В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ф 35. Простейшие задачи конвективной теилонередачи Первым из вопросов теории тенлонсрелачи, который интересно раесмотрсть лля сраввсния с теорией лнффузли, лв,жется вопрос о теплонерелзче, ос>щсствлясмой жидкостью в )словнях внутренней задачи. [гл. ют теплопеведлчл в жидкостях !94 а) Рассмотрим ламинарпый поток жидкости по трубе, стенки которой поддерживаются при определенной температуре Т,.
Жидкость, входяшая в трубу, имеет температуру Т,, Мы будем предполагать, что труба имеет круговое сечение, радиус трубы обозначим черен Я Уравнение для распределения температуры запишется в цилиндри. ческих координатах (г, О, х) в виде дТ ГдеТ 1 дТ даТ 1 и — = У.[ —, + — — + —.1 дх 1дга г дг дх"-) ' (35, 1) При этом учтено, что температура не зависит от угла 0. Граничные условия: Т=Т, при г=й. х)0, (35,2) Т=Та при х=0, г(гс. (35,3) л„л т Ке ° гс'. Рассмотрим [1[ теперь участок трубы, на котором установление пуазейлевого профиля скоростей уже произошло (т. е. область х ) гз„). При этом (35,1) запишется в виде Предполагая. что число Пекле Ре = Ке ° Рг =— ооК Х велико по сравнению с единицей, можно считать, что копвсктивный перенос тепла вдоль трубы превышает молекулярный.
Иными сло- дТ вами. можно опустить в уравнении член )( —, по сравнению с чледха ном в левой части. Значение на выражается через средшою по сечению скорость н(на — — 2п). Тогда имеем: а( Ь~)дх с(д я + г дг)' (35,5) Скорость о жидкости вдоль трубы имеет различное значение во вход. ном участке и в области установившегося пуазейлевого течения.
В первой области задача оказывается идентичной с диффузионной задачей, рассмотренной в » 15. Однако, поскольку, коэффициент температуропроводности срав. ним по порядку величины с вязкостью жидкости ч, ллины йк и Ьт, ма которых происходит установление пуазейлевого профиля скоросте» и стационарного режима распределения температур соответственно, имеют один порядок величины 351 ИРОстейшиР ЕАЕАчи конвектияной теплопеРедАчи 195 уравнение (35,5) представляет уравнение с разлеляющимися перемен- авыии. Легко видеть, что его решением служит ряд Т= Т, -+ ~> (Та — Т,) Л„ехр ~ — р„~ „~Чг„(г), (35.6) "ай Еде Л и 8„— произвольные постоянные, а функция >р„(г) удовлетворяет уравнению «"- 1>„1 Л>ул >Чл га 2 — „,,"+ —, „"+ — „",[1 — — „,~>р„=о ири граничном условии '1' =0 при г=гх Функции >РА могут быль представлены в виде бесконечного ряда, не имеющего особенности в начале координат, л/ Граничное условие (35.2) даст: Ч'„(гт) = О.
Последнее уравнение имеет бесконечное число корней, первылщ из которых являются ~> = 2,705, ~2 = 6,66, ~ = 10,6. Постоянныс Л„, отяечаюп>ие этим корням, мЬ>кно найти путеи подстановки ряда (35,6) в граничное условие (35,3). Они имеют сле- ДУ2ОЩИЕ Зиачения; А = 1,48, А2 = — 0,81 Аа — 0,38. С помощью этих постоянных распределение температуры в трубе Можно написать в виде (рис. 37) Т= Т>+1 48(Та — Т>)ехР~ — 3 65 т,~>Ра( — )— — 0,81 (Т вЂ” Т ) ехр ~ — 22,18 —.~ р> 1- — ) — ° .
а Исдодя из последней форл>улы, можно нанти тепловой погок кдоль трубы д =- — асру( — ) г л алод >7 в зависимости ог координаты х вдоль трубы изображен на Рис. 38. 196 [гл. пг твплопвгвдачл в жидкостях 7 л На этом рисунке по оси абсцисс отложено значение —, °,—, 2по7с И х ! — по оси ординат — значение критерия Нуссельта для трубы. 2К !е Мы видим, что на расстоянии х=0,05(2Я) Ре от входа в трубу устанавливается асимптотическое значение критерия Нуссельта (35. 7) Хц = З,бб. б) Основной интерес представляет конвективная теплоперс а при больших числах Рейнольдса. Поскольку в задачах теплопередачи рис..37. Распределение температуры в трубе.
Профили температур, вычерченные сплошными линиямп, соответствуют значениям, †„ = 0,005; хх йп,.Е 0,01; 0,02; 0,04; 0,06; О,ОЫ. обычно можно считать' число Прандтля порядка единицы ~ во всяком случая нс превышающим 100, случаи, подобные рассмс гренному в 9 14, когда ке (1, а Ре)) 1, в ~еории теплопе[сцачи не встречаются. Чаше встречаются случаи, когда число Рейно ~ьдса велико по сравнению с 'единицей. Основной для технических приложений случай тепл щередачя в турбулентном потоке будет рассмотрен ниже. Здесь ь ы кратко рассмотрим пскогорые случаи теплопередачи в погранншгом слое при ламинарном движении.
1. Теплопередача у поверхности враща згцегося диска. Решение задачи о теплопередаче у поверхносзи шока было получено С. 3. 1(и5елем [2) с учетом тепла, вылеляющ ются вслед стане дисснпации. Если пренебречь последним эффект и, решеняз тепловой задачи идентично с проведенным в 9 !1 реш пнем днффу зионной задачи. 35( пгостейгпие злтл'ш коцвактивпой теплопегедьчи 1 9Т. Распределение температуры дается формулой У-'.1 ( ', (То — Т~) / етр ( ~ л-пк(с')'а".-' ) д( Т— ( Т (35, 8у 1 У ~ (> (о где '; — безразчериая коорлииатз с = ~/ — у и оа — р' юН(',), так что о, т(у = т Н (:) 01.
()днако в отличие от случая диффузии величина тс вообще говоря, сравиима с вязкостью жилкости, тзк что числовой коэффициент во '(ий О 000 01 ц/5, 02 000 03 Е Рис. 33. Изчспснпс критерия Нуссельта при лами- нарно» тсчспии. внутреннем иптегралс — 1. По этой причине нельзя воспользох ваться для Н(от) Разложспием при мзлых зиачещиях 1, как это было сделано в (т 11.
Втячислеиие иптсграла необходимо проводить числспио, задаваясь конкретным зизчсиисм отношения Рг,= -- . Тепловой поток вырви мается формулой х(҄— Т,) (Гт~п (.Р / () о (о ! (35,9) Содерткащеи тот жс интеграл [гл. ьт 133 твплопегедлчл в жидкостях Величина ог, выражющаяся интегралом ° о [ Е 1г-Г~-'Ц.*~ р / ид>а ~а, о [ е (35,[О) представляет толщину теплового пограничного слоя. 2. Гладкая пластинка, обтекаемая ламина рным потоком.
Распрелеление температуры определяется уравнением дТ дТ дЯТ и — + о — =у— дк ду "дуя (35.11) при граничных условиях Т= Т, прн у=О, к) О, Т-+ Т, при у-+со. (35,12) Задача о теплопередаче, таким образом, идентична с задачей о распределении концентрации. рассмотренной в 3 15. Однако я здесь, как в случае диска, нельзя воспользоваться разложением в и оя в ряд, с сохранением первых членов разложения. Польгаузен[3] решил эту задачу числовыми методами. Заменой переменных, указанной в 3 3, уравнение для распределения скоростей в пограничном слое приводится к виду (3,24).
Этой же подстановкой уравнение для распределения температуры в пограничном слое (35,1 1) сводится к следующему: Т"' + Рг УТ' = О. где / определено формулой (3,27). Решением уравнения (35,!3), удовлетворяющим граничным усло- (35,13) виям (35,12), служит ~Т,— "" я (.*~ ~ — Г (( [П Т=Т,.+(Т,— Т,) „ и е 1.*,[ — ~ )~а ~ 0 [ о (35, 14) Соответственно тепловой поток 1 à — л, (Т,— Т,).—, г 2 У к (35,15) Дтеял — у Р— Р (ГГР ) о 1 о Вычисление интегралов в формулах (35,14) и (35,15) монсет быть выполнено только численно, поскольку параметр Рг 1.
16> с) тссплопс гд*чл в т» в»лс>стссо>с потоке , Зб1 Значение интегрзла — Г ет = 2 ~ ~ ехр( — Рг / (с(г' )ссс ~/ (35,16) выражает толщину теплового пограничного слоя. Его зависимосю от координаты х вдоль пластинки и скорости потока и,> такая же, кан у диффузссоссссого пограничного слоя. Числовое зпзчспнс интеграла с а = ~( ехр, — Рг ) /(г') с((' с с)с в ) ч ) Рг ( сс (Рг) Рг а (Рс) а (Рс) 0,0 1 1,1 0,6 0,7 0.8 0,64 0,66 0 бс> 1,29 1,!6 1,(>7 0,55 0,53 0,61 10 15 Числовое значение коэффисснснта в ьт изменяется с изменением числа Прандтля довольно существенно. При Рг ) 20 можно гольвоваться формулами, выведенными для диффузии в предположении Рг)) 1 с точностью до 2о и ПогРешность, возникающаЯ от неУчтенвой зависимости материальных констант ч и ( от температуры, повидимому, превышает эту неточность.
ф 36. Теплопередача в турбулентном потоке Первоначальный вариант теории переноса тепла турбулентным потоком, предло>кепный Тейлором и Прандтлем, который был рассмотрен нами в 8 25, представлялся не вполне удовлетворительным с самого начала, Лействительссо, наличие резкой границы между ааминарным подслоем и областью турбулентного движения вьсзывало аринципиаль>сне сомнения.
Кроме того, путем подбора единственной востоянной, входящей в выражение для теплового потока, не улавааось добиться хорошего согласия лсе>кду теорией и экспериментом в тепловой области. В связи с этим был предложен ряд усовервсенствовассий теории Тейлора и Прапдтля. Карманом была предложена теория ламппзрпого подслоя с зоной сопряжения (буферным слоем). Предполагается, что з зоне сопряжения для различных чисел Прандтля приведено в табл. 4, таблица 4 200 [гл.
г>г теплопеивдачл в жид>гостях совершается постепенный переход движения жидкости от турбу. леитного к строго ламинарнол>у. )для получения наблюдающегося на опыте профиля скоростей Карман принимает для распределения скоростей в зоне сопряжения логарифмический закон типа (4,12), но с постоянными, отличающимися от портояпных, вхоляших в логарифмический закон распределения скоростей в облзсти развито)[ турбулентности. Введение дополнительного логарифмического выраигения в распределение скоростей, содержащего две произвольные постоянные, увеличивает полное число постоянных, пходяших в распределение скоростей, до пяти.
Находи из распределения скоростей значение турбулентной вяз— г ди > ди кости, равной согласно (4,5) >, „а пг' сопз( ° Р— = оР— , можно ду = ду ' вычислить тепловой ноток по формулам д> д = Ров (/ + /игга) ду (36.! ) у о> сопз( ° Р— = и) ади гди -ю ' ду ду ' (36,2) При этом, однако, не удается добиться достаточно хорошего согласия с опытом. Как было подчеркнуто Рейхарлом [4[. нет никаких оснований считать, что постоянные, входящие в формулы (4,5) и (36,2) для турбулентной вязкости и температуропроволиостн соответственно, должны иметь одно н то же числовое значение. Напротив, как мы указывали уже ранее, на примере турбулентной диффузии, эти постоянные могут иметь совершенно различные значения.
Поэтому формулу (36,2) для турбулентной температуропроводиости, следуя Рейхарду, нужно написать: Лгг Уттиа=Ф' д, ='[зпоУ (36,3) глс [ — некоторая постоянная, отличная от елинипы. В >том случае удаетси добитьси лучшего согласия теории с опытом, ак как распределение температур будет определяться ие только рзспределением скоростей, но содержать еше одну постоянную [, к> торой можно распорядиться по произволу ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
