Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Другнмп словами, мы вводим понятие о мгповени о и эллипсе, беспрестанно изменяющемся. Найдя первое приближение, — т. е. кеплерово эллиптическое движение,— и определив для этого эллипса те постоянные величины, которые его характеризуют (а, е, р и т. д.), мызатем изменяем э~п постоянные, предполагаем их функциями времени. Вот— сущность метода изменения постоянных, применяемого прп изучении планетных возмущений, Конечно, тот же метод мозкет быть применен и для других задач динамика; это — общий динамический метод. Нелишне заметить, что элементы планетных орбит изменяются очень медленно; найдя величины этих элементов для какого-нибудь мгновения, мы можем применять эти величины без изменения в течение многих лет для нахождения положения планеты и не получим прп этом большой ошибки.
Принимая теперь, что двизкенпе по мгновенному эллипсу есть точная картина явлсния, применим ко всей планетной системе закон сохранения площадей. Но для ускорения вывода введем еще два упрощающих допущения: а) Будем считать Солнце неподвижныя н стоящим в фокусе того эллипса, который описывает планета. Правильнее было бы рассматривать, что и Солнце и планета движутся по эллипсам около общего ях центра тяжести, но так как масса Солнца гораздо больше массы планеты, то движением Солнца можно пренебречь. 16* 244 закон плопЮдей пег )г 1 ег. Ь) проекция ее па неизменную плоскость, умноженная на массу, будет: ги и а' г 1 — ка соа р1 с) площадь, описанная в единицу времени: и к аз 1' 1 — ее созе Т Так как эллипс беспрестанно нзменяется, то последнее выражение мы можем применять только для бесконечно малого времени Ф и для него змеем описанную площадгн икаа г' à — е'еоатж (7О) Т Теперь вспомним третий кеплеров закон: квадраты времен обращений пропорциональны кубам средних расстоящ1й, т.
е,, обозначая постоянную величину буквою г, имеем '): Тг — =с дД ) (71) или Т=3~ сна. г) Строго говоря, имеем: Та (М+ и) — „= сопз1., а" где М вЂ” масса Солнцев гл — масса планеты. Но, таккакотиошениеи к М очень мало, то можно писать уравнеяие (71) и считать с одинаковым для всех планет. б) Пренебрежем движением всех спутников, а массы их присоединим к массе планеты.
За координатные плоскости примем неизменную плоскость и две плоскости, к ней перпендикулярные, и выразнм сначала закон сохранения площадей для неизменной плоскости. Называя массу планеты через и, а элементы ее мгновенного эллипса через а, е, р, Т, получим: а) площадь этого эллипса равна: длльнийшяв пгиложвнив закона площлдий 245 Вставляя это в (70), получим площадь, описанную одной планетой: югУа У1 — еа соя 'т г(г. Уа Сложим закие выражения для всех планет. Общая сумма должна по закону сохранении плоьцадей выражаться некоторой постоянной величиной, умноженной на время Ж. Сложеиие обозначим знаком ~; постоиипые к' с, и можем отбросить; тогда получим: ~(т )' а 'и' 1 — еа соз р) = сопз1.
(72) Вот какой результат даст нам закон сохранения площадей. Ои устанавливает некоторую зависимость между измеияющи»ися величинами полуосей, эксцентриситетов и наклонов орби~ всех планет. Эти элементы не могут изменяться так, что происходит увеличение всех величин а, 1 — еа, сову. Некоторые пз иих могут увеличиваться, ио другие при этом должны уменьшаться, так чтобы сумма (72) оставалась равна некоторой постоянной величине. Эта постоянная представляет собою как бы некоторый н е и з м е и н ы й ф о и д, отпущенный иа все планеты и распределяемый между ними, Такая неизменность уже отчасти предсказывает устойчивость планетной системы.
Г!одобиые же результаты мы получим, применяя закон сох1ыиепия плоиьтдей к двум другим координатным плоскосзям, Обратимся к фиг. 151; на ней плоскости координат и плоскость орбигы изображены помощью нх пересечений с поверхностью шара, цснтр которого 8 есть Солнце; лбу есть неизменная плоскость; ось г перпендикулярна к ней; КХМ представляет часть орби гы планеты. Точку М (пересечение па паню» шаре плоскости орбиты с неизменной плоскостью) назовем восходящим узлом; угол МБу есть долгота восходи- щего узла; его назовем и, К и М означают точки пересечения на нашем шаре плоскости орбиты с коордииагнымн плоскостями хну, хну. Угол и сферического треугольника оГКР есть угол между орбитой и координатной плоскостью гну, Угол лг сферического треугольника ИМТ есть угол орбиты с координатной плоскостью хая, закон площлдгй 246 Уравнение площадей для координатной плоскости хну будет отличаться от (~2) только теч, что вместо угла р нувио поставить угол л, а для координатной плоскости хол— угол т.
Для определении углов и н т проведем перпендикуляр И. к плоскости орбиты КУМ. Он составит с осями х, у, г углы А, гл, р. Плоскость, проходящая через ось Яг и зтот перпендикуляр, пересечет плоскость хну по врямой ЗН, пер- Ф Фиг. 151. пенднкулярной к линии узлов ЯМ. Построим координатную ломаную 50НЛ. Тогда, проектируя И на прямую 8х, получим, с одной стороны, 80 = 8( ° соз 1с, а с другой, 80=ОН соли=Я. юпр.сова. Отсюда сов й=з!яр сова. Точно так же 0Н=И.
сов т и 0Н=БН юли=И, юпм юпп. дальнейшая пгиложкнпв закона площадей 247 Отсюда созна зш ю' ч~п ц. Следовательно, длн плоскости гну уравнение площадей на основанни формулы (72) будет ~~'., (ги )/ а . )/ 1 — е'-з!и р соз а) = сопя(,, (73) а для плоскости лЮх. ~ч',(и)/а )/1 — еа ьбпм жпа) =сола(. (74) Все три уравнения (72), (73)„(74), которые нам дает закон сохранения площадей, имеют одикаковый характер. Они Р / / / / / / / / / / / / / / / / 1 / ./ 1 1 / М" Ф Фнг. 152. связывают изменения следующих элементов орбиты: большой полуоси а, зксцентрнситета е, наклона орбиты м, долготы восходящего узла а.
В планетном мире замечается еще одно интересное явление возмущенного движения: перемещение линии апсидов, Так называется линия, соединяющая между собою пернгелий 7з и афелий Л (фиг. 152), т. е. точку, где планета ближе всего к Солнцу, с точкой наиболрн~его удалеция рт Солнца, закон площадвй 248 Перемещение линии апсидов состоит в том, что прямая РА поворачивается, все время проходя через Солнце.
Так как при этой пертурбации размеры эллипса остаются прежние, то не изменяется и площадь, описываемая планетой в единицу времени, а вследствие этого закон сохранения площадей не дает никаких указаний на этот вид возмущенного движения. 109. Изменение скорости вращения Земли при охлаждении ее. Так как в этом явлении участвуют только внутренние силы, то здесь может быть применен закон сохранения площадей. Землю будем считать правильным шаром, одинаковой плотности во всей ее массе. Пусть вследствие охлаждения радиус Земли Я> уменьшится и сделается равным Я=Я> (1 — л), (75) причем л — очень малая дробь. Пренеб>регая степенями этой дроби, получнм завнснл>ость между новым н прежним объемом Ъ'= У> (1 — Зл) с тою же степеншо точности найдем, что отношение новой плотности к прежней будет: о =6> (1+ Зл).
(? 6) Угловыс скорости вращения Земли около ес осн — новую и прож~>ою — назовем ы, ь>>. Нам нужно определить сумму площадей, описываемых в единицу времени около осп Земли прп сс вращении всеми массами, составляющими земной шар, и выразить, что эта сумма ис должна пзменятьс» от охлаждения, Здесь приходится сравнивать движения двух тел, геометрически подобных, но разной плотности. Объемы соответственных частей нх относятся, как кубы радиусов; геометрические псин>ь>дц, описываемые соотвс>ствующпмп т»чками, относятся, кък произведения пз угловой скорости на квадрат радиуса. Сл довательно, понимая слова «описываемая площадьа в динамическом смысле, т.
е. как произведение этой площади на массу, получим отношение описываемых площадей до охлаждения и после него: 1>м>й>а~ й>у 249 ВЕРТЯЩИЙСЯ РЕБЕНОК Оно должно быть равно единице. Встав.|ия сюда отношения радпусов и плотностей (76) и (77), полу им: мт 1 1 откуда, отбрасывая все степени п, кроме первой, найдем: — '= 1+ Зп — бп = 1 — 2п, нли, с той же степенью точности, — = 1+ 2п. РЧ (77) Итак, дробь 2п показывает относительное увслпченне угловой скорости, а следовательно, уменьшение продолжительности суток вследствне охлаждення.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
