Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При изучении движения машин для первого приближения пренебрегают упругостью частей машины н считают пх телами абсолютно твердыми. Так как машина, состоящая из связанных между собою твердых тел, почти всегда есть система с полными связями, т. е. система с одной степенью свободы, то движение ее определяется одной переменной, а потому для исследования движения машины достаточно о д н о г о уравнения. За такое уравнение обыкновенно берут уравнение живых сил; оно очень удобно для этой цели, так как прямо дает скорости, т. е. те именно элементы движения, которые имеют особое значение в прзктическом уььотреблеььиьь машин, при их службе.
В машинах всего чаще встречаются движения поступательное и вращательное, для которых выражение живой силы получается очень просто. Двизгеньья, ие относящиеся к этим двум разрядам, почти всегда представляют и л о с к и е движения; следовательно, это необходимо будут в р а щ ен и я около мгновенного центра.
Зная положение мгновенного центра, мы моглп бы выразить живую силу как произведение угловой скорости на момент инерции относительно этого центра. При этом придется определять моменты инерпии для различных центров, изменяющих свое положение в теле; но все эти момсьыы инерции легко опрсделюоься, когда известен момент инерции для цеьпра тяжести тела; для этого нужно воспользоваться теоремой, выведенной в 2 50. Здесь очень удобен следующий прием: тело (фиг. 168) заььеняетси тремя массами М„М„Л1а, сосредоточенными в центре тяхгесьи С и в двух точках А, В, лежащих на одной прямой с центром тяжести. Подберем этн массы так, что сумма их будет равна массе нашего тела, а сумма их ььоььентов инерции для точки С будет равна моменту инерции тела длв той же точки.
Подбор масс сделаем таким образом: пусть У есть момент инерции нашего тела для его цеьжра тяжести; обозначим расстояния АС, СВ, АВ буквами а, 7ь, 7. Тогда нужно взятьп пгнменение ЗАконА живых сил Третья масса М, получится как остаток по выч|м анин М, + М 2 из полной массы тела М. Дейсзвптельно, при таком полборе получаем, что момент инерции нашей системы трех масс для центра тяжести С будет раасн: М,аз-)-М,Ь =,у('+ ') =у что и требуется.
Тогда на основании формулы (25) 8 50 н для всякой другой точки О момент инерции нашего тела будет равен моменту инерции около этой точки полученной системы пз тр х масс, Действительво, для момента инерции тела около точки О имеем: ~о=~с+М2т . Так как вследствие равенства М,.а=М, Ь центр тявгести системы трех масс Мы М„МЗ совпадает с центром тяжести С тела, то н для системы масс момент инерции з' около центра О связан с нх момен- Фиг. 168, Фиг. 1бр. том инерции Ус около центра тяжести С той же формулой: '.
=~с+М', откуда и следует, что ~о ~о Точки А, В могут быть выбраны где угодно на линии, проходящей через С. В частном случае шатуна паровой машины (фиг. 169) самое удобное выбрать точки А и В в центрах цзпф. Исслелование движения машин при помощи закона живых сил значительно облегчается применением графического метода, который излагается во всех курсах прикладной механики, ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ БЕСЕЛА ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 123. Консервативные системы. Закон сохранения энергии, т.
е. учение о постоянств энергии в природе, есть универсальный физический закон, охватывающий все разнообразные физические явления. Он установлен, главным образом, экспериментально на основании массы опытов н наблюдений, показавших, что энергия никогда не теряется; в случаях кажущегося исчезновения ее всегда можно установить, что здесь произошло не уничтожение энергии, а преобразование ее в другую форму, притом в эквивалентном количестве. Сюда относятся преобразование чисто механической энергии в теплоту, сает, электричество и все прочие взаимные преобразования этих видов энергии, химической энергии и т, д.').
Прп определенных условиях можно считать справедливым частный случай закона сохранения энергии †зак сохранения механической энергии. Для этого необходимо, чтобы все силы„ действующие в рассматриваемой механической системе, были консервативнымн, Консервативными, нлн потенциальными, силамн называются, как известно, такие силы, работа которых на пути между какими-нибудь двумя точкамн А и В (фиг. 170) не зависит от вида траектории. Следовательно, работа этих сил будет одинаковой и в том случае, когда материальная ~очка движется нз А в В по траектории А7В, и в том случае, когда она движешься по траектории А2В.
Консервативные силы являются функциями только координат точек приложения силы. т) В общем виде закон сохранения энергии впервые был выдвинут и качественно сформулирован М. В, Ломоносовым в 1748 г. (Приза рад.) хглвнвниа живых сил для консвгвлтивной систамй 281 для консервативных снл всегда существует такая функция, называемая потенциальной нлн силовой, частные производные которой по координатам дают проекцнн силы на соответствующие осн. Силовая функция, взятая с обратным знаком, представляет собою не что иное, как потенциальную энергию.
Свойством консервативности обладают многие силы природы, например, силы тяготения, упругие силы, силы притюкення нли отталкивания двух электрических зарядов н т. п. Примером не- 7 консервативных сил могут служить силы трения нли силы сопротивления среды, Неконсервативиые снлы зависят не только от г координат точки приложения, но н от других факгоров; так, например, сила сопротивления А жидкости двнжуп1емуся в ней телу зависит от Фиг.
170. скорости движения тела. Неконсервативные силы не обладают потенциалом; н работа их на пути между каками-нибудь точкамн А н В зависит от внда траектории. Для консервативных сил работа на замкнутом пути, как легко видеть, равна нулю; для неконсерватнвных сил это не имеет места. Мехашгческне системы, в которых все силы консервативные, называются к о н с е р в а т н в н ы и н с и с т е и а и и.
Строго консервативных систем в природе не существует, однако, во многих случаях с большой точностью можно считать те нли иные системы консервативными. й 124. Уравнение живых сял для консервативной системы. Начнем с какого-нибудь начального положения системы, которое назовем нулевым; живую силу всей системы для этого положения обозначим через Та. Для положений А н В употребим подобные же обозначения, но с индексами А, В вместо нуля, т. е. живые силы обозначим через Тд, Тл. Работу всех сил, прн переходе из нулевого положения в положение А назовем Рд, а такую же работу для перехода из нулевого положения в В обозначим через Рв. Пусть все силы, действующие нз систему, консервативные.
Тогда работы Р„ и Рл вполне определяются положениями А и В, н мы найдем уравнейия живых снл для перехода из нулевого положения в положение А: Тл — Т, = Р„ (93) 282 закон сохглнвния апвнгии и для перехода из нулевого положения в положение В: (94) Вычитая (98) нз (94), находим: Т а ТА Р л Р л или ҄— Ра — — ҄— Рл. (95) Живые силы — всегда величины положительные; что же касается работ Р, Рл, то они могут быть как положительными, так и отряпательными.
Чтобы избавиться от отрицательных величин, прибавям к обеим частям уравнения (95) постоянную величину С, которую подберем так, чтобы величины С в Р„ и С в Рл, которые обозначим Ув и Ул, были положительные для всех положений системы. Тогда уравнение (95) получит вид: Т„+ и„= Т„-)- и„, (96) т. е. оказывается, что для любого положения системы сумма живой силы и величины У одинакова. Величина У, определяемая работой консервативных сил, обладает тем свойством, что значение ее для положения В определяется исключительно этим положением и не зависит от положения Л н от других возможных положений системы. Величины Ув, Ул называются и о те н ц и а л ь н ы м и, нли запасными, энергиями системы для положений В, Л. Живая сила называется кин е т и ч е с к о й энергией системы.
И гак, уравнение (96) ныражает следующий закон для всякой консервативной системы: В каждом положении системы, движу гцейся под действием консервативных сил, сумма ее кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная. Эта сумма называетсн пол н о й механической энергией системы, нли, кратко, энергией системы. Она сохраняет постоянную величину. При движении изменяется только распределение энергии между ее кинетической и потенциальной частями, между видимой и запасной энергией. Запас энергии то увеличивается за счет видимой энергии, то уменьшается, когда видимая энергия р а с т е т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
