Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. (9.2) Р-я = — Рз Р-з = Ра Р-д = Р! б2 сковости двеогмлций частицы. компоненты нлпеяжвний [гл. ! 53 компоненты нлпгяжвний На тетРаэзгР, помимо напРЯжений Рл, Р,, Р я и Р ., бУл)т действовать ещб массовые силы, вектор которых, отнесенный к единице массы, мы обозначим через Р. Следовательно, по закону Ньютона имеем: 1 1 3 ' '" = '," '+Ря" +Р г з+Р-з я+1 -з где тв — вектор ускорения, о — плотность и й — высота тетраэлра. Обозначни направляющие косинусы нормали с осямн ли ж, хз через (н 7а и 7.„ тогда Ьзз = Ьз(а ()е = 1, 2, 3). Булем теперь переходить к пределу, приближая площадку Ьз к точке М, т. е..
уменьшая 5 да нуля, В результате получим: ь=з ъю Ря='. РА, а=! Рй 5) Таким образом, вектор напрязкения на площадке с произвольным направлением нормали полностью определяется тремя вектораии напряжений на трах взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку, через которую проходит н данная площадка. Следовательно, зги тРи вектоРа Р„, Рз и Рз полностью хаРактеРизУют напряженное состояние н точке.
На этом основании этн три вектора, представленные также таблицей (9.!), называются тензором налрялсенид. Заметим, что равенство (9.5) после умноженяя на Ьз и замены пронаведения дт)» через Дт. н Рх через Р з представится в виде Ряб +ХР б .— О (9,6) Зто соотношение означает, что для самих снл напряжений, распределенных по сторонам элементарного тетраэдра, выполняется векторное уравнение равновесия. Такии образом, равенство (9.5) можно рассматрнвать как следствие того положения, что силы напряжений, распределенных по граням элементарного тетраэдра, образуют систему взаимно уравновешенных сил. Подставляя это в (9.3) и используя равенство <9.2), после разделения на Ьз будем иметь; — дртз = — дрР+ Ря — ',~~Рл)л.
1 1 (9.4) ь-..1 54 скогости двеогмйцип частицы. компонкнты ийпгяжвнип (гл. ! ф !О. Главные напряжения Рассмотрим элементарную площадку с нормалью п (рис. 13). Вектор напряжения на атой площадке будет представляться в виде й=й Р» — Х Р*!й й=! (и! = 1, 2, 3). (10.1) Умножая леву!а и правую части на едини!нын вектор гй, и складывая, получим вектор напряжения на площадке с нормалью п в виде й =ай=:! Рз .=- ~~~~ ~ Рй,й!йг,й, (10,2) !з=! й=! Чтобы найти проекцию вектора напряжения рн на нормаль и, необходнио каждую Рнс.
!3. проекцию его рйй, умножить на кось,!ус угла нормали (й, с осью хк, и слозкнть. С;щдивагельно, нормальное напра!кение на плопгадке с норзщльк! п будет представляться в виде ! й='! Рлк =- х.рй„,(л, = ~~'~ ~л~р,„,lй(м. (!0.3) !=!к=! Касательное же напряжение на этой площадке будет опре ге.жгься раненсгвом (! 0.4) Отложим !еперь вдоль нормали и отрезок ОК, относительные координаты конца которого обозначим через 3й. Тогда будем ивет!и Ей = ОК!й. Определяя отсюда !» н подставляя в правую часть (10.3), получим; !з=з й=! (ОК) Р и Х ХРйт й( и »ь=! й=! (10.5) Выберем длинч отрезка ОК так, чтобы (ОК)з Р„„= 1.
(! О.б) Обе части этого равенства спроектируем на ось хко тогда получим следУющие выРажениа длЯ пРоекций вектоРа напРЯжениЯ Рл на оси координат: й:=з Рюй = Х Рй„(й й=! 8 10) ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Тогда уравнение геометрического места концов отрезка, квадрат длины которого обратно пропорционален величине нормального напряжения на площадке с нормалью, совпадающей с направлением самого отрезка, будет представляться в виде ы=вь=! ОР: Х Х РА>АЕЛЕА! — 1, (10.7) и>=! >'=! Полученная поверхность второго порядка мазь>вается повврхносщьх> налрлжгний в рассматриваемой точке, Направляющие косинусы нормали к поверхности напряжений будут пропорциональны частным производным левой части (10.7) по координатам, которые будут Р„ прелставляться в виде д —; = ~ы Ри,Е» = ОК ~РА»1л.
(10 8) г>Р %ч еи> А=! А.=! Направляющие косинусы вектора напряжения Р„будут в свою оче. рель пропорциональны проекциям этого вектора, представленным в виде (10.1). Сравнивая правые Рнс. 14. части (10,1) и (10.8), заключаем, что вектор напряжения на площадке с нормалью п буде! параллелен направлению нормали к поверхности напряжений в >ой точке, где нормаль п пересекает поверхность напряжений (рис. 14). Главные оси поверхности напряжсний называю>ся главными осялги напряжений в рассматриваемой точке.
7(ля п.ющзлок, перпендвкулярных к главным осям напряжений, вектор напря>кений буде!. направлен строго по нормали к этим площадкам. Таким образом, па главных площадках развива>отса голько одни нормальные напряжения, которые назь>ваются главнылш нормпльными нплригкениями в точке. Касательнь>е напр»>кения на главных площадках обраща>отся в нуль.
На основании соотношения (!О.б) заключаем, что экстремальные значения нормальных напряжениИ будут нахощжься среди трах главных нормальных напряжений. Обозначая главное напряжение через Р„б>дем иметь длв его проекций следующие выражения: Р н==Р(>ч Подставляя эти выражения в левую часть (!0.1) вместо р„ы и развбртывая сумму, получим следующую однородную систему уравнений: !Ры — -Р)1,+Р>з(в+Р>з)з--0 1 Ра>1>+ (Рщ Р,) 1з+РЫ(в = 0 (10.9) Рз>1! + Рзв(г+ (Рзг — Р,) 1з =- О бб скоеости дееогмлций члстины. компоненты нлпея»канин (гл, ! Так как направляющие косинусь! (г, йм 1» отличны от нуля, то опре- делитель этой системы должен обращаться в нуль, т. е.
Ры Р Рщ Рщ Р,,— Р, Рге Ргн (10. 10) Уравнением (10.10) определя!отса значения Р,, Рз и Рз трех главных напряжений в рассматриваемой точке. Раскрывая определитель в левой части (10.10), получим следу!он!ее кубическое уравнение: — Р',+Р,Р",+Ряр!„+Рз=-О, где коэффициенты Р,, Рз и Рз представляются в виде Р! = ай рая а=! ! = — РыРщ Р!. Рзз Рззры+ Рырм + РюРщ+ Рщры Ргэ Ргз~ )з= Рщ Рз! Рщ' Рщ Рзя Рзз ~ (1О. Рй) Полученные выра!кения Р„Рз и Р.
называются плзариантажи темзора мллрллгениа на том основании, что коэффициенты уравнения (10,11) не будут изменяться прн замене одной системы координат через другую с помощью поворота. Первый из этих инвариантов представляет собой сумму нормальных напряжений, Одна треть от этой суммы называется средним нормальныл напрялсениел в точке. Если мы за оси коорлинат возьмвы направления, совпадающие с направлениями главных осей напра!кении в рассиатриваемой точке, то инварианты напрюкений будут представляться в вщье г ! =- Р ! + Рз + Р! Ря = Р»Рз Рзрз Р»Р! 3 ) !Р2Рз.
П0.13) з=з Ря Х Ри)А е=! (1О. 14) Возьмем теперь вторую площадку, проходящую через ту же точку и имеющую нормаль и' с направляющими косинусами 1а (рис, 15), Применяя формулу (10.2) к тому случаю, когда за оси координат выбраны направления главных осей напряжений, получим: й !01 гл*яные н*пеяжения Проектируя вектор напряжения рп на напрзвление нормали и' ко второй площадке, получим: е=ь Рпп' = Хрь(ь(ь. е=т (10.
15) (10.!0) Рте =Рп и. Применяя это равенство к трем вааимно Рпс. 1Е. перпендикулярным площадкам, нормали к которым совпадают с направлениями произвольных осей координат, получим следующие соотношения взаимности или сопряженности касательных напряжений: (10.! 7) Ры =Рвы Рее = Рт Рт =Рщ. Возьмем элементарную площалку, нормаль к которой совпадает с направлением биссектрисы угла между двумя главными направлениями напряжений, т. е. имеет слелующие направляюиьие косинусы: у/2 у ь 2 '-' 2 ч Вектор напряькения нз этой площадке на основании (!О.!4) будет представляться в виде Р,= 2 (РА+Рэ(е).
)Р2 (!0.18) Проектируя этот вектор на нормаль т получим нормальное напря- жение 1 2 (Рь+Ря)' (10.! 9) Касательное же напряжение на этой площадке булет равно Р = )с Р, — Р'„„= 2 (Рь — Ре). 1 (10.20) Таким образом, разность двух главных нориальных напряжений равна улвоенному касательному напряжению на той площадке, нормаль к которой является биссектрисой угла между рассматриваемыми главными осями напряжений. Касательные напряжения на площадках, нормалями к которым служат биссектрисы углов межлу направлениями Если же взять вектор напряжения р„, на второй площадке с нормалью п' и спроектировать его на на- Р правление нормали и к первой площадке, то получим то же выражение (10.15) в правой части.
Таким образом, получаем теоРему Коши о езпимности напряжений на двух площадках, наклонЕнных друг к другу пол произвольным углои 58 скогости диеогмлций частицы. компонинты нлпгяжкний [гл. » славных осей иапряи<еинй, навываются глааныжи касатлельиыжи напряжениями. Таким образом, для главнь>х касательных напряжений будем иметь: з 2Р», =Р. 2Р»'»' = Рз — — Р„ (!0.21) где (1'), (2') и (3') обозначают направления указанных биссектрис. Так как из трлх главных нормальных напряжений одно будет иметь наименьшее значение, а другое — наибольшее значение, то разность этих двух будет представлять лтакгимпльное значение кпсптельиого иат»Рялсеиия в рассматриваемой точке. Иначе говоря, из трех главных касательных напра»кении одно будет представлять максимальное касательное напряжение. Девиа»порол» напряжений называется тепзор, составленный из теизора напряжений с помощью вычитания из диаго»»альйь»х его членов величины среднего нормального напряжения Р»т 1 ,»зз — — Р, 3 (10.22) Р* ! 1 3 11срвый линейный инвариант давид»ора напряжении 0»лет равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
