Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Вслн бы эта сила была дана, то мы сейчас же нашли бы все обстоятельства движения материальной точки и. г!то касается центра масс, то эга точка г!.пкгг>иная, воображаемая, не связанная в действигельнос>гг с какой нибудь материальной массой; это геометрическая, а не материальная точка. Но мы можем условно вообразг>ть себе материальную точку, у которой масса равна массе >И вс.й нашей системы и которая движется так, как иаш центр масс. Г>удем разбирать условия движения такой материальной точки. Подобное условное рассмотрение называется с о с р е л.

о т о ч е и и е м массы всей сястемы в ее центре тяж сги. Сделав такое сосредоточение, определим, какую силу нужно прило>вить к этой воображаемой материальной точке, чтобы вызвать то движение, которое наши рассуждения указали для ценгра масс. 160 закан движения центРА тяжести Искомая сила Р должна быть параллечьна ускорению центра масс, следовательно, параллельна ускорению массы и, а также и силе, приложенной к т. Далее, величина силы Р получится умножением массы Мне ускорение ее, которое меньше ускореюп ння а точки т в отношении — . Таким образом получим: М' Р=Ма — =та, М т. е. Р=р. Итак, получаем следующее закаменение относительно сил: Чтобы сообщить центру масс, в котором считаем сосрелаточеннай всю массу системы, то движение, которое ан инее~ в действительности, мы должны приложить к нему силу, параллельну~о и равную той силе р, которая действует на материальную точку и.

Другимп словами: Нентр масс движется, как материальная точка, в которой сосредоточена массз всей системы и к которой приложена сила, лействующая на массу т. Это правило представляет ответ на поставленный нами вопрос: как перемещается центр всех масс вследствие перемещения одной из ниху Иы считали, что перемещается только масса гл, а прочие массы остаются в покое. То, ч~о сделзва для массыт, важно повторить и лля каждой из всех масс, составляющих сястему; можно перебрать их одну за другая: и, т', лг",..., и для каждой в отдельности определить, какое движение получает центр масс вследствие движения одной отдельной массы Каждый раз придется искать лвнженис материальной точки массы М под действием тай силы, которая приложена к массе и' илн и или т и т. л.

Но предположим теперь, что наши мзссы т, т' и',... движутся не поодиночке, а все сразу. Какое при атом получится движение центра ызссг Очевидно, оно получится как результат геометрического сложения тех его дваженпй, которые центр получал при частных движениях масс и, т', и",... поодиночке, т. е. нужно сложить (геометрически) те частные дви'кения, которые полу- доказательство закона движения цвнггл тяжести 161 чает масса М под влиянием сил, приложенных к массам лг, т',... Но вспомним закон независимости совокупного действия сил (второй закон Ньютона); этот закон устанавливает, что результат геометрического сложепяя таких дви кеипй, производимых отдельными силами, тождественен с движением, которое вызовется, если на ту же массу будет действовать одновременно, сразу, вся совокупность этих сил.

Итак, оказывается, что движение центра масс, получающееся, когда сразу движутся все отдельные материальные точка, составляющие систему, может быть описано в форме следующей теоремы: Центр масс движется, как материальная точка, которая имеет массу, равную массе всей системы, и к которой приложены все силы, действующие на отдельные чзсти системы. Но если мы перенесем в одну точку внешние и внутренние силы, действующие в системе, то внутренние силы окажутся всегда по две равные и противоположные; следовательно, они взаимно уничтожатся.

Останутся только внешние силы системы. Итак, в вышеприведенной теореме можно прямо вместо слов все силн вставить: все внешние силы, Изложенная теорема и представляет общий закон двпж е н н я ц е н т р а и а с с. Он был найден Даламбером и изложен в его «Динамике» вЂ” сочинении, в котором впервые была построена динамика системы '). Следует обратить особое виимзние на то, что движение центра масс вполне определяется в н е ш н н и п силами и что вся совокупность внутренних сил не оказывает никакого влияния на зто явив<ение. Возьмем частный случай: пусть на систему вовсе не действ)чот внешние силы, и она предоставлена исключительно свопм внутренним силам.

Это будет система замкнутая, и з о л и р о в а н и а я от всяких внешних влияний; но внутри нее могут действовать многочисленные н разнообразные внутренние взаимодействия, Общий закон движения центра масс показывает, что в таких случаях этот центр будет двигаться как материальная точка, на которую вовсе не действуют силы. Такая точка будет или покоиться, илн двигаться по инерции, т. е. прямолинейно и равномерно.

Итак: ') Дааамаер Ж., Динамика. Гостехизлат, 1950. (Лрцн. рад.) И в. л. кнрпиьеа 162 закон лвихеення центРА тяжести Пентр масс изолированной системы или находится в покое, или движется прямолинейно и равномерно. Этот частный случай обшей теоремы был найден еще Ньютоном и изложен в его «Математических началах натуральной философии» '). 68. Разложение движения на три прчмолинейных движения по трем координатным о;ям. Можно было бы рассматривать движение центра масс с применением этого приема разложения, который так часто употребляется в механике со времен Маклорена.

Нужно разложить на эти три оси как лвнхсение каждой отдельной массы, так н двнжение центра масс. Также и силы должны быть заменены своими составляющими по координатным осям, Затем следует рассматривать движение по кажлой из осей отдельно. Получим прежний результат относительно движения центра масс, но повторенный для каждой из трех осей. Такое рассмотрение движения центра масс по каждой из осей координат отдельно иногда приносит пользу. Может случиться, например, что хотя внешние силы существуют, но сумма проекций их на одну из осей (например на ось х) равна нулю.

Тогда для этой оси будет иметь место результат Ньютона, т. е. движение центра тяжести по оси х будет равномерное. При этом под движением центра тяжести по оси х слелует, собственно говоря, понимать движение по этой осн проекции на нее центра тяжести. 66. Применение приемов дифференциального исчисления. Мы с намерением вели выводы элементарно, чтобы сущность закона лучше выяснилась. Применяя символы и методы дифференциального исчисления, можно значительно ускорить вывод.

Рассмо~рим только движение по осн х; сказанное о ней применяется и к двум лругим осям. Уравнение дзпження одной из материальных точек, составляющих систему, будет. ле „вЂ”, = Х+ Хь Здесь: >л — масса точки, х — ее координата, ') Русский перевод А. Н. Крылова. См. Собрание трудов А. Н. Крылова, т. Ч11, 1936.

(Прил«. )»ед.) пгиложвния закона движвния цантга тяжасти 166 Фх „—, — ускорение по осн х, Х вЂ” проекция внешней силы, Х; — ъ внутренней силы, Составим такие же уравнения для всех точек системы и за- тем сложим эти уравнения, Обозначая сложение знаком ~, найдем. ~чР >л ~ —, = ~~", Х+ ~ Х,. ~э~,' Х,. = О, (46) Но здесь взаимно сокращакгтся. центра всех масс через с, а сумму определению понятии «центр масс» так как внутренние силы Назовем координату всех масс через М. По имеем. Л-: = ~~,', тх. Дифференцируя же это уравнение два раза, находим: Подставляя это выражение в уравнение (46), получим: М~,'-„= ~ Х, (47) 11" а это уравнение и выражает закон: Центр масс движется как чатсриальная точка массы М, к которой приложены все внешние силы, действующие на отдельные точки с и с т е м ы. 70.

Приложения закона движения центра тяжести. Закон этот не дает интеграла уравнений движения, а представляет только очень простую картину движения; во многих случаях такая картина дает важные указания на свойства движения. Вообще, первое, что нужно получить при научении движения системы, есть движение ее центра тя кести; затем идет вторая задача — движение частей системы относительно ее центра тяжести. Наш закон дает для первой задачи самое простое решение. 1. Возьмем систему, состоящую из Земли н падающего тяжелого тела. Падение тела есть результат действия внут- злкон дн1о1генпя центгл 1язгести ренних сил системы, но действием этих сил положение центра тяжести не может быю изменено. Слеловагельно, если тяжелое тело переместится по направлению к Земле иа длину 5, то в го же время Земля переместится по направленшо к падающему телу на длину э, которая удовлетворяет условию: Ю IЛ Х м 1т — масса тела, гИ вЂ” масса Земли). 2.

Рассмотрим систему, состоящую из Солнца и Земли, и оставим в стороне все внешние притяжения, лействующие на эгу систему. Раз,ерем только дей- азГ- стане взаимного притяжения между "~ 5г — Тх Солнцем и Землей; это взаимодействие не должно изменить похожею|я центра тялгсстп системы. Вслн буден рассматри- 2 3 вать дви:кение относихельио центра тяФиг. 107.

Характеристики

Список файлов учебной работы