Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 25
Текст из файла (страница 25)
((о теОРБМА О пОдоБии В динАмика Заметим, что вторая система должна быть подобна первой во всех отношениях, т. с. не только части второй системы должны быть подобны частям первой системы, но должно соблаодаться также и подобие снязей. Следовательно, возможные перемещения второй системы могут отличаться от возможных перемещений Зх, еу, Зя первой системы только множителем, общим для всех частиц; его мо»<но отбросить. аах Затеаа вместо снл инерции — ла — — во второй системе \ Лта а а« появятся те же величины, умноженные ва —,' . Вместо активных сил Х, У; Е во второй системе будут силы Л", Г, Е'.
Таким образом, уравнением движения второй системы будет: а', тя аа» ~ + ( х' — — „—,) да 1 = О. (36) Нужно найти, какие силы Х', У', Р' удовлетворяют этому уравнению; это будут силы, сообщающие второй системе движение, подобное тому движению первой системы, которое определяется уравнением (33). Но, сравнивая уравнения (36) и (33) между собою, видим, что, если уравнение (33) удовлетворено, то можно удовлетворить уравнению (36), принимая Х'=ТХ, )"=Т); ~ =у~ и полагая при этом 1р Т:,а На самом деле, прн такой подстановке уравнение (36) делается вполне согласным с уравнением (33), за исключеав пнем лишь постоянного мно»опеля у =- — '„, на который можно сократить, так как этот множитель входит во все члены уравнения.
Итак, силы, которые сообщают второй системе движение, родобное движению первой системы, должны удовлетворять 141 вывод 'тяоеемы следующим условиям: х =ух, у'=(у, г=ук и )в В технике имеет особое значение величина работы, производимой машиной в единицу времени; она выра>кается обыкновенно в лошадиных силах. Отношение таких работ для днух подобных систем получится делением выражения (37) на отношение времен т: >да ы (38) Эту совокупность отношений отношениями скоростей >.
дополним вышеуказанными (39) п ускорений (40) ы Мы можем притти к тому же результату, подходя к вопросу с совершенно другой точки зрения, а именно, рассмат- т. е. 1) активные силы второй системы должны быть параллельны п пропорциональны соответстнующим силам первой системы; 2) коэФфициент пропорциональности сил должен равняться произведению из отношения линейных размеров двух систем на отношение соответственных масс этих систем, рааделенному на квадрат отношения соответствующих времен. В этом и заключается теорема Ньютона о подобии. Для сил связи, конечно, получится такое же соотношение, как указанное для активных сил. Работа получается как произведение силы па перемещение: поэтому отношение соответственных работ для двух подобных систем пзобразится величиной (3У) 142 теогемл о половин В динлмикв ривая размерность величин, входящих в уравненияя движения.
В уравнение движения входят разнородные величины; из них трп величины основные, а именин: длина (Е1, масса (М1 и время (Тй прочие же величины — производные. Ускорение имеет своей размерностью: а так как сила равна произведению массы на ускорение, то размерностью ее будет: МП'-'. Вообразим себе любой случай движения системы, определяемый одним или несколькими уравнениями.
Изменим единицы, которызщ измеряются величины, вхотяигие в уравнения движения; тогда зти величины будут изображаться другими числами, чем прежде, сообразно с изменением единиц. Произведем следующее изменение еданпц: уменыинм единицу длины в Х раз, единицу массы в р. раз и единицу времени в т раз. Тогда единица для измерения спл уменьшится 1ь в —,, раз.
Числа же, представляющие вслпчины длин, масс, времен и сил, увеличатся в тех же отношениях, т. е. в 'ь, 1н р,т, —,раз. Эти новые числа должны удовлетворять прсзкнпм уравнениям движения, так кзк они представляют данные, относящиеся к дзнженшо прежней системы. Итак, если в любом уравнении движения мы все длины умножпм на произвольную постоянную величину 1, все массы — на р, все времена — на т и все силы— на †,, то уравнение попрежнему будет удовлетворено. Но мы можем смотреть на это видоизмененное уравнение с другой точки зрения. Прежде мы считали, что оно изображает движение прежней системы, с изменением лишь единиц, которыми измеряются величины.
Теперь предположим, что единицы остались прежние. Уйы можем толковать видоизмененное уравнение как уравнение движения другой системы, которая получается из первоначальной путем увеличения нссх длин в х раз, всех масс в р раз, всех времен в т раз и всех сил в †, раз. 143 центРАльнОе движении Этз новзя система подобна первоначальной, и сравнение нх уравнений лвнженпя показывает, что новое лвнже ше подобно прежнему движению.
Итак, получаем вновь теорему о подобии; условие подобия, т. е. соотношение сич, конечно, получилось то же самое, что и в предыдущем способе доказательства. Изложенное второе доказательство показывает, что закон полобия в динамике представляет непосредственное следствие необходимой однородности всех членов, нходюцпх в какое уголно уравнение; его можно называть «законом однородностиэ. Отсюда легко вывести распространение этого закона на различные вопросы математяческой физики '].
Приложения теоремы о подобии весьма многочисленны и Лают очень важные результаты, так чзо один из теаретнконмехаников справеллпво называет теорему о подобии не л н к и и п р и н ц н и о м п о д о б и я. Мы приведем примеры нз разнообразных областей науки н техники. 58. Центраяьиое движение. Пусть система состоит из материальной точки т, движущейся под влиянием притяжения к неподвижному центру Я; сила притяжения пропорциональна величине массы и и расстоянию г, возвышенному в от~пень л.
Другая система ей подобна. Ка!сне указания на соотнршенпя движений этих систем даст теорема о подобнну Она указывает, что отношение снл должно быть —,. С другой стороны, заданный закон прнтнжьншя указывает, что отношение сил в двух системах составляет р'д". Следовательно, имеем; ).и — = )л'л", ы з) Теорема о подобии в теории тепла была выведена Фурье; этот вопрос разобран э мало иэаесгнои мемуаре е!о, носяшоч заглавие «Мепю1ге эиг !а 41«1(пс(!ои беа гас(пе«ппая(па1геа с1сдч См.
а собрании сочинений Фурье (Оеитгеа де Роипег), т.!1, стр. 135 — 144. Эза раоота относится к !827 г,, т. е. пояэнаась нитью годами позже, чем «Твеог1е апа!унйие де 1а с(за!еигаз. См. также статью: Ю. В еггг а од, Яш Глоп!ойбпе((е бана 1ез 1огпш1е«бе р(зуэ(цие, «Сотр1еэ йспдиюн 86, стр. 916 (1878). Здесь рассмотрено подобие в теории тепла и теории электричества. (Вопросы подобия и разиерности изложены е книге: Седов Х!. «1, Методы теории разчерностей н теории подобия в механике. Гостехиздат, 1944. (Прим.
рад.)) 144 теогвмл о подовпи в дкнлмняз откуда (41) г — )г-л Здесь т представляет отношение соответствующих времен; если, например, точка т описывает замкнутую кривую (орбиту) около притягивающего центра Я, то т означает отношение вр.мен обращения масс около центра 8. Уравнение (41) представляет слсдугощий закон: квадраты времен о б р а- щения относятся, как (1 — л)-е степени лвнейн размеров орбит. В частном случае, когда и= — 2, т.
е. когда притяжение обратно пропорционально квадратам расстояний, получаем; тгг Лг, т. с. находим третий закон Кеплера: к в а д р а т ы в р е м е н обращения пропорциональны кубам средних расстояний (т. е. полуосей эллиптических орбит). 59. Качания маятника. Возьмем два геометрически подобных маятника н заставим пх качаться в двух различных местах земного шара, различающихся между собою величинами ускорения тяжести.
Отношение величин этих ускорений назовем через д; тогда отношением сил земного притяжения будет рд. Но по теореме подобия отношение снл равно — ; вЛ гг следовательно, рь"=р гг откуда Здесь т представляет отношение соответствующих времен для двух маятников, например отношение времен качания. Итак, время качания маятника прямо пропорционально корню квадратному нз длины маятника и обратно пропорционально корню квадратному яз ускорения тягкестн.
60. Числа колебаний воздуха в подобных трубах произвольной формы. Здесь в качестве движущей силы появляется упругость воздуха; она при данной степени сгущения сопротивление Воды дв!О!<Гнн!0 твердых тел 145 нлн разрежения пропорциональна площади, на которую производится давление. Следовательно, для подобных труб отношение сил равно квадрату отншнения линейных размеров. Прираннивая это выраженп тому отношению сил, которое дается теоремой о подобии, .г. е.
†,, получаем: тр Но р — отношение подобных мисс воздуха — равно кубу отношения линейных размеров. Следовательно, после подстановки найдем: т = в. Итак, отношение сходственных времен, т. е. отношение чисел колебшшй основных звуков, изливаемых трубами, равно оиношен1но линейных размеров труо (закон Сезара), 61. Сопротивление воды или воздуха движению твердых тел.
Вместо того чиобы рассматривать твердое тело, движущееся с неко:орой скоростью И в неподвижной среде, обратим движение: предположим, что:вердог тело неподвижно, а иа него течет вся среда с иой же скоростью 'Р', но в обратном напранлении. Такое обращение движения упрощает вопрос; мы теперь можем не обращать внимания на массу твердого тела; в двнжсшш прчнпмшот участие только массы воздуха или другой среды.
рассмотрим давления эгнх движущихся жидкостей на твердое тело. Для сил прп подобных системах имеем отношение ти -„и' . Отношение подобных масс двух движущихся жидкостей равно 31и 13 — отношение плотностей жидкостей). Следовательно, имеем: и=и —,= О).'( — ) . Но — есть отношение скоростей при подобных движениах, а )а равно отношению поперечных сечений подобных тел. Итак, мы получзем, что силы сопротивления воды илн воздуха для подобных тел относятся меииду собою, как произведения 1О в. л. кириичвв 146 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ из плотности жидкостн р на площадь поперечного сечснпя движущегося тела Г и на квадрат скорости $". Это вывод Ньютона. Выражая его алгебраичсскнмн знакамп, получаем для силы сопротивления Я формулу: Я =фри(га, (42) где Ь вЂ” коэффипнент, олннаковый для нсех жилкостей.
Заметим, что закон, изображаемый формулой (42), относится только к геометрнческн подобным зелам, н ми не змеем права распространять его на тела не подобные. Прежде часто не обращали на это вннмзняя и прпмсняли формулу (42) как общий закон сопротивления для всяких тел; замечая, по в формулу не входит длина тела, говорплн: сопротизлсш1е пропорционально плоитади поперечного сеченая и не зависит от ллины тела. Такой вывод неверен и есть результат неправильного распространения формулы (42) на тела не полооныс, Чтобы резко выставить непрзвнльность подобного расширеппя закона за прелелы его применимости в вопросе о сонрогналенин ляеженню судов, Фруд прпволпг.
следуюгций довод. д,и геометрически подобных судов можно в формуле, диощсй о|ношение сопротивлений, вместо ла всзавнгь, если угодно, отношение квадратов высот мачт. Однако никому не придет в голову распространять этот вынол нз тела не подобные и у1верждать, что сопротивление вообще пропорционально квадрату высоты мачт! Настолько же нелогично и вышеуказанное распространение закона о пропорциональное~и со- -Ь - чч — — -- ==- === — - прогивлення поп речным — — =' ь — — -= сечениям двикунць ся тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
