний вязкой насжимлемой жидкости 107 — ' —., =Е. Рь Ьь" ь (3,3) Число, содержащее ускорение силы тяжести, называется числом гдруда (1870 г.) 1г — ' — Е. (3.4) аль Число, содержащее характерное время, именуется числом Струхаля (1878 г.) — == 8 (3.5) Наконец, число, содержащее кинематический коэффициент вязкосги, называется числом Реапольдги (1883 г.) — =й. 1. У ч (3.6) Решения лифферепциальных уравнений (3.2) для безразмерных скоростей и,, о, и ш, и давления р, будут зависеть от четырех характеристических чисел Е, Г, 8 и (с.
Следовательно, некоторые качественные особенности течений вязкой несжимаемой жидкости будут предопределяться знзчениями этих характеркстических чисел. Особенное значение приобретают эти характеристические числа при рассмотрении вопроса о подобии течений вязкой несжимаемой жидкости. Многие вопросы гидромеханики, необходимые для техники, решаются при помощи экспериментоз с уменьшенными моделями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
