Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. цент р тяжести должен лежать на оси вр а щения. Кроме'этого условия нужно сщс удовлетворить уравнениям (в) и (г). Для этого требуется известное распределение масс частиц т н теле относительно оси вращения, при котором положительные и отрпцательныс члены суммы,У,тух взаимно сокращаются; то же требуется и для другой суммы тхи. Если эти условия выполнены, то ось яращения называется г л а в н о й о с ь ю тела.
Итак, получаем еще условяя для уравновешивания центробежных снл: ось вращения должна быть главной осью тела. Чтобы показать возможность удовлетворения этого условия, заметим, что если в теле есть ось симметрии, то она, наверное, сеть главная ось. На самом деле, существование осн симметрии означает, что для всякой частицы т, 120 гелвноввшивлнив сил инвгцни находящейся от оси на расстоянии: тВ=г, всегда можно найти, на продолжении перпендикуляра лгВ и на расстоянии гл'В, равном тВ, симметричную частицу т' такой же массы, что и лг 1фнг.
83). Эти две частицы имеют одинаковые координаты г; нх координаты к, как н координаты у, численно одинаковы, но различаются знаком. Оче- к 0 фнг. 83. видно, взяв выражения тхг (илп л1уя) для обеих частиц и складывая, получим нули. Но все тело состоит из таких пар симметричных частиц; поэтому и полные суммы ч~~~ ~тхг, ~~ гняу для всего тела будут равны нулю. Случай оси симметрии не есть единственный случай, когда ось имеет свойство главной осн. Можно доказать, что в каждом теле для любой его точки есть три главные осп, взаимно перпендикулярные. 60. Моменты инерция. Моментом инерции какого-нибудь тела относительно некоторой оси называется сумма произведений из масс частиц, составляющих тело, на квадраты их расстояний до этой осн.
Такое выражение появляется во всех вопросах, касающихся вращения тела, Осп вращения могут иметь разнообразное положение относительно тела, а с изменением оси изменяется и момент инерции. Таким образом для данного тела мы имеем не один момент инерции, а целую группу их, отвечающую комплексу всевозможных осей, которые можно себе вообразить в различных положениях и по различным направлениям относительно тела, Величины моментов инерции такой группы на- 121 моманты пивники момент инерции я второй оси равен 'уА К фнг. 84. Через первую ось пр едем плоскость КК, перпендикулярную к АС, и расстояние ч тицы М от втой плоскости обозначим через х.
Из ~ МАС получае рг — + аг+ 2ах Следовательно, lд — ~~", г г+ ~~Р~ааг ~~~ 2аха, Вынося из-под знаков 'Я те м жители, которые одинаковы для всех членов суммы, получа8г): Ул =~ аг'+ аз ~~„", а+ 2а ~~',, ах. Первый член итого выражения представляет момент инерции ,гс для первой осн. Во втором входит сумма масс всех частиц тела ~а, т. е. полная масса всего грла М.
Затем, в третий ходятся между собою в известных соотношениях, позволяю- нх с легкостью определить значительную часть моментов, огда известны некоторые из них. Мы займемся выводом чх соотношений. Первая теорема. Связь между моментами и рции для параллельных осей. Пусть (фкг. 8Ф) име две оси: одна из них (первая) проходит через центр тяж и тела С перпендикулярно плоскостк чертежа; другая орая) параллельна первой а находи я от иее на расстоянии АС, которое азовем а. Возьмем любую частицу те М; пусть масса ее будет а; расстояни ее от первой и второй осей обозначим рез г н р. Обозначая через ~ч», 'суммнро ние, распространенное на все тело, по чим: момент инерции для первой оси р ен ~~~, 'агг; 122 углвиовхшивлнис снл инвгц!п! член входит сумма ~ л!х, которая, по определению пенну !ия центра тяжести, равна нулю.
Поэтому получим: у„= — у +Мп', мме сн, ссы т. е. моме!и инерции для какой-нибудь осп раве двух величин: а) момента инерции для параллелю проведенной через центр тяжести, б) произведения ! !ела на квадрат расстояния между этими двумя ося! Эта теорема позволяет в случае параллельных фй огр» нпчиться нахождением момента инерции для одн для всех остальных моменты инерции прямо пол аются нз уравнения (25), Уравнение (25) показывает, что среди пара н а и и е н ь ш и й и о и е н т и н е р ц и н получ са д.ч!' х из них, ко рая проходит Ф Мк,х через цент гяжести тела.
(к,у,х) Втор теорема, г Зависп ость между 0 момен ми инерции для о й, проходящих гере одну и ту же точ тела. Э!у точку О О при! ! за начало координатно истемы (фнг. 8б). у ~усть ОА будет одна нз о й; направление ее опреу В ляется углами а, р, у, коФиг. 85. ~орые она составляет с ося- ми х, у, ж Возвыся! одну из частиц тела М; координаг ес назовем х, 7, х, массу частицы обозначим через !и. Опуская перпендикуляр пз М на ось ОА, получим расс!г нне МО этой частицы до осн; его назовем через г, а дл!и!у МΠ— через р. Момент инерции тела для осп ОА будет: / у=~!и Здесь мы имеем следу пе геометрические соотнощения: га=- ра — (Ьа=ха+ уг-)- ' — ОО'.
моменты инегции 123 рассматривая замкнутый пространственный многоугольник ООМВСО и проектируя все стороны его на ось АО, получим: ОО= х сов а+у сов р+г сов у, Следовательно, г'= х'+у'+ гз — (х сов а+у сов р+ г сов ()з. (2б) По известному соотношеншо между косинусами углов, образуемых прямой с осями координат, имеем: 1 =- сов' а+ сов' р -( — сов' у; поэтому уравнение (26) можно написать в форме: зз=(ха+уз+г') (совза+сов'р+совзу)— — (х сов а+усов р+г сов у)з. Производя возвышение трехчлена в квадрат и сокращая, най- дем окончательно: гз — совза(уз ( — гз) (-совзр(хз (-гз)+совзу(хз ( уз) — 2 сов у сов р уг — 2 соз а сов у хг — 2 сов а сов р ху.
Это выражение нужно умножить на т и произвести суммирование для всего тела. Так как косинусы углов а, р, у одинаковы для всех членов суммы, то их можно вынести изпод знака ~, и мы получии момент инерции в такой форме: у = — сова а ~~„', т (ге + уз) + сова р ~~р ~ти (х'+ гз) -)- +совзу ~Зажги(хз+уз) — 2 сеансов р~~'„туг— — — 2 сов а сов 1 ~, тхг — 2 сов а сов ~,У,тху. Для краткости письма назовем каждую из сумм, входящих в это выражение, одной буквой; тогда получим: У=у„сова а+У сова р+ l, сов'у — 2Оу, сеансов р— — 2Озз сов а сов у — 2О „сов т сов а. (2У) Здесь буквы з'„, у», ..., 1Э„„имеют следующие значения: 7 — ~~Р т (уз+ гз) 7 ~ч~ ~т (ха+ аз) / — ~~~'т (ха+ гз) О,=~~~~тУг, Оз =~ч.",тгх, О„=~~'„,'тхУ. 124 УРАВНОВЕШИВАНИИ СИЛ ИНЕРЦИИ Так как выражение уа+га есть расстояние точки М от оси х, то, очевидно, коэффициент у, есть момент инерции тела относительно оси х.
Подобно этому 7 и 7, представляют моменты инерции относительно осей у н Х, Величины О м О,л, О изображают так называемые центробежные моменты. Достаточно знать эти шесть величин Ум У, У„ О „ О,„, О У; тогда по формуле (27) найдем момент ийерции для лю- бой оси ОА, положех ние которой определяется В углами а, 'р, 7. В Итак, вопрос об опре- Ь делении моментов инера А цни для всевозможных 1 Ц,'),С) осей, проходящих через С одну и ту же точку, по- О ц лучает довольно простое а решение. Шесть величин Ч определяют всю сложную у совокупность такой группы моментов инерции. Для изображения того, как изменяются моменты инерции для разных осей, проходящих через одну и туже точку, применим следующий прием (фиг.
86). На каждой нз осей ОА, ОВ, ОС, ... отложим отрезок (Оа, ОЬ, Ос,,), пред- 1 ставляющий величину =, т. е. величину обратную корню УУ ' Ф квадратному из момента инерции для этой оси. Концы а, Ь, с, ... этих отрезков образуют некоторую поверхность, которая будет служить наглядным указателем изменяемости моментов инерции. Определим вид этой поверхности, для чего составим ее уравнение. Пусть ось ОА составляет с координатными осями х, у, я углы а, (), П координаты точки а, т. е.
конца от- 1 резка Оа, равного =, назовем $, а), с„это будут коорди- гт' наты искомой поверхности, указывающей закон изменения моментов инерции. По известным формулам аналитической момвнты инагции 125 геометрии имеем. 1 с=Оа сова= — сова, 1 з) = Оа сов р == сов р, '~'3 г ь=Оа совт=-=спят. У" У Определим отсюда сова, совр, сову и вставим в уравнение (27). Получим по сокращении на 3: 1 =3 -.'+3,лз+3с" — 2О, й~ — 2йсвй — 2Ве,,йб (28) Эта зависимость между координатами Е, г), ь, представляет уравнение искомой поверхности.
Оказывается, что мы имеем поверхность второго порядка. К этому прибавим то соображение, что нн для одной нз осей момент инерции не может быть равен нулю, так как он есть сумма положительных членов. Поэтому ни одни из отрезков Оа, ОЬ, Ос не может быть бесконечностью. Итак, мы имеем дело с поверхностью второго порядка, не имеющей ни одной бесконечно удаленной точки, Следовательно, это наверное эллипсоид, Таким образом мы получаем замечательный общий вывод: изменение моментов инерции для осей, проходящих через одну точку, всегда представляется поверхностью эллипсоид а, каковы бы ни были форма тела и расположение масс его составляющих.
Изменяя направление осей координат, мы всегда можем упростить уравнение эллипсоида и уничтожить в нем члены с произведениями координат. Делая это известное преобразование Эйлера, получим уравнение эллипсоида в форме: 1 =31С2+ 3ат1з+3ВЬв. Новые координатные оси будут направлены по осям эллипсоида. Сравнивая это уравнение с (28), находим, что вследствие перемены координатных осей получились следующие изменения: 1) Величины 3„, 3, 3, превратились в 3,, 3а, 3а. Но 3„, 3, 3, были моменты инерции для прежних осей коорди- 126 угляновещивхл!ив сил инегцин нат. Теперь Ут, Уа, Уа будут моменты инерции для новых координатных осей.
2) Величины хт , (2,л, У;л„ обратились в нули. Но этн величины изображают суммы ~ !игу, ~ ьчхя, ~Р ~глух. Следовательно, прп новых осях такие суммы равны нулю. Это! вывод показывает, что для всякого тела можно найти такое направление координатных осей, при котором выполнены условия: ~ илгу = О,,,"~ глхг = О, ~~'., ллух = О. (30) В $49 мы дали слсдулощее определение: ось, удовлетворяющая тому условию, что для нее равны нулю две суммы, которые содержат координату х, т. е.
г,'лиха=0, ~глух=О, называется главною осью. Условия (80) показываюг, что у нас ве только ось х, но и две другие оси у, г суть главные осн. Итак, в каждой точке всякого тела имеются трн главные осп, взаимно перпендикулярные. Моменты инерции для ннх называются главными моментами инерции. Рассмогриллчастный' случай.
Пусть пмеелл; У2 УЗ~ т. е, два главных момента инерции равны между со. бою. Фиг. Вт. Тогда эллипсоид (уравнение (29)) будет эллнпсоидом вращения (фнг. 87). При этом получается равенство не только моментов инерции дли осей у, г, но и для всякой оси, лежащей в плоскости ух, момент инерции будет тоже равен Уа. Все эти оси будут главными осями тела. Этот случай получается, например, для однородных тел, имеющих геометрическую форму тела вращения. Главными осями такого тела будут: его ось фигуры н все оси, к ней перпендикулярные.
В случае, когда все три гл а вны е момента инерцииии равны между собою: У! Ул Ул 127 МОМЕНТЫ ННЕРЦИП эллипсоид (29) превращается в шар. При этом моменты инерции для всех осей будут равны между собою, и все оси будут главные Чтобы вычислить момент инерции, нужно разделить тело на элементарные части, составить произведение из массы элемента на квадрат расстояния его до оси и затем суммировать произведения. г(исло их бесконечно большое; следовате.чьно, мы будем иметь дело с суммою Г ~р бесконечно большого числа членов. р~ р Подобные суммы находятся по правилам интегрального исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
