Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Постоянное давление в этом сечении назовем ре; оно совпадает с направлением скорости 1см Вода вытекает из нижнего отверстия с4 площадь этого отверстия, скорость воды в нем, угол наклона ее и давление жидкости в отверстии назовем теми же буквами, что Рэ и 6 и для верхнего отверстия, но только с другим подстрочным индексом, а именно, ", примем обозначения: Г„ 1с„ а„ р,. Здесь давление р, на воду, заключающуюся в трубе, прямо противоположно скорости Ь;.
Ф Заметим, что давления ! ра и р, иногда представляют действие атмосферы, Но в некоторых случаях эти давления могут значительно отличаться от атмосферного. Это будет, например, в том слу- Фиг. 120. чае, когда вода втекает в отверстие аЬ из особого резервуара, наполненного жидкостью; истечение воды нз с~7 тоже может происходить не в атмосферу, а в особый резервуар, наполненный водою и находящийся под некоторым напором. Чтобы найти вертикальную реакцию Х, напишем для оси, направленной вниз„ уравнение количеств движения для совокупности сосуда абсс7 и жидкости, в данный момент с наполняющей его. Так как движение установившееся, т. е. в каждой точке явления не изменяются с течением времени, то нет надобности брать в рассмотрение продолжительный период времени.
Достаточно рассмотреть очень небольшой и даже бесконечно малый промежуток времени й; так мы и сделаем и напишем уравнение количеств движения для этого беско- 188 закон количеств движения и закон живых снл нечно малого времени. Для этого нужно прежде всего вычислить количество движения, приобретенное ясидкостью аЬгл з течение времени ау по вертикальному направлению. Составим выражение д:ш этого количества движения. За время М жидкость, наполняющзя сосуд аЬсл, получит бесконечно малое перемещение; частипы, которые лежали в сечении аЬ, займут положение' аЪ'; частицы, которые занимали выходное сечение сИ, перейдут н положенке гфг Подобным же образом передвинутся н прочие частицы воды. Перейдя в другие точки трубы, эти частицы изменят свои скорости, так как в разных местах по длине трубы скорости, вообще говоря, неодинаковые. Совокупность всех этих изменений для всех частиц воды, наполняющей сосуд, и доставит полное изменение количества движения.
Пользуясь тем обстоятельством, что днижение установившееся, мы можем очень просто определить это полное изменение копн:ества движения, происшедшее за время па. Для этого заметим, что начальное колнчсство движения всей жидкости аз~ту можго рассматривать состоящим из двух частей: первую часть составляет количество движения объема воды аЬаЪ', а вторую часть — количество днинсення объема аЪЪз.
По прошествии времени И наша жидкость занимает объем аЪ'сф,; ее количество движенпя можно рассматривать состоящим из двух частей: первую часть представляет количество движения части сЫсфо а вторую часть — количество движения чзсти аЪ'сЫ. Из этого описания видно, что вторые части количеств движения одинаковы для начзла и конца промежутка пг. Следовательно, изменение количества движения, происшедшее за зто время, определяется разностью количеств движения объемов воды спс,Й, н аЬаЪ'. Эти объемы одинаковы, так как через каждое сечение трубы проходит одинаковое количество жидкости, а именно, Я в единицу времени, т. е.
за время М пройдет объем СгсН. Масса этой воды получается умножением ее объема, т. е. Я пг, на вес единицы объема у н делением на ускорение тяжести д. Чтобы получить изменение количества движения по вертикальному направлению, нужно массу умнозкнть на разность вертикальных проекций скоростей, т. е. на 1', соз а, — И, соз аа. пРимеР ЛРиложения закона кОличестВ ДВиження 189 Окончательно находим нужное нам изменение количества движения в таком виде: О Т вЂ” аг'(Ь" сова,— (Росова,).
1 (58) Перейдем теперь к составлению суммы импульсов внешних сил. Мы уже знаем, что взаимные давления между частями жидкости арсе', а также давления между текущей жидкостью и сосудом, представляют внутренние силы нашей системы и потому ве войдут в наше уравнение. В него необходимо ввести следующие внешние силы: а) вес жидкости и сосуда; их совокупность назовем Р; б) реакцию Х опоры на наш сосуд; эту реакци1о считаем направленной вверх; в) внешние давления на сечения ап и сп', ограничивающие нашу жидкость.
Эти давления будут: роГо р1Г1 а пх вертикальные проекции: РоГо сов ао Р1Г1 сов а,. Так как мы желаем найти изменение количества движении по вертикали, направленной вниз, то импульсы вертикальных сил, идущих вниз, должны считать положительными, а импульсы сил, направленных вверх, следует взять со знаком минус, Сумма всех импульсов будет: (роро соз а,— )11Г1 сов а, + Р— Х) П. Приравнивая ее выражению (58), найденному для приобретенного количества движения, и сокращая на Ф, найдеч, 9 — (У! соз а, — 1то сов ао) = р Го соз а,— р,Г1 сов а, + Р— Х. Т Отсюда получаем искомую реакцию Х: Х =роро сов а, — р1Г1 соз а, + Р+ Я вЂ” "(Ъ'о сов а„— (Р1 соз а,).
Это реакция опоры на сосуд; обратное ей давтепие сосуда на опору булет иметь то же численное аиаченне, но противоположное направление. В етом выражении первые три члена р,ро сов а„р,Г, сов а„Р представляют с т а т и ч е с к у ю часгь давления, т. е. то давление на опору, которое получилось бы, если бы жилкость, наполняющая сосуд, не двигалась. 190 закон количестВ дВижения и зАкОМ жнВых сил Последний член, т. е. 1;1 т ()l соза,— )г, соза,), о (59) изображает прибавочное давление, происходящее от движения жидкости в сосуде; это — динамическое давление.
Оно может быть положительным или отрицательным, смотри по величине вертикальных проекций скоростей 1'В соя аа, )г1 с05 цы Если эти проекции одинаковы, то динамическое давление обращается в нуль. Иы рассматривали вертикальное давление, но совершенно тем же путем могли бы найти и горизонтальное давление нашего сосуда на опору.
Динамическая часть этого давления будет, очевидно: а — (Ра В1п и, — ),ч(п и). Т тнм, что вопросы о величине давлений, произ- ВОДИМЫХ ВОДОЮ В СЛУ- чаях, которые изображены иа фиг. 116 †1, 'Г решаются буквально так Фнг. 121. же, как только что было сделано. Применяя закон количеств движения, мы сразу можем предсказать, что для трех случаев, представленных на фиг. 191, давление воды на лопатку в случае а будет наибольшее, а в случае Ь вЂ” наименьшее. Эту задачу можно применять к различным практическим вопросам. Например, наш сосуд может представлять трубу, по которой ведут воду для водопровода или для водяного колеса. Такие трубы часто приходится проводить по уклону горы, они прикрепляются к опорам, расположенным на скате.
Уравнения наши можно применять или ко асей трубе, илп к любой ее части. бу а В заключение заме- ДЕСЯТЛЯ БЕСЕДА ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 80. Доказательство закона моментов количеств движения. Мы уже говорили 1э 72), что одним из приемов для получения етого закона может служить принцип отвердения. Нужно написать, что сумма моментов внешних сил и сил инерции для любой оси равна нулю.
Выбирая за ось моментов поочередно каждую из трех координатных осей, мы получим три уравнения, разбор которых и приведет к закону„ состав- й лающему предмет этой беседы. Вместо этого мы предпочитаем нижеследующий прием вы- УФ вода в котором постепенно вг В переходим от простейших слу- 1 чаев к более сложным. ! Начнем с плоского дви- й жения одной матери- 1 альной точки.
Возьмем ч (фиг. 122) два бесконечно близких положения этой точки М Фнг. 122. и М, т. е. путь, проходимый в течение бесконечно малого времени Ш, и отметим скорости У и У' в этих положениях. Скорость У' можно с геометрической точки зрения рассматривать как проистекшую из скорости У, которая получила некоторую прибавку. Для этого, проведя через М линии МА и МВ, равные и параллельные скоростям У и У', построим параллелограм МАВС, имеющий своей диагональю У'. Составленный таким образом чертеж показывает„ что скорость У' есть результат геометриче- 192 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ момснг У' =.моменту У+ момент К, мочент К= моменту У' — момент Г или В этот вывод входит момент лпагоналн 'ИВ = У', т.
е. скорости У', проведенной через точку М. Но здесь можно произвести замену и вместо момента отрезка МВ вставить отрезок М'У', т. е. скорость У', проведенную через точку М'. При такой замене плечо момента относительно О изменится на величину расстояния между МВ н М'У', т. е. На длину а, которзя есть величина второго порядка. Это следует из того, что как хорда ММ', так и угол м жлу этою хордой н М1., иредс~авляют бесконечно малые величины. Но бесконечно малую величину второго порядка мы можем отбросить прн самом начале вывода н сохранить только члены первого порндка. ского сложения скорости У н прибавки МС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
