Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Получаем: 1г' = 2уй —., Мйа 268 3АкОО жиВых сил Если бы такое тело спускалось с наклонной плоскости не вращаясь, то имели бы: 'г"а — 2ф1 — Лов. 1 2 (86) Опускающаяся по желобку частица лг получает, как мы видели, скорость, состоящую из двух слагающих: горизонтальной скорости ам — у соз ~у и вертикальной скорости )г жп у. Сумма квадратов этих слагающих даст квадрат полной скорости. Следовательно, живая сила частицы гп будет равна — ги ~(аа — 1гсоз у)а+(1'з)ну)а~ . 1 (87) Полная живая сила частицы и вращающегося цилиндра будет равна сумме выражений (86) и (87). Что касается работ сил, то здесь имеем только работу веса частицы лг; при опускании частицы на высоту у работа будет равна тку.
следовательно, вращение уменьшает скорость 1". Аналогичный результат получим при сравнении следующих двух движений (фнг. 164): а) маятник, состоящий из шара Р, подвешенноа) го на невесомой нити; б) тот же шар, катящийся ,'В ) й по круговому желобку. ! Во втором случае качания . ~~р будут медленнее, чем в ~Ц первом, Фиг. 164. Тяжелая части- ца, движущаяся по винтовому желобку. Мы начали решать эту задачу в ф 86 и получили уравнение (64): и (у+ та') — алг)г соз у = О.
Докончим ее, т. е. составим второе уравнение, связывающее неизвестные )' н ы. Для этого нам послужит закон живых сил. Назовем момент инерции цилиндра, несущего винтовой желобок, относительно оси его через 7. Тогда живая сила этого цилиндра будет: УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 269 Так как начзльные скорости по заданшо равны нулю, то уравнением живых снч будет: Лог+ гл((ам — )г соз у)а+ ()l юп фа] =2лгду, (88) Соединяя его с уравнением (64), найдем обе скорости )г и м. Нетрудно видеть, что как опускание частицы т, так н вращение цилиндра будут происходить равноускоренно.
120, Устойчивость вращения твердого тела. Мы знаем, что в каждой точке теча есть три главные осн; они обладают тем свойствоч, что при вращении около них без действия активных сил силы инерции взаимно уравновешиваются. Когда сообщено вращение около главной осп, то оно будет продолжаться по инерции без перемены.
Между тем, если сообщено вращение около неглавной оси, то для поддержки его необходимы внешние силы на оси. Если нх нет, то ось вращения будет м г н о в е н н о й, беспрестанно изменяющей свое положение в теле и в пространстве. Только главные оси обладают свойством быть постоя инымии осями, около которых вращение поддерживается инерцией, без помощи внешних сил. Этим свойством обладают все три главные оси, Но постоянство оси, при отсутствии внешних сил, еще не означает ее устойчивости.
Этим последним термином мы называем способность тела мало изменять свое вращение от действия на него небольших толчков, т. е. от кратковременного приложения к нему небольших сил. Положим, что первоначально тело вращалось около главной оси и что действием толчка ось вращения изменилась, т. е.
тело после толчка вращается около мгновенной, беспрестанно переменяющейся осн. Сейчас же после толчка эта мгновенная ось по необходимости очень близка к первоначальной оси, так как предполагаем небольшой толчок. Иногда затем, с течением времени, мгновенная ось постепенно удаляется от перноначальной, и в скором времени зто удаление делается очень заметным; тогда мы говорим, что первоначальная ось вращения была неустойчивая. Если же после толчка мгновеннаи ось хотя с течением времени изменяет свое положение в теле и в пространстве, но„тем не менее, отклонение ее от первоначальной оси все время остается очень малым, то мы называем первоначальную ось устойчивой, 270 зАкОЯ жиВых сил Рассмотрим общий случай, когда три момента инерции Уы Уа, У, для главных осей не равны между собою.
Из этих трех моментов один — наибольший, другой — наименьший, а третий — средний. Легко доказать, что как ось наибольшего момента, так и ось наименьшего момента будут устойчивы. Для доказательства мы кроме закона живых сил применим закон моментов количеств движения. Пусть первоначальное тело вращалось около первой главной оси, обладающей моментом ннерции Ум и имело угловую 1 скоРость Р . НачальнаЯ величина живой силы есть †У,лаа; начальный момент количеств движения для первой оси равен Уппм а для лвух других осей этот момент равен нулю. После толчка тело будет вращаться около некоторой мгновенной оси, не совпадающей с главной. Скорость вращения около мгновенной осн можем разложить на три скорости по главным осям; эти слагающие (они переменные) назовем р, д, г.
Тогда живая сила будет равна (см. ф 116); 7'= 2 (У,Р +Уар~+У,~') . Момент количеств движения после толчка будет иметь своими проекциями на главные оси величины (см. ф 91) У,р, Уад, .У,г. Полная же величина момента количеств лвиження р получится как равнодействующая трех проекций, т. е. будет равна: После толчка тело опять предоставлено самому себе, и внешние силы на него не действуют. Следовательно, при дальнейшем движении как живая сила его Т, так и полный момент количеств движения р, должны сохранять постоянные величины, притом зти величины должны очень мало отличаться от первоначальных значений живой силы и момента количеств движения, имевшихся до толчка, так как толчок по предположению очень невелик. Будем считать толчок бесконечно малым1 тогда, обозначая через а и р бесконечно малые величины, получим: 1) условие постоянства живой силы У1Рг+У да+Уаг'=УгР~о+а; (89) УстойЧВВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 271 2) условие постоянства момента количеств движения (У,р)а+ (У,д)а+ (У, )е = (У1ра)е+ 8.
(9О) Исключим из этих УРавненнй Р и РЕ1 дла этого (89) нУжно умножить на У, и затем вычесть (90) из (89). Получим: "га("гг "га) Ч + "га(Т1 га) г ="ггп аг=я' аг, (91) где (а' — 'р) — бесконечно малая величина До сих пор мы не говорили ничего о сравнительной величине моментов инеРции Ты Ум Уа. ТепеРь пРедположим, что У, — наибольший из них; следовательно, первоначально вращение происходило около оси наибольшего момента инерции. Тогда У, — Зе > О, У, — 1, ) О; следовательно, оба члена левой части уравнения (91) положительные, а так как сумма их должна быть бесконечно мала, то н каждый из членов должен быть бесконечно мал. Отсюда следует, что д и г должны быть бесконечно малы.
Итак, во все время движения по инерции после толчка скорости д н г бесконечно малы; а так как вращение после толчка состоит из трех слагающих р, д, г, то, очевидно, направление мгновенной оси вращения в теле будет бесконечно мало отличаться от первой главной оси, имеющей моментом инерции ум т. е. от первоначальной осн вращения. Нетрудно доказать, что и в пространстве направление мгновенной оси будет все время очень близко к первоначальному направлению оси вращения. Для этого рассмотрим направление вектора моментов количеств движения.
До толчка этот вектор совпадал с первоначальным направлением той главной оси тела, около которой происходило вращение. Толчок мог изменить направление вектора моментов количеств движения в пространстве лишь бесконечно мало. После толчка внешние силы не действуют, следовательно, положение указанного вектора неизменно. Но он получается как равнодействующий нз трех моментов по главным осям у,р, уед, .Тег, следовательно, направление равнодействующей этих трех векторов может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения, а так как Ттд н Уаг †величины бесконечно малые, то направление скорости р, а следовательно, и мгновенной оси, может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения.
272 зАкОн живых сил Таким образоч приходим к заключению, что в движении, происходящем после толчка, мгновенная ось вращения и в теле н в пространстве будет лишь бесконечно мало отклоняться от первоначальной оси вращения. Следоватмльно, зта ось, т. е. ось наибольшего момента инерции, устойчива. Возьмем теперь случай, когда первоначально вращение происходило около оси наименьшего момента инерции. В зтом случае имеем: У, (Уз(У„следовательно, з уравнении (9!) члены Уз(У,— Уз) ф, Уа(У,— У ) гг обз отрицательные. Л так как их сумма равна бесконечно малой величине а' — р, то каждый из этих двух членов должен быть бесконечно мал," отсюда следует, что д и г бесконечно малы.
Одним словом, мы можем буквально повторить все предыдущие рассуждения и убедимся, что ось наименьшего момента инерции также устойчива, Но, если первоначальное вращение происходит около главной осн, имеющей такой момент У„что У, с У, < Ум то в уравнении (91) член Уа(У, — Уа) г' положительный, а другой член Уа (У, — Уз) ф — отрицательный. Позтому здесь мы не можем сделать заключения, что и и г бесконечно малы. Следовательно, здесь неприменимы и все последующие рзссуждения, с помощью которых мы доказывали, что оси наибольшего и наименьшего момента инерции устойчивы. Для оси, имеющей средний момент инерции, необходим отдельныЛ, особый разбор вопроса.
Мы его не будеч делать, а укажем только на результат: оказывается, что зта ось н е у с т о й ч и в а я. В случае тела враихенпя дза глазных момента инерции равны мекду собою; напризер, У,=УА. Третий глазный момент инерции, а именно, чоиент инерции тела для осн его фигуры, илн больше остальных дзух, или меньше пх обоих, т. е. Он нли наиболыпий, или наиченьший, Предыдущие рассуждения показывают, что ось фигуры будет всегда устойчива. Можно было бы доказать, что остальные главные оси неустойчивы. 121. Теорема Даниила Бернулли. Прилагая закон живых спл к устаиозившемуся движению жидкости, получим теоречу Д.
Бернулли. Это †основн, главная теорема гидродинамикн, имеющая многочисленные прило кения при изучении течения воды в реках, каналах, трубах„ при исследовании действия воды в водяных двигателях и т. д До недавнего времени теоремА ЛАнинлА БЬРнулли 213 эта теорема была почти елинственным теоретическим результатом, которым пользовались в гидравлических приложениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
