Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Эти силы действуют во все время хода машины, иногда сохраняя постоянную величину, иногда изменяясь. г1о, когда машина останавливается, то действие указанных сил прекращается, н все части машины принимают первоначальную форму. Следовательно, работа внутренних сил за весь этот период движения равна нулю, и мы можем совершенно не принимать во внимание внутренние силы в уравнении живых сил, если применяем такое уравнение ко всему периоду движения машины от начала пуска ее в ход до полной остановки. 115. Выражении для живой сялы в частных случаях. Рассмотрим несколько основных случаев опрелеления живой силы; они встречаются в приложениях так часто, что необходимо иметь для них готовые формулы, которыми можно пользоваться, когда понадобится.
Поступательное движение. Так как в этом движении все частицы имеют одинаковую скорость, то, называя эту скорость через 1', а массу всего тела — через М, получаем для живой силы выражение Лл, г 1 2 Вращение твердого тела около оси. Если угловая скорость равна м, то для частицы, находящейся иа расстоянии г от оси и имеющей массу лг, получаем: скорость гм, квадрат ее г'ыа, живая сила — г'ма.
Суммируем живые силы всех частиц; получаем для живой силы всего тела: Е- ыашга 1 2 1 Вынесем общий множитель — ма за знак суммы; получим: 2 — а~„лгу . 1 2 вглщение тввгдого тела около мгновенной оси 261 Выражение ~чР тга нам знакомо: это — момент инерции тела относительно оси вращении. Итак, в этом случае живая сила равна половине произведении момента инерции на квадрат угловой скорости. 116, Вращение твердого тела около мгновенной оси. Так как эта ось беспрестанно изменяет свое положение в теле, то удобнее заменить угловую скорость около этой оси тремя ее проекциями на три взаимно перпендикулярные направления, сохраняющие в теле постоянное положение.
За эти направления следует взять три главные оси тела; тогда получим наиболее простое выражение для живой силы. Фнг. 159. Фиг. 160. Пусть р, д, г будут слагающие угловой скорости по глав ным осям х, у, л. Найдем скорость для любой частицы тела, имеющей координаты х, у, я (фиг. 159). Лля этого найдем сначала проекции этой скорости на оси, и с этой целью рассмотрим отдельно вращения р, д, г. Вследствие вращения р около оси х в сторону часовой стрелки (фиг.
160) частица >л получает скорость, равную произведеншо из р на радиус р и направленную перпендикулярно к этому радиусу. Проекции этой скорости будут: на ось х....О, ъ у... — рз)па= — рр — = — рх, ъ г... +р р.соз а=рр — =+ру. Р ЗАков живых сил При вращении 7 около оси у получим подобным же образом проекции (фнг. 16Ц: на ось х... +Чл, »» у...О, »» а',, — гух.
Наконец, вращение г около оси в дает проекции (фиг. 162): на ось х... — гу, у... +гх, »» х...О. Складывая все проекции, приходящиеся на одну н ту же ось, получаем проекции скорости ен иа ось х...дя — гу, »» у...гх — рх, х„..ру — дх. Квадрат скорости о будет равен сумме квадратов атих проекций; умножая на половину массы и частицы, получаем живую силу частицы кц 1 л» г( гу)»+ ( .х ~х)г +(ру дх)»~ . (78) Остается просуммировать зто выражение для всех частиц тела, н мы получим его живую силу. г » Фнг. 16Х Фиг.
161. Суммирование сделаем в таком порядке: сначала произведем возвышение в квадрат двучленов выражения (78), Получим члены двух родов: члены первого рода будут содержать квадрат какой-нибудь координаты, а члены второго рода бу- 263 движения центы тяжести дут содержать произведение двух различных координат. Суммирование будем делать для каждого рода отдельно н постоянные величины р, и, г будем выносить за знак суммы ~~,' У нас получатся суммы двух видов: первого вида с квадратами координат, т.
е. ~ч~~~тхз, ~чРтуз, ~~~~~таз, и второго вида†с произведениями координат, т, е. ~ч~~~тху, ~чртхг ,Ятуг. По определению понятия о главных осях все суммы второго вида равны нулю„и соответствующие члены исчезнут, Окончательно получим следующий результат суммирования: — (пз '~ тгз + г' ч,', туз + гз ",", тхз + 1 + рз ~ч~~ ~тгз+ рз '~~ туз+уз ~ тхз) или (ратует(уз+гз)+йз~чрт(.з+ гз) ( гзт~т(ха+уз)1 Но выражения (у'+г'), (х'+г'), (х'+уз) представляют квадраты расстояний частицы т от осей х, у, г.
Соответствующие суммы ~чр~т(уз+ха), '~т(ха+аз), ~ч~т(ха+уз) дают величины моментов инерции для главных осей х, у, г. НазываЯ зти моменты ииеРции чеРез У„Уз, Уз, полУчим очень простое выражение для живой силы: (у пз ) у Пз + у гз) (79) 117. Движение центра тяжести и двяжение около центра тяжести. Во многих случаях удобно рассматривать движение системы как совокупность двух движений: в первом из ннх все точки системы двигаются одинаково с ее центром тяжести," второе есть движение около центра тяжести, который при атом считается неподвижным. При таком разложении получается простое вырзжение для живой силы, а именно: н уж н о определить живую силу для каждого из указанных двух движений отдельно и затем арифметически сложить эти два выражения.
Эту теорему всего удобнее доказать, определяя движение двумя системами декартовых координат. Одна из них, имеющая оси з, з), ь, пусть будет неподвижна; к ней отнесем 264 закон жиВых сил Проекции же скоростей действительного движения массы т будут равны производным от координат (80), т.
е. йх+ дя ну+ лч их+ Ж йг йс' йс ла' ач йс' (82) Наконец, проекции скорости ценз ра тяжести системы будут равны производным от координат этой точки, т. е. и'с па и'с Ь' ст' йс' Составим выражение для полной живой силы массы гл; квадрат ее скорости равен сумме квадратов ее проекций (82); следовательно, живая сила будет равна: или, по раскрытии квадратов двучленов: -' Г(.-")'+®'+("-:)'+(Й)'+®'+®'+ нх Ф"', Фу ггч йхнс1 движение пентра тяжести; его координаты для этих Осей назовем; с, и, с„ Для другой координатной системы начало возьмем в центре тяжести, а оси ее х, у, х ° направим параллельно неподвижным осям 8, ~), ~, Это будет подвижная система координат, перемещающаяся вместе с центром тяжести.
Координаты какой-нибудь массы сп относительно подвижной системы назовем х, у, х. Тогда координаты той же массы относительно неподвижных осей будут: +с у+) +~. (80) Проекции скорости будут производные от координат. Поэтому рассматривая движение массы и относительно подвижных осей, будем иметь проекции скоростей этого относительного движения: мх ау (81) на> ц' д' Мб закон живых сил есть квадрат скорости того движения, которое масса и имеет относительно центра тяжести системы.
Следовательно, Т, означает живую силу для движения системы относительно ее центра тяжести. Оказывается, что истинная живая сила системы равна сумме зтих двух живых снл Т, + Т„ что мы и желали доказать. Йля примера возьмем движение железнодорожного поезда. Кроме общего поступательного движения, одинаконого с центром тяжести, колеса имеют еще вращательное движение. Пусть скорость поступательного движения есть У; массу всего поезда, включая и колеса, назовем Л4; угловую скорость вращения одного из колес обозначим буквою м, а момент инерции колеса относительно его осн назовем У.Живая сила поезда будет равна: ~,щ а + 1 ~~Р ума где сумма ~ должна быть распространена на все колеса.
118, Работа силы тяжести. Эта внешняя сила встречается в приложениях очень часто, а потому подготовим общее выражение для работы силы веса в произвольнбй системе. Выберем основную горизонтальную плоскость, к которой будем относить высоты всех частей системы. Пусть одна нз частиц, имеющая вес Р, во время движения переместилась так, что ее первоначальная высота Ьа над основной плоскостью превратилась в л. При атом вес р произведет работу, равную произведению его на вертикальное перемещение лр — л.
Сложим работы весов всех частиц системы; получим полную работу веса: Т=ЯР(йо — Ь)=Яро — ,'~~РИ (84) Назовем высоту центра тяжести системы для начала движения На, а для конца его Н; вес всей системы пусть будет Р. По определению центра тяжести имеем зависимости: РНо=~~~Р"ю г Н=Я~Рл Подставим зги значения ~ч~РРлр и ~чРРЬ в (84), тогда получим: Т = гз(На — Н), (88) 267 пгымвгы т. е. работа всех снл тяжести в системе равна произведению из полного веса системы на понижение ее центра тяжести. Если работа внутренних сил равна нулю, а кроме тяжести нет других внешних сил, то выражение (65) изображает величину изменения живой силы системы прн рассматриваемом 4' перемещении, 119. Примеры.
Пилиндр катится без скольжения по наклонной плоскости (фиг. 163). Радиус цилиндра назовем через гс, его массу †чер М, момент инерции относительно Фнг. 163. оси его — через А Пусть начальная скорость равна нулю; по опускании цилиндра на высоту уг скорость его поступательного движения получит некоторую нелнчнну (г, а в то же время он приобретет некоторую угловую скорость вращения м.
Так как цилиндр катится без скольжения, то между величинами г' и м существует зависимость: Дм= 1г, т. е. Живая сила цилиндра будет, на основании теоремы 5 117, 1 1 1 У равна сумме двух живых снл: — МУа и — ЛР= — — Уа. 2 2УР Работа силы тяжести будет равна произведению веса цилиндра Мя на понижение его центра тяжести л. Получаем следующее уравнение живых сил; 2 ~ (М+ 77) из которого найдем скорость г', а деля ее на )с, получим угловую скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
