Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Прн охлаждении земной шар умепыпастся в объеме, с>ягивается, частицы его сближаются, и внутренние силы производят некогорую работу, которая должна быть введена в уравнение. Но мы затрудняемся написать выражение для этой рабо>ы, а потому принуждены отказа>ься от применения здесь закона жнвых сил. Для решения нашего вопроса нужно взять такой закон, в который внутренние силы вовсе не входят.

Таков закон площадей, ко>орым мы и воспользовались в 109, Мы уже указывали, что в некоторых случаях работа внутренних сил обращается в нуль; тогда мы избавляемсн от присутствив этих неизвестных н уравнении агиных сил, н закон этот получает особое значение для приложений. Особенно важны следуюитие лва случая. 256 злкон живых сил Пвгвый случай, Если форма тела во время движения не изменяется, т. е. если расстояния межлу частицами его остаются прежние, то работз внутренних сил, действующнхмежду этими частицами, равна нулю. Делая такое утверждение, мы предполагаем согласно с общепринятым взглялом, что взаимное действие между двуми частицами т, т' (фиг. 156) приводится к двум равным и прямо противоположным силам Р, Р', идущим по прямой, которая соединяет частицы лг, лг'1 силы могут быть или при- тягательные, или отталкилг' вательные.

Докажем эту теорему. Р' в й Она очевидна для того случая, когда перемещения тс, лбе двух частиц равны н параллельны; тогда работы двух сил Р гэ и Р' численно равны и по знаку противоположны; а сумма работ этих двух сил равна нулю. Но раса' смотрим случай, когда перемещения эапх частиц с та и тЬ не одинаковы.

Фнг. 156. Сумма работ двух спл Р и Р' не изменится, если к перемещениям точек лг,и' мы прибавим одинаковые и параллельные перемещения твс и нг'э, т, е. если вместо перемещения та возьмем геометрическую сумму двух перемещений иа ~ла и глс, плп диагональ вы параллелограма, построенного на ща и гпс, а вместо и'Ь возьмем диагональ нГг, представляющую геомеарическую сумму перемещений )иЪ и гл'е. Действи~ельно, работа силы для перемещении, идущего по диагонали, равна сумме рабог той же силы для перемещений, идущих по сгоронам параллелограма.

Следовательно, замена перемещений гла, глЪ перемещениями по диагоналям тИ, ау означает прибавку двух работ: работы силы Р для перемещения тс и работы силы Р' для перемещения глйь А так как тс и гп'е равны и параллельны то сумма этих двух работ равна нулю. слтчай, когда зевота внгтевнних сил глвна нтлю 257 Итак, замена сторон лга, пЛ диагоналями тг7, ту' не изменяет суммы работ сил Р и Р'.

Эго справедливо для какой угодно величины и направле- ния прибавочных перемещений лгс, т'с, лишь бы этп два пе- ремещении были равны и параллельны. Теперь выберем для них определенное направление и величину, а именно, возьмем тс равным и противоположным та. Тогда полное перемеще- ние точки щ, как составное из двух равных и противополож- ных, будет равно нулю, т. е. точка т сделается неподвиж- ной; работа приложенной к ней силы равна нулю. Остается только работа силы Р', действующей на точку сл'.

Этот прием — остановки одной нз двух частиц — мы мо- жем применять одинаково как в том случае„когда расстояние частиц т, гл' не изменяегся, так и для случая, когда при перемещении происходит изменение тт', В обоих случаях мы можем пользоваться этим упрощением; одну частицу бу- дем считать неподвижной н разбирать только работу, произ- водимую на другой частице, Но по условно расстояние между частицами лг, лг' не из- меняется во время движения.

Точка лт неподвижна, следова- тельно, т' движется не иначе как по поверхности шара, име- ющего центр т., а радиус тт'. Сила же Р' идет по пря- мой та', т. е. по радиусу шара; следовательно, она всегда перпендикулярна к перемещению точки и', т. е. работа эгой силы постоянно равна нулю. Итак, обе силы дают работы, равные нулю, и наша теорема доказана. Мы уже виде.чп в десятой беседе, какое важное значение эта теорема нмеет для приложений закона живых спл. В тоней слтч ай, Переходим ко второму случаю, когда работа внутренних сил тоже оказывается равной нулю. Если фигура тела изменяется во время дви- жения, но под конец движения форма и раз- меры тела восстанавливаются прежние, то полная работа внутренних сил за все время движения равна нулю.

Эта теорема имеет место, если относительно внутренних снл Р, Р', действующих между двумя частицами лг, лг' (фиг. 157), прежнюю гипотезу об их равенстве и противопо- ложности дополним еще следующей гипотезой: общая вели- чина сил Р, Р' зависит исключительно от величпны расстояния 17 в. и. кирпича 258 закон жиВых сил между частицами лг, т' и ни от чего больше. Другими словами, мы допускаем, что, как только расстояние между частицами щ, и' делается прежнее, то и силы Р, Р' получают прежнюю свою величину, хотя бы при этом направление линии жт' в пространстве изменилось.

р~ а Мы далее разберем подробно эту б гипотезу, а теперь займемся доказательством указанной теоремы. Выше было доказано, что при нахождении суммы работ двух спл Р, Р', представляющих взаимодействие частиц гн, и', всегда можно считать одну из этих частиц неподвижной. Пусть это будет часжща гл (фнг. 157). ЭлементарФнг. !57. ное перемещение ира другой частицы можно разложить на два перемещения лгЪ, лг'с, из которых одно Влет по линии тт', соединяющей частицы, а другое — перпендикулярно к втой прямой. Работа силы Р' для второго из этих перемещений равна нулю, так как перемещение перпендикулярно силе. Остается работа силы Р' для перемещения тЪ, направленного по той же прямой, как сила; эта элементарная работа будет равна произведению силы на перемещение тЪ, т.

е. на изменение расстояния между частицами; следовательно, работа будет равна Р' тЪ. Эта работа может быть н положительной и отрицательной в зависимости от направления силы Р' и от характера изменения расстояния слт', т. е. в зависимости от того, происходит лп увеличение или уменьшение этого расстояния. Нонечная работа для конечного изменения рассчояния тлг' получитсн через суммирование элементарных работ.

При составлении суммы нужно принять во внимание, что внутренняя частичная сила Р обыкновенно изменяется с изменением расстояния лип'. она есть функция этого расстояния. Изобразим эту изменяемость графически (фиг, 158); по абсциссам, начиная с точки О, откладываем изменения длины лглг', а по ординатам — соответствующие величины силы Р, Получается кривая 07Р, изображающая зависимость частичной силы, т.

е. силы взаимодействия частиц гл н ги', от изменения расстояния слгчьй, когда гавота внгтввнннх снл глвнх нхлю 259 между частицами (т, е. от удлинения илп сжатия этого расстояния). Когда первоначальное расстояние получит удлинение ОК, то частичная сила изображается ордннатой К!. Если затем удлинение получит бесконечно малое приращение КК', то сила произведет элементарную работу, величина которой равна произведению К1 КК' т. е. измеряется заштрихованной на чертеже площадью Кц'К'. Конечная работа, пронзвошишя силой Р при удлинении от нуля до Оп, будет равна сумме элементарных работ, т.

е. из- У Р 11 меряется площадью 01РпКО, заштрихованной по контуру. Работа эта будет отрицательная, так как ча- т стичные силы противят- К К' ся изменению формы. При восстановлении первоначальной формы тела, т. е. при постепенном уничтожении удлинения прямой тт', частичные силы производят положительную работу, способствуют такому восстановлению. По нашей гипотезе относительно частичных сил онн зависят исключительно от расстояния между частицами.

Поэтому, когда удлинение, постепенно уменьшаясь, дойдет до величины ОК, частичная сила примет то же значение К1, которое она имела при растяжении, в момент получения удлинения ОК. Это справедливо для всех значений удлинения, т. е. закон изменения частичной силы при восстановлении формы будет изображаться той же кривой Р1'10, которая представляла постепенное изменение частичной сиды при растяжении. Поэтому работа частичных сил при восстановлении формы изобразится прежней площадью кривой 01РлКО; но теперь эта работа положительная, а прп растяжении она была отрицательная. Складывая эти две работы— одну для удлинения, а другую для восстановления формы, мы получим в сумме, что работа частичных сил равна нулю.

Это справедливо для каждой пары частиц, входящих в состав тела, следовательно, справедливо и для всего тела, т. е. мы получим тот результата на который указали прежде: если форма тела изменяется во время движения, но под конец 1уь 2ВО закон живых снл рассматриваемого пути тело принимает ту первоначальнуЮ форму, которую оно имело в начале пути, то общая сумма работ всех внутренних сил равна нулю. Яы мои<ем приложить эту теорему к движению любой машины, рассматривая период движения от пуска в ход машины до полной ее остановки. При пускании в ход к частям машины прикладываются различные силы, изменяющие форму частей.

Характеристики

Список файлов учебной работы