Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Первое усложнение состоит в том, что, движение часто бывает не прямолинейное, а криволинейное. аа(ы знаем, что тогда ускорение по касательнвй равно производной от скоа" У рости по времени „вЂ” , Но, с другой стороны, мы получим то же ускорение, если возьмем слагааощую Рсоа(5 внешней силы по касательной и разделим ее на массу движущейся материальной точки т. Приравнивая эти два выражения, получим для криволинейного движения; аГН Рсоа ч ЛГ Ач Чежду тем для прямолинейного движения получается: ааа Р ай гга Единстиенааое различие межлу этими двумя выраженаимн состоит в тапа, что в случае криволинейного движения влаесто полной силы Р стоит ее проекция Рсоза(а на касательную к пути, Такое сходство указывает, что все выводы относительно величины скорости, полученные для прямолинейного двиакения, можно прямо применить и к случаю криволинейного, заменив лишь силу Р ее проекцией Рсоа р.
Поэтому мы можем сде- 176 закон количвств движвння и закон живых сил лать это и с уравнением (44) и получим: 11Ш1 ™а 2 Оз и Д 2 2 (62) Тогда получим ряд уравнений: 111 э-' лше т е — Рсоа„.„111 2 тнт тэ1 — — — =Р, соз а .1И 2 2 1 1 1ИО., 1ЛО1 — — — ==Ра С05 'фа ЙИ, 2 2 а 1лтГ1 л1э„ 2 2 а л — - — —,— = — Р со5 й 1771, Сложим все эти уравнения; в результате в левой части, по сокращении, получим: Лйм 1пи о 2 т.
е, живую силу, приобретенную на протяжении всего пути л, В правой же части получим сумму элементарных работ, т. е. Условимся здесь называть р а б о т о й с и л ы произведение Реизов 71, тогда уравнение (62) может быть прочтено в форме буквально той же самой теоремы, как и уравнение (62) для прямолинейного движения. Введем дальнейшее усложнение: пусть сила Рсоа а не постоянная, а изменяется на протяжении пути 71. Тогда уравнение (62) можно применять только на протяженна бесконечно малого пути п11.
Весь путь Ь разделим на бесконечно малые части а111 н применим уравнение (52) для каждой из этих частей. Последовательные значения скоростей назовем буквами: а значения силы Рсоа х для последовательных частей полного пути 71 пусть будут: Рсо5 т, Р1 со5 р1,..., Рл соь'тл' 177 СРАВНЕНИЕ ЗАКОНОВ сумму работ, произведенных силою на протязкении элементов пути. спело членов суммы бесконечно большое, и для обоаначения ее примем символ: ) Рсоа рг)И.
о Итак, суммирование даст нам уравнение г н'"о — — — = ( Рсоа рс)И, 2 2 о (53) которое на с.човах выражается той же теоремой о жигой силе, как и прежде, а именно, указывает на равенство между приобретенной живой силой и работой, Наконец, введем последнее усложнение: нместо одной материальной точки введем произвольную механическую систему.
Ее можно рассматривать как совокупность произвольного числа иатериальных точек; заменяя все внешние и внутренние связи спламн, мы можем каждую из этих точек считать свободной, и, следовательно, можно для каждой из них написать ураннение такого же вида и содержания, как (53). Напишем все эти уравнения и затем просуммируем их. Получим: а ~~р~ Рл ~~р~ ын~ 2 — — — ~ Рсоа)в а'И, 2 о (54) 12 В, Л. Кирпиввв Это уравнение выражает закон живых снл лля системы: Живая сила, приобретенная всей системой на протяжении известных путей ее точек, равна сумме работ, произведенных на этих путях силами, приложеннымн ко всем точкам системы.
75. Сравнение закона количеств движения с законом живых сил. Как в тот, так и в другой из этих законов входят скорости лиижсния — начальныс и конечные. В этом состоит сходство двух законов, Посмотрим, в каких отношениях онн различаются ме,кду собою; ~акое сравнение укажез нам, когда нунсио применять первый закон и когда — вгорой. 178 закон количаств движвнкя и закон живых снл В уравнение количеств движения входят проекции сил, умноженные на элементы времени, и для каждой материальной точки сумма импульсов представляется бесконечной суммой Р г7~ + К гы+ Рг г7~+ ° ° Если проекции сил выражаются как некоторые функции времени, то такая бесконечная сумма нзобразится определенным интегралом ~ РШ, б нижний предел которого соответствует начальному моменту времени, а верхний в окончательному.
Такой интеграл может быть найден, причем или мы получим точное выражение его в известных функциях, илн выразим его величину приблизительно, при помощи формул для квадратур. Если это относится ко всем материальным точкам системы, то вторая часть уравнения ~50), т. е. будет найдена, и, следовательно, мы получаем уравнение, в которое входят и е ус ко р е н н я, как в начале Даламбера, а скорости.
Это уже будет интеграл уравнений движения; итак, н этом случае закон количеств движения может быть назван интегралом количеств движения, Обращаясь к уравнению живых сил, мы встречаемся с бесконечной суммой, в которой проекции сил умножаются на элементы пути: Рсоа рг76+ Р,соз р, ил+... Если проекции сил представляют известные функции пройденного пути, то эта бесконечная сумма изобразится определенным интегралом л Рсоа у вЪ; 179 сглвнвнив законов пределы интегрнронания — начальное и окончательное положение движущейся точки, Такой интеграл может быть найден. Если это относится ко всем точкам системы, то мы получим сумму работ всех сил а ~ ~чр~ Р соз у сИ о и будем знать ее величину.
Тогда уравнение 154) будет интегралом уравнений движения; это — и н т е г р а л ж и в ы х с и л. Итак, оба наши закона дают интегралы уравнений движения; закон количеств движения дает такой интеграл, когда проекции сил суть функции времени; закон живых сил дает интеграл в тех случаях, когда проекции снл представляют функцик пройденного пути. Этим определяется выбор того или другого закона для решения частного заданного вопроса. Укажем для примера на задачу внутренней баллистики зная давленне пороховых газов в пушке, найти скорость, с которой снаряд вылетит нз орудия.
Давление пороховых газов во время выстрела — не постоянное, а изменяется по некоторому закону; явление это исследуется опытом при помощи различных приборов. Иногда эти приборы автографические, т. е. сами чертят диаграмму, изображающую постепенное изменение давления. Предположим, что мы имеем прибор, который изображает изменение давления в зависимости от времени. Тогда для нахождения скорости вылета снаряда мы должны воспользоваться законом количеств дннжения. Но если наш прибор показывает давление пороховых газов в зависимости от пути, пройденного снарядом по каналу орудия, то нужно обратиться к закону живых снл: пользуясь им, найдем скорость.
Закон живых сил приходи~ся применять довольно часто, так как многие силы природы суть функции расстояния. Такова, например, сила всемирного тяготения; вероятно, таковы же и многие молекулярные действия. Очень распространенная физическая гипоч еза, ведущая свое начало со времен Ньютона, допускает, что все, вообще, силы природы имеют такой характер, т, е, зависят только от расстояний между материальными частицами. Принимая эту гипотезу, мы получаем обширную область применения закона живых сил.
180 закон количеств движения н закон живых снл Но на практике, пользуясь разными приборамн н искусственными средствамн возбуждения дви,кения, мы нередко получаем силы как функции времени. Это в особенности часто встречается теперь с распространением машин переменного тока, пользуясь которыми получают силы, изменяющиеся по закону. Р=А юла (55) (1 — время, А, и — постоянные), или по закону, изображающемуся сумьюй членов ~акого вида, как (55), но с различными численными величинами коэффициентов А, (г. В этих случаях нужно обращаться к закону количеств движения. Ко~да сила постоянная, то можно безразлично применять как закон количеств движения, так в закон живых сил.
76. Какие неизвестные исключаются при составлении уравнений количеств движения и живых сил, Легко видеть, что при сос~авлении уравнения количеств движения исключаются все внутренние силы. Это есть следствие третьего закона Ньютона, т. е. равенства между действием и противодействием, Внутренние силы в системе будут всегда встречаться по две равные и противоположные. Когда же составляем импульс силы, то берем прозкпшо силы на координатную ось и умножаем ее на элемент времени; эти выра кения для двух равных, но про~внеположных сил будут равны, но с образными зпакачи. Следовательно, этн два импульса взаимно сократятся, и все внугренние силы исчезнут нз уравнения количеств движения. Такое исключение значительного числа неизвестных, притом таких, которые трудно определить, указывает на особое значение закона количеств движения и на важность его для приложений.
Обрангаясь теперь к уравнению живых сил, видим, что в него будут входить работы внутренних сил, т. е. проекции сил, умноженные на перемещении тех точек, к которым силы приложены. Действительно, хотя взаимодействия двух материальных точек равны н прямо противоположны, но перемещения этих точек могут быть неодинаковы. Тогда работы двух взаимных слл не будут по абсолютной величине равны между собою н, следовательно, не произоидет сокращения этих работ и исчезновения внутренних снл из уравнения.
Итак, говоря вообще, внутренние силы не исчезают из исключение неизВестных ПРИ составлении УРлВнений 181 уравнения живых свл. Но мы увидим в тринадцатой беседе, что в частных случаях такое исчезновение происходит, н тогда уравнение ~киных сил приобретает особое значение. Ич уравнения мсивых сил исчезают те внешние снльц которые приложены к неподвижным точкам; действительно, работа этих снл всегда равна нулю. Сюда относятся многие реакции опор и тому подобные силы. Применяя уразненис живых снл, мы их исключаем и можем совершенно игнорировать эти реакции. Так как работа силы Р для перемещения г 'равна произведению Рсоа м г, то эта работа обращается в нуль в случае, когда угол 1Р равен †, Следовательно, при составлении урав- 2 ' пения жввых сил исчезнут все те силы, которые перпендикулярны к перечешениям своих точск приложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
