Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 38
Текст из файла (страница 38)
3 а и с ч а н и е. При равенстве двух главных моментов инерции, например У и У, для осей у, г, оказывается, что все оси, лежащие в плоскости уг, будут главные оси тела; моменты инерции для всех этих осей одинаковы и равны У. В этом случае вместо разложсния угловой скорости на трн главные осп можно применять разложение ее на две главные оси. Пусть ОМ есть мгновенная ось вращения, а отрезок ОМ изобрзжает величину угловой скорости (фиг. 131).
За одно направление разложения примем ось Ох и а1 (ось фигуры в случае тела врюценпя); за другое направление разлох<ення выберем линию ОАг, лежащую в плоскости хОМ и перпендикулярную к Ох. Ось ОАг лежит в плоскости уг, следовательно, будет главная, Итак, обе оси, на которые разложена угловая скорость, будут главные, А всякая главная ось обладает тем свойством, что для нес проекция момента колнчсств движения выражается очень просто, а именно равна произведенюо угловой скорости на момент инерции для этой оси. Бсли проекции у~лозой скорости на ОХ, ОАГ назовем через р, д, то проекции момента количеств движения для тех же осей будут; /„р, У„д. Л1ы бы могли и в случае неравенства величин У„ и .7, разложить угловую скорость ОЛ1 так хге, как только что делали: т.
е. на слагаюптие по главной осн Ох и ло линни ОЮ, лсжащей в плоскости хОМи нерпсндпкулярвой к Ох. Но тогда ОУ не будет главной осью, и проекция момента количеств движения для нее получает сложное выраженяе. В этом случае такое разложение бесполезно; гораздо проще разложить ско.
рость по трем главным осям; тогда получим для проекций момента количеств движения просгые выражения: У„р, ух~у~ '~г Вообще, в этом вопросе главные оси вмюот значение именно вследствие простоты получаюпплхся для ннх проекций момента количеств движения. Вот почему мы выбираем исключительно главные оси; по этой причине для тел вращения можно прп- 216 пРилОжения 3АкОБА момснтОВ количеств дВижения м енять разложение на две Оси, а в случае неравенства величин х' и у такое разложение неприголно. Р х Применяя для тел вращения разложение на две осп, мы могли бы несколысо проще доказать нашу теорему о постоянстве угловой скорости р относительно оси фигуры тела, На самом деле, пусть (фиг.
132) начальное положение оси фигуры есть Ох, и начальи ная угловая скорость разложена иа два направления Ох и Оу; проекции момента количества движения пзобразятся отрезками Оа, Ор. По прошествии времени а1 ось фигуры займет новое положение Оа', п величина моу мента количества движения нзобразится отрезком Оп'. Теперь уже разложение делается по направлениям Оа' и Ор', причем Ор', вообще Фиг. 132. говоря, не будет та же самая линия нашего вращающегося тела, которая в начальный момент занимала положение Оу; ио это будут две бесконечно близкис линии вращающегося тела. Легко показать, что проекция перемещения рр' на ось х — величина второго порядка; поэтому ее огбросим. Остается только проекцив перемещения аа', для которой получаем попрежнему выражение: Соответствующая проекция скорости полюса будет равна ,У— ир хйг ' а так как по заланию момент внешних сил для оси Ох равен нулю, то по теореме Гейуорд-Резали эта проекция скорости полюса равна нулю, и мы получаем: У„бз хлг т.
е. р=сопз1. слтчлй, когда нв двйствяют внвшиив силы 217 Мы не делали этого упрощения и исходили из общего случая, желая попутно получить эйлеровы уравнения, В дальнейших выводах относительно тел вращения будем постоянно применять разложение п о д в у м осям. Так мы поступим при разборе следующего вопроса. 95. Движение тела вращения, имеющего неподвижную точку, н случае, когда на него не действуют внешние енлы. Чтобй устранить О действие веса, мы подопрем наше тело в центре тяжести. Это возможно при помощи двух способов: а) Волчок Ма к с в елл а (фнг. 133). Телу волчка придана форма 3 вроде колокольчика с тяжелым краем; центр тяжести приходится внутри Фяг 133.
полости колокольчика, и ось ОС, на которую насажен волчок, оканчн- 8 вается острием в центре тяжести О. При такой. форме можно опереть волчок его центром тяжести на подстав- Е ку В, которая не будет мешать дви- л женню волчка. б) Ги роскопы Фесселя, е Вон ненбергера, Фуко (фнг. ! 34, 135). Тело гироскопа А (фнг. 134) посажено на ось ВС, которая имеет карданову подвеску, т.
е. ось вращается в колыге, имеющем цапфы Ю, Е, перпендикулярные к ВС. Цапфы вра- ,/Н щаются в обойме ЙРЕ, которая"сама Г; ~, ф,~т ~ может свободно (без трения) поворачиваться около вертикальной оси. Фнг. 134. Для достижения такого поворачивання употребляют два средства: плн обойма ОГЕ имеет цилиндрический хвост ОН, свободно вращающийся в неподвижной подставке К, нлп обойма ОРЕ подвешена на тонкой нити Ьа (фиг. 135), которая почти не представляет сопротивления поворачиванию обоймы около вертикальной оси. 218 пеиложвния закона моментов количеств движения В таких приборах действие тяжести устранено, и, сообщив волчку или гироскопу некоторый толчок, мы получаем д в иж е н и е п о и н е р ци и.
(Пренебрегаем сопротивлением воздуха и трением на осях,) В чем будет состоять это движение? Начальный момент количества движения волчка изобразим по величине и по направлению вектором ОМ (фиг. 138); так как внешних сил вовсе нет, то момент количеств движения не будет изменя~вся, следовательно, полюс М неподвижен.
Фиг. 13б. Фвг. 136. Пусть ОА изображает положение оси фигуры волчка для любого мгновения. 1'азложим угловую скорость вращения н момент количества движения на два направления: по оси фигуры ОА и по линии ОМ, к ней перпендикулярной; составляюп1пе угловой скорости назовем р, д; составляющие моменты будут: У„р, l д; последние изображены на чертеже отрезками Оп, Ор. Складывая их по правилу параллелограма, получим полный момент количеств движения для рассматриваемого мгновения; он должен быть равен начальному значению момента ОМ.
Но угловая скорость р около осн фигуры волчка, по доказанному должна быть постоянная, так как реакции опор этой оси дают для нее момент, равный нулю. Следовательно, отрезок Оа, равный У„р, сохраняет во все время движения одну гнгоскоп емко и доказательство вглщвния звмли 219 и ту же величину, а отсюда следуе~, что угол р (между осью фигуры ОЛ и осью постоянного момента количества движения) тоже не должен изменяться. Позтому линия Оц должна или быть неподвижной, или описывать круговой конус около ОМ. Г!о первое невозможно, так как вследствие существования скорости д ось фигуры ОЛ должна перемещаться. Итак, ось фигуры Л должна описывать круговой конус около оси моментов количеств движения. Можно задать себе вопрос; с кзкой скоростью будет происходить зто коническое движение? Оощая симметрия всех условий с несомненностью указывает, что зта скорость должна быть постоянною. Итак, единственное возможное в нашем вопросе движение есть равномерное коническое движение оси фигу рй около оси моментов количеств двнзкенни.
Равномерное коническое движение осц фигуры называется регулярной прецессией. Таким образом, для тела вращения, имеющего неподвижную точку, двиакение по инерции есть непременно регулярная прецессии. Гораздо более сложным движение по инерции бутет для тела, для которого не существует равенства моментов инерции г и ум 96. Гироскоп Фуко н доказательство вращения Земли, Рассмотрим движение гироскопа, которому сооощено вращение около оси его фигуры со значительной скоростью. При такой подвеске гироскопа, как на фиг. 134, 135 (а также и дли волчка Максвелла, фпг. 133), на гироскоп не могут передаватъся никакие силы, кроме незначительного трения и сопротивления возлуха.
Гироскоп моакно считать двниаущимся по инерции около подпертого своего центра тяжести, который увлекается Землею при ее врзщении. Оставим в стороне поступательное движение гироскопа, одинаковое с движением его центра тяжести, и будем говорить только о вращении гироскопа около центра тяхгестп. Единственное возмоакное движение его осн фигуры есть, как доказано в 9 95, регулярная прецессии около оси моментов количеств движении, которая неизменна.
Если в начале движения, при сообщения гироскопу быстрого вращения, ось фигуры не получит никакого бокового толчка, то мы имеем тотько вращение гироскопа около оси фигуры;. тогда эта ось совпадет с осью моментов количеств 220 пгиложения закона момеитОВ кОличестВ дВижения движения; скорость полюса вначале равна нулю, а никаких внешних пар нет, следовательно, скорость полюса и далее должна оставаться равной нулю. Поэтому ось фигуры и дальше будет совпадать с осью моментов количеств движения, т. е.
будет сохранять неизменное положение в пространстве. Следовательно, она может служить для указания, что Земля вращается. Ось фигуры гироскопа будет перемещаться относительно Земли; это движение, которое мы будем наблюдать,— движенне кажупгееся, а в действительности происходит обратное — перемещение Земли относительно неизменной оси гироскопа. Направим ось фигуры гироскопа на некоторую произвольную неподвижную звезду; то~да эта ось будет н далее направлена на ту же звезду, как на неподвижный предмет, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
