Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Величина МС называется изменением скорости; ееназовем буквою К, Известно, что величиной ускорения движения в точке М называется предел — получающийся с уменьшением пг до К Ь' нуля, т. е. с приближением М' к М. Направлением ускорения в точке М называется предел направления стороны МС нагпего параллелограма, Выберем в плоскости движения некоторую постоянную точку О и будем искать моменты различных отрезков относительно О.
Понятие о моменте силы всем известно, но это понятие можно распространить и на любые другие прямолинейные отрезки, например на скорости; момент их определяется и находится совершенно так же, как эго делается, когда отрезок изображает силу. Для параллелограма сил имеем, что момент равнодействующей (т.
е, диагонали) равен сумме моментов составляющих (т. е. сторон параллелограчай Теорема эта, принадлежащая Вариньону, представляет чисто геометрическое соотношение, нисколько не связана с понятием о силе и справедлива для всякого параллелограма, что бы ни представляли его стороны. Поэтому мы можем применить ее н к нашему параллелограму скоростей МАЛС. Получим: 193 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА Итак, в нашем последнем уравнении можно допустить, что при нахождении момента скорость У' считается приложенной в точке М', а скорость (г' — в точке М. Умножим обе час|и последнего уравнения на массу лг двшкущейся точки; получим: момент (лгК) =моменту (гл(Г') — момент (лг1г). Произведения тУ' и глгг представляют количества движения массы гл в положениях М и М'.
У нас входят во второй части моменты этих количеств движения. Разность их пред- ставляет приращение момента количсства движения, проис- ходящее при переходе движущейся точки из М в М'. Сам момент количества движения обозначим буквою р, а првращение его — знаком й)А. Затем разделим обе части равенства на йги псрейдем к пределу. предел момента (глгс), аи деленного на йг, равен пределу частного — '. Но в пределе отношение К к йг обращается в ускорение, а произведение массы на ускор ьггге есть сила.
Следовательно, левая часть уравнении будет мом~нт силы, действующей на массу и. Для обозначения его применим букву М. Находищийся в правой ар части предел — будет производная по времени от р, т. е. от дг момента количесгва двиекения. Итзк, получаем для плоского движения одной точки уравнение: М= —, ~Ы ' (60) которое выражает теорему; Для каждого положения материальной точки момент силы равен производной по времены от момента количества движения. Тепсрь немного усложним вопрос: пусть движение не плоское. Тогда его можно проектировзть на координатные плоскости и рассматривать каждую нз проекций отдельно.
Конечно, и сила такгке должна быть проекгирована на эти плоскости. На каждой координатной плоскосги получим плоское движение; будем брать моменты относительно начала координат, пли, другими словами, относительно оси, перпендикулярной к плоскости проектирования; наиример, если 13 в. л.
Кнрннеее 194 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЕ проектируем на плоскость ху, то моменты будем брать относительно оси е. Все предыдущие выводы можно применить к такой проекции движения, и мы попрежнему получим уравнение Затем делаем дальнейшее усложнение; от материальной точки переходим к системе, т. е. совокупности материальных точек. Введем силы связей, тогда каждую материальную точку можно считать свободной и применять к ней уравнение (60), если движения всех точек проектируются на одну и ту же неподвижную плоскость.
Напишем для всех точек системы такие уравнения и сложим их. По обыкновению, означая суммирование знаком ~,', получим: Хм= ~ф. Во второй части можно сумму производных заменить производной от суммы, следовательно, будет: ХМ = —" (Ч~Р)А). (61] Это уравнение выражает для любой системы следующую теорему, или закон моментов количеств движения: В каждое мгновение сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равна производной по времени от суммы моментов количеств движения, взятых для той же оси. 81. Разаяснение закона моментов коллчеств движения. Уравнение (61) содержит во второй своей части производные от скоростей по нремеии, следовательно, гю отношению к координатам зто будет дифференциальное уравнение второго порядка.
Такого порядка всегда оказываются уравнения движения, получающиеся от применення начала Даламбера. А.ледовательио, наше уравнение (61) пока не есть интеграл уравнения движения; зто только новая комбинация уравнений движения. Но оно но многих случаях может быть проинтегрировано, а именно, всегда, когда сумма моментов е,'М есть явная функция времени. Тогда мы получаем интеграл урав- исключении наизвастных пги составлении тглвнвния 195 пения движения, т.
е, уравнение, солержащее в себе скорости. Интеграл получается также для двух простейших случаев: а) когда ~Р~М величина постоянная; б) когда ~Р~М=О. В последнем случае получится: †,(чР р) = О, откуда (62) ч , 'р = сопя), т. е. сумма момент он количеств движения для всей системы есть величина постоянная; она не изменяется и во все время движения сохраняет свою на- чальную величину.
В этом случае, т. е. когда ~ч , 'М= О, получаетсяз а кон сохранения моментов количеств д в и ж е н и я, аналогичный закону сохранения количеств дви- жения. 82. Какие неизвестные исключаются при составлении уравнения моментов количеств движения. Прежде всего видно, что внутренние силы систе-, мы, подчиненные закону равен- ', ства мех<ду действием и противодействием, все исключаются. В самом деле, две равные и противоположные силы Р, Р' (фиг. 123) для любой оси 0 дают моменты, ;иР' которые численно равны, а знаки имеют противоположные; следова- lг тельно, эти моменты сокращаются при составлении суммы моментов сил. Итак, в уравнении (61) остаф . 12З. ются только внешние силы.
Такое полное исключение внутренних сил составляет значительное упрощение. Но и некоторые внешние силы могут исключаться из уравнения (61), если их моменты будут нулями. Это полу- чится для всех сил, параллельных оси, а также для всех сил, пересекающих ось. Но выбор оси вполне зависит от нас; уравнение справедливо для всякой неподвижной оси. Во мно- гих случаях удачным выбором оси можно достигнуть исклю- 13 196 закон моментов количаств движхния чения значительного числа внешних сил, чем уравнение значительно упрощается.
Для примера укажем на водиные турбины, Разбирая движение их с помощью закона моментов количеств движения, мы исключаем следукнцие силы: а) все внутренние силы, т. е. взаимные давления внутри жидкости, а так ке лавления между жидкостью и вращающимся колесом; б) если за ось моментов возьмем ось турбины, то исключаем реакции опор этой оси; если она вертикальна, то исключается вес воды и самого колеса.
Такое же исключение веса происходит обыкновенно вследствие симметрии располоа Ь жения и в турбинах, вращаю- а, щихсяокологоризонтальнойосп. Из этого слелует, что за1 кон моментов количеств движения естыеорема, наиболее удобная для решения вопроса о двигч в~, женин турбин. Основная формула теории п2 е' турбин, данная уже Эйлером, может быть получена путем, аналогичным тому, каким в 9 79 была выведена величина давления на трубу протекающей по Фиг. 124. ней жилкости. Пусть колесо тур- бины, вращающейся около вертикальной оси Ол, имеет канал аЬсг1 между внешним ободом радиуса г, и внутренним радиуса га (фиг. 124). В канал все время поступает вола со скоростью п„под углом а, к внешнему ободу и выходит из канала со скоростью па под углом а, к внутреннему ободу.
Пусть движение воды, установившееси в том смысле, что скорости и, и па н углы аг и ав не зависят от положения канала. Требуется определить момент сил давления воды на стенку канала относительно оси Ол вращения турбины. Для этого рассмотрим систему материальных точек, составленную водой, заполняющей канал арсп' в данный момент г. Искомый момент равен по величине и противоположен по знаку моменту сил реакции стенок канала на эту массу воды. Этот последний момент н будем определять.
197 момвнт Снл ннегции Пусть через промежуток времени <1> канал занял положение аЪ'с'<(', а рассматриваемая масса жидкости переместилась в положение а>(>>с><(>, Так как движение воды установившееся, то момент количества дв>и<ения массы воды, заполнявшей в момент У объем а<>сл', равен моменту количества движения массы, заполняющей в момент 1+й> объем аЪ'с'<1'. Следовательно, приращение Ь)< момента количеств движения рассматриваемой системы за промежуток времени йг равно разности моментов количеств движений масс воды, заключенных в объемах г'<т"с><1> и аЪ'а>(». Если вес воды, протекающей через канал в единицу времени, обозначим через О, то массы, закл>оченные в этих объемах с'<(Ъ><>> и аЪ'а>б„будут равны — дг, где — а' ускорение силы тяжести.
Пренебрегая измене- О К нием скорости ма>иду сечениями аЪ' и а>(», с одной стороны, и между сЪУ и с><т>, с другой, получим, что приращение момента количеств движения за время >)>г будет: ьц = — А((нага соз ца — н>Г> соз и>), О К так как плечи соответствующих моментов, очевидно, равны Г,СОзна Н Г, СОзп,. Внешними силами для рассматриваемой системы являются вес и реакции стенок канала. Так как момент веса относительно вертикальной осн Оя равен нулю, то в теорему о моменте количеств движения войдет только искомый момент Л снл реакции стенок, я формула дает: Лт= — (па>г соз пг 0>Г> сов <т!).
О К Это и есть формула Эйлера. 83. Момент сил инерции. По началу Даламбера внешние силы уравновешиваются с силами инерции. Посмотрим на уравнение (61) с этой точки зрения. В левой час<и его имеется момент внешних сил для некоторой осн, следовательно, величина йг(Х р) 188 закон мОментОВ количзств движвния стоящая в правой части, взятая со знаком минус, представляет момент сил инерции относительно той же оси. 84. Сколько уравнений дает закон моментов количеств движения. Уравнение (61) можно применять для любой неподвижной оси, т.
е, переменяя эти оси, можно получить сколько угодно таких уравнений. Подобно этому н уравнения количеств движения можно применять к любому направлению, к проекции движения на всякую ось. Выберем три координатные оси и напишем для них как уравнение количеств движении, так и уравнении моментов количеств движения; получим шесть уравнений. Легко убедиться в том, что дальнейшей переменой осей мы получим уравнения, которые представляют следствия прежних шести уравнений, следовательно, не получим ничего нового.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
