Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(4.9) вдг'х дд, Н, Т Повторяя такие же рассуждения по отношению к остальныи граням параллелепипела, получим: д ~ дТНН' — — 3 1)3д Од од, ба+..., 1 (х — ' а) йд,йд йдзбт+... д дТ НчНа ада ада Н, (4.10) Складывая выражения (4.9) н (4.10) н деля на термический эквивалент А, получим то приращение полной энергии в фиксированном объйме, которое обусловлено процессом теплопроволностн: дда Х дда На ) Других источников изиепения полной энергии в рассматриваемом объйме яет, поэтому приращение энергии, представленное выражением (4.1), мы должны приравнять сумме отдельных приращений, представленных формулами (4.4), (4.5), (4.8) и (4.11). Обе части получешюго равенства разделим на НгНлНдбд,одайдабт и перейддм к пределу, стягивая параллелепипед в точку и уменьшая промежуток времени бс до нуля. В результате получим 9 41 УРАВНЕНИИ ПЕРЕНОСА ПОЛНОЙ ЗНЕРГИИ следующее уравнение изменения полной энергии в фиксированной точке области, занятой средой: + — '['(-;-'+2) ° .|+[Роз(2-+ ) Ч.)+ г Н2НВНА'Где х ' е г ' двг (4.12) Уравнение (4.12) можно также называть уравнением переноса полной энергии.
Оно в своей простейшей форме было ввелено впервые в рассмотрение Н. А. Умовым ') в 18?3 г. Группируя слагаемые в правой части (4,12), пояучим: =Рр' )г ННРН ( д? [(Рох 2 +рог — Рх ' 1' — АН до ) НВНА)+ +дог[(р 2 2 +р г ре АН д ) г 21+ дГ/ Уг х дТА + — [(ро —;+р *- —,о. У вЂ” — — ) НН1). (4,13) дог)1 2 2 2 Ангдов) Вырагкение в фигурной скобке в правой части (4.!3) представляет собой ливергенцию особого вектора, который можно назвать вектором плотности потока переноса полной энергии.
Обозначая этот вектор через Е, для его компонент будем иметь следующие выражения; (4.14) В Умов Н. А„ Избранные сочинения, Гостехнздат, 1950. ! )гг "="' (-+з)— г Уг "вг2 ! ) Ее — — Роз ( 2 + ) х дТ У вЂ” — —, АН, двх ' А дТ АН2 д?2 ' дт АНгдвг При этих обозначениях уравнение переноса полной энергии (4.13) представится в виде д ~Р( — + )] =-РЕ. — ~ — (ЕзНгНг)+ В декартовых координатах уравнение переноса полной энергии (4,15) будет иметь вид д дГ дбз дЕ, дг(Р(2 + )) Р (дх+ду+д ) где нооекции Е , Е„ и Е вектора плотности потока полной энергии равны /Уз х хдТ Е =Ри( — +з) — р У вЂ” — —, (,2 ) з А дх' 7У .ду Е =Резь-+зз — -р У вЂ” — ' —, з ~2 *) з А ду' грг Х гду Е = Рсз( — + з)1 -- тз У вЂ” — —.
1,2,) " "А дз' (4.17) ф 5. Уравнение изменения внутренней энергии Преобразуем полученное уравнение (4.12) переноса полной энер- гии, Так как — = — У ° У, 2 то уравнение (4,!2) можно предстанить в виде ~дУ и, дУ егдУ оздУ „~ з ( г ) з 1 дг Нзддз Нгддз Нз ддз + — (Р.ННг)))+Р~-'+ — — + — — + — =) = ддз з ' з ) ) 'ьдг Нзддз Нзддг ' Нзддз! дУ дУ, др 1 (д / дХНгН„'~ Нзддз з Нзддз ' з Нзсдз ' АНзНзНз(ддз( ддз Нз 7 „д ( ду НаНз) д ~ ду 77,Нз)~ 88 диеевввнцилльныв ттлвнвпия движения вязкой жидкости (гл.
и 89 й 5! гелвнение изменания внттгеннвй энаггии Первая фигурная скобка в силу уравнения (3.!), вторая — на основании уравнения (1,8) обращаются в нуль. В результате, получим уравнение др дУ ! др 1 Гд /дТН»Н»! Ндд +' е Н.деа ' Рэ Ндаз + ЛИНН Где ( до П )+ Тзк как выражение в скобке в левой части (5.1) представляет собой индивидуальную произнодную от внутренней энергии фиксированной частицы, то полученное уравнение есть уривнение изменения внутренней энергии фиксированной чистииы с аостоянной массой.
В декартовых координатах уравнение (5.1) изменения внутренней энергии представится в зиле Гд» де д» д»т д У д У д У р( —.+и — +о — +ш — )=р .— +Р . — +р .— + (,дс дх ду дх,) х дх в ду ' де +.-~д( -)-.-(Я.-)+-. (х-.-)1 Раскрывая скалярные произведения трах первых слагаемых в праной части (5.2), получим; дУ дУ, ддр ди да дш дх ! е ду+' " д» Р™дх+Р»едх+~х» дх ди, до дш ди да дж + ду~~Р»ед +Ре д +! хд +~ш! +~»» Учитывая соотношения взаимности касательных напряжений (10.17) главы 1 и обозначения компонент скоростей деформаций (5.5) главы 1, будем иметь: др дУ, дУ Рх ' дх+Р» ' ду ~ Р» д.
=р .л +ревене+р е, +2р „е, + 2р»»„»+2р е, . (5.3) С помощью соотношений (11.!), (11.16) главы 1, представляющих обобщенную гипотезу Ньютона лля вязкой жидкости, равенство (5.3) можно записать; дУ дУ дУ Р . — +.а — +Р» ° — — = дх ' в ду д" 2и = — Рй — '(к' — — ~) бз+ 2!» (=-'з +ее +»е -1-2(ее +»з +»'„)). (5.4) 90 дифеееенцилльныв еелвнения движения вязкой жидкости (гл. и Таким образом, уравнение (5.2) изменения внутренней энергии фиксировинной частицы вязкой ясидкости представится в виле /де де де дез р( — +и — +о — +ш — )= 'Хдг дх ду дгг' +(х' — --")У+29(ег +ез +ге +2(гг -+ез +ег )). (5.5) Уравнение (5.5) можно рассматривать как уравнение притока внутренней энергии зо единицу времени в фиксированной частице вязкой жидкости. Источниками изменения внутренней энергии частицы вязкой жидкости, таким образом, будут: 1) теплота, поступающая благодаря процессу теплопроводности, 2) работа сил давлений, связанная с изменением плотности частиц, и 3) некоторая часть работы вязких напряжений.
Для случая так называемого совершенного (идеального) газа внутренняя энергия единицы массы равна с зт е А ' (5.6) Принимая теплоемкость с„ постоянной и подставляя значение е в уравнение (5.5), получим следующее уравнение притока теала для совершенного вязкого газа: + — (л — )~ — рй+()У вЂ” ~~) ба+ 2р ~( — ) +( — ) +( — ) + й 6. Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости В 6 3 были установлены лнфференциальные урзвнения лвижения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации.
Такое преобразование мы проведем лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщвнная гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями П1.1) и (11.16) главы 1, 6 6) хялвнения движения вязиой несжимаемой жидкости 91 В декартовых иоорднпатах соотношения (11,!8) главы 1, представляющие обобщенную гипотезу Ньютона, имеют вид р = — р+29 — +(1 — — ) 6, ди /,, 2я! хх ° дх 1 3/ до /,, 2И> р = — р+21с — +(с/ — — /1/!, ив ду 1 3/ р.
= — р+ 2и — +(1 — — ) Г!, дт >. > 2Н> дх ( 3/ (6.!) Будем считать жидкость несжимаемой, т. е. 6 = — + — + — = О. ди до дм дх ду де (6.2) Кроме того, положим коэффициент вязхостн р постоянным: >с =- соп51. (6.3) Подставляя при этих предположениях выражения (6.1) в правые части уравнения (З.З), получим следующие дифференяиальнме ура- внения двилсения вязкой и несзки.иаеяой лсид/гости, представлен- ные через составляющие вектора скорости в декартовых коорди- натах; ди ди , ди 1 др дС ' дх ду де и я дх ' =->-и — +и — +то — = à — — — +>Ьи, до до до до 1 др — +и — +о - — +ш — = Р -- — — + >Ьп, (6.4) д/ дх ду де В Г ду дт дм, дм дм ! др — -+ и — + и — + со — = г" — — — + ч Ьш, дг дх ду де ' я дх 1 до, дот о„ д„ /+ ! дг' ог 1 до„ вЂ” р+21с(г г д ) дое, р+ 2Р да ' ргг = (6.5) Ргг Подставляя (6.5) в правые части уравнения (3.7) и используя уравнение несжимаемости (6.2), представленное в виде до, ог 1 дов дое — + — + — — + — =О, дг г г дт дх (6.6) где й — дифференциальный оператор Лапласа, а > --иннематическия коэффициент вязкости.
Пользуясь выражениями (8.9) главы ! для скоростей деформаций, мо>ино представить обобщенную гипотезу Ньютона для несжимаемой вязиоя жидкости в цилиндрических координатах следующими соотношениями; получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости з цилиндрических координатах до« о до« до„ " дг ' г дт « д» г 1 др ! о„ 2 до„т т) 0 дг ( " г«г«дт)' до„о до дот о,о„ т — + — — +- о« вЂ” + — — = «дг г дя "д» г 1 др г о„2 до,« = р — — — -+ «(Ьо — — "-+ — — '), яг дя (, т г»1 гг дт) до«о до, до, 1др +о — + — — +о — '=- р — — — + Ьо, «д» г дт «д» *,.
д» до« вЂ” «+ д» до„ д! — -+ (6.7) до, дт где оператор Лапласа Л имеет вид д«1 д ! д«д« !6.8) дга+ г дг+ г«дт«+д»« Обобсценная гипотеза Ньютона в сферических координатах прн использовании равенств (8.11) главы ! представляется в виде доя — р+ 2и— д!7 ' ол 1 до, о с!90 !ол 1 до«! — р+ 2!«! — + — — ); '1 гс ' 27 д0 ) ! 71 дол до ос! !до ! дол о 1 — — -),Р ' )20 дз + дтЗ Л«)' тв ' (дА' + Д«з!и 0 дт Р0)' 1 до„! до о с!20 (6.9) Р«« = Подставляя выражения (6.9) в правые части уравнений (3.11) и используя уравнение несжимаемосгн доч 2оч ! до 1 доч о с!90 д!7+ Р ' 27 00+7»з!пз дя + ' !7 — О, (6.10) получим дифференциальные уравнения движения несжимаемой жидности с постоянным коэффициентом вязкости в сферических коордн- 92 диеаяоянцилльныа толвнения движения вязкой жидкости (гл.
и нАчАльные н грАннчные головня натах дил дол оч дил оз дол оэ+т>', — + т л — -'- — — - + — —.' дг дУГ ' й дб ' УГзшб др УГ 1 др У 2о>т 2о„2 ди„2 доят — +,!'Д~, ", —,",1д 0 р дУГ ! УГз УГз й УГзмп0 дт УГА д0)' ди до и ди,, о, ди оло ~ с!20 дг дй> ' УГ дб ' УГА>па др ' УГ УГ ! др о 2 соя 0 до 2 дол> =-,из — —,— + !лот —, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
