Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Вообще говоря, это три совершенно различные прямые, проходящие через неподвижную точку тела; их не следует смешивать между собою. Поводок к смешению служит то, что все эти трп л шни носят название «ось», и случаи такой путаницы довольно многочпслешгы. Ф. Клейн, ко~орый в своей замечательной «Теории возиках ') посвящает одну главу изложеншо существу1ощей популярной литературы по вопросу о волчках и гироскопах, приводит много примеров такого смешении понятий, Иногда авторы популярных объяснений в начале своих рассуждений под словом ось подразумевают ось фигуры, а в конце уже говорят о мгновенной оси, не замечая этой перемены.
Такое смешеняе понятий отнпмает всякую ценность получаемого вывола. 93. Случай быстрого вращения около оси фигуры. Мы постараемся не сделать огпибки, о которой говорили в конце предыдущего параграфа, и, употребляя в наших рассуждениях слово «осы, будем указывать, о какой нз трех упомянутых осей идет речь. Но заметим, что в наиболее важных для приложений случаях (волчки, гироскопы, вращение Земли) вти три осн очень близки между собою и почти совпадают.
В этих случаях угловая скорость вращения около оси фигуры во много раз превышает две другие угловые скорости для двух других главных осей; моменты же инерции для этих осей не представляют такой значительной разницы в величине. т) К!е1п Г. ипй Бошшег1е18, Тпео«1е дел Кгеме1а. Эта книга дает горазло больше, чем обешает ее заглавие. Движение волчка лает полол автору рассмотреть значительное число основных вопросов механики и высшей математики.
[На русском языке теория гироскопов влементарно изложена в книге: Николаи В. Л., Теория гироскопов. Гостехиздлт, 1948 (Прггм. ред.).) 14 В. Л. 1(ирпич«и 210 пгиложения злконл моментОВ количестВ дВиження Положим, наша ось х есть ось фигуры.
Тзк квк угловая скорость р значительно больше, чем у и л, то мгновенная ось булет очень мало отклоняться от оси х. При поставленных нами условиях неличнна /„р будет значительно болшпе, чем .>'>т, .>',г; поэтому ось моментов количеств движения будет очень близка к оси фигуры. Таким обрззом, направления всех >рех осей в мгновенной оси, оси моментов количеств движения, оси фигуры — почти совпадают между собою. >>1>я рззличаем их во нремя наших рассуждений, но при опытах и демонстрациях нельзя будет заметить разницы между этими тремя осями. Легче всего наблюдать полоисение оси,й>игуры; то, что опыт укажет для нее, может быть без заметной ошибки относимо и к оси моментов количеств движения, Одним словом, различая указанные трн осн при наших рзссужленнях, мы можем при поверке выводов опытом во многих случаях допустить совпадение направлений всех трех осей.
Твк, нзпример, выводы об устойчивости движения полюса, изложенные в конце предыдущей беседы, дают много указаний на дни>кение осн фигуры, 94. Тела вращения. Если х есть ось фигуры такого тела, а осп у и е расположены по экватору его, то симметрия тела указывает нз необходимость равенства моментов инерции для осей у, г, т. е. будем иметь: Это соотношение значительно упрощает разбор движения тела, и явления врлщення его около неподвижной точки оказываются заметно проще, чем в общем случае, когда У и У, не равны между собою.
Заметим прн этом, что равенство двух моментов инерции у =7, может получиться не только для тел врзщения, но и для других форм, например для прямоугольной призмы, основание которой есть правильный многоугольник четного числа сторон, Даже для тел несимметричной формы, при некотором распределении масс, может получиться то же равенство у =у . Движение тел такой формы ничем не будет отличаться от движения тел вра>цення. талл вгацгення 211 Затем докажем одну теорему, которая имеет особое значение прп разборе движения волчка, гироскопов и т. п, Тиовама.
Вели имеем тело вращения, и момент внешних сич для оси фигуры его равен нулю, то угловая скорость вращении около этой оси (т. е. слагающая р наших формул) будет величина постоянная. Мы докажем эту теорему, пользуясь законом моментов количеств движения в ~ой форме, которую ему дали Гейуорд и Резаль. Напомним, что этот закон относится к моментам, взнтым для н е иода и ж н ой о с и; его нельзя прямо применять к оси фигуры тела, которая движется н непрерывно изменяет свое положение. Но мы прибегаем к следующему приему: выберем какое-нибудь мгновение времени за начальное и положения главных осей тела в это и г н о в е и и е за оси х, у, л.
Затем пусть этп оси отвердеют, сделаются неподвижными; тело же продолжает двигаться, и для следующего мгновения главные оси тела уже не будут совпадать с осями х, у, я. Закон моментов количеств движения будем применять к таким отвердевшим, неподвижным осям х, у, я. Доказательство удобнее вести, не делая с самого начала предположения, что существует равенство У =У; у е' лучше ввести это равенство при конце доказательства. На фиг. 128 пусть отрезки Оя, 01, О( изображают начальные величины момента количеств движения для осей х, у, я; эти величины будут: У„р, У д, ',г.
Прп прошествии бесконечно малого времени Ш главнйе оси переместятся н займут положения Оа', Ор', О(', Вместе с тем изменится угловая скорость, и проекции ее на главные оси уже будут отличаться от и, д, г. Новые величины этих проекций обозначим через р+ с(п, гу+ йд, г+ ~й; новые значения моментов количества движения для главных осей будут: У„(р+гУр), У„(д+ад), У,(а+туз). Эти значения отложим в виде отрезков Оа', Ор', От'. Теперь посмотрим, как переместился полюс, т. е. конец оси моментов количеств движения. Положение полюса в начальный момент получим, сложив геометрически отрезки Оа, Ор, Оу, а положение по прошествии времени г(г — сложив 212 пгнложвния закона моментов количеств движения отрезки Оа', Ор', Оу'.
Перемещение полюса можно рассматривать как составное или результирующее из перемещений точек а, 'р, у, т. е. составное из перемещений аа', 'рр', 1'1. Исаи нужно проектировать перемещение полюса на какую- нибудь ось, то вместо такой проекции можно взять сумму проекций на ту же ось перемещений ~ аа', 'рр', уу . Скорость поиоса по той же оси получится, если разделить его перемещение на элемент времени нг, т. е.
нужно взять а' Фиг. 128. сумму проекций иеремещений ая', рр', уу' и разделить эту сумму на Ж. Сделаем это для осн Ол. По теореме Гсйуорд-Резали скорость полюса будет равна моменту М внешних сил для оси Ох. Начнем с перемещения ая'. Рассматривая треугольник Ояя' и проектируя на ось л, получим (при том направлении сторон, которое обозначено на чертеже стрелкамн): пр. Од+яр.
ая'=пр. Оя'. Но угол между Ок и Оя' бесконечно мал; при проектировании нужно Оа' умножить на косинус этого угла, а косинус малого угла отличается от единицы величинами второго порядка. Поэтому вместо косинуса можно поставить единицу, и, следовательно, проекция Оя' будет равна самой длине Оа'. ыз ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Следовательно, уравнение проекций получает форму: Оа+пр. ап'= Оя', т. е.
у„р+пр. пя'= у„(р+Ю, пр. аа'=у„пр. откуда Деля же на с(!, получим проекци1о скорости перемещения аа'. нй "пг' Само перемещение получится, если умножить этот угол на длину 0~3=1 д; с точностью до бесконечно-малых высшего порядка проекция этого перемещения на Ох равна самому перемещению, т. е. получаем проекцию Переходим к перемещению рр'. Длина Ор, во-первых, увеличивается, во-вторых, поворачивается и занимает положение Ор . Увеличение длины не дает никакой проекции на ось Ох; рассмотрим только поворачпвание. От чего оно пронсходнтр Движение всего тела, а следовательно, и линии Ор, в течение бесконечно малого времени Ш может быть рассматриваемо как происходящее от совокупности трех о вращений около осей х, у, х с угло- 6------Ь ными скоростями р, д, а.
Вращение около оси Оу не сообщает точке р никакого перемещения. Вращение Фнг. !29. около Ок перемещает точку р в плоскости уОЛ, следовательно, соответствующая проекция перемещения на ось Ох равна нулю. Остается вращение около оси я. Г!рн этом вращении, если оно положительное, т. е. направлено по стрелке на фнг. 129, точка р идет вниз и дает отрицательную проекцшо перемещения на ось Ок. Угол поворота за время с!Т будет: 214 пгиложания закона моментов количеств движения Деля на Н, найдем соответствующую скорость: — У да. (П) Подобным же образом найдем скорость, отвечающую перемещению тт', Если вращение около оси у, т. е. ~у, положительное (по стрелке иа фиг.
!30), то проекция перемещения тт' будет положительная; величина скорости получится из (П) заменой в нем радиуса У д радиусом /,г, и скорости а скоростью д; получим проекцию третьей скорости: + У,ау. (П1) У Складывая трн проекции скорости полюса (!), (П), (!П) и приравнивая зту сумму моменту М„, получаем. .,г,+ (~,—,)™.. ( ) др Фзг. 130. Мы могли бы получить два подобных же уравнения для осей Оу и Оа или прямо написать их по аналогии с (66). Это будут три знаменитых зйлеровых урзвнения движения твердого тела.
Но нам они нс нужны в общем виде. Мы разбнраем частную задачу: у нас тело вращения; следовательно, у =у. у а' Затем у нас по заданию момент М внешних сил для оси фигуры тела равен нулю, Тогда уравнение (66) дает: откуда р=сопа1., т. е. угловая скорость около осп фигуры есть величина постоянная, что и требовалось доказать. И1ак, мы убедились в верности теоремы, высказанной в начале параграфа. Оказывается, что если внешние силы дают момент М„, равный нулю, т. е. если внешние силы пересекают главную ось л илн ей параллельны, то угловая скорость около втой оси постоянная; но зто справедливо только тогда, когда Уу У, телА ВРлгцвния 215 т. е, если имеем тело вращения около оси х или аналогичный случай симметричного расположения масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
