Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Такое выражение, постоянно появляющееси во всех вопросах о вращении твердого тела, называетсн мо м е н том вне р ци и тела относительно оси вращения. Назовем его для краткости одной буквой У. Итак, сумма моментов сил инерции равна Прибавляя сюда момент активных снл М, мы должны, на основании начала Даламбера, приравнять результат нулю, Получим уравнение движения (19) которое определяет величину углового ускорения. Если, например, момент активных сил постоянный, то угловое ускорение тоже окажется постоянным, т.

е. движение будет равноускоренное. Вообще же угловое ускорение будет равно (17) т. е. частному от разделения момента активных сил на момент инерции вращающегося тела. Следует обратнть внимание на аналогщо зтого уравнении с тем, которое дает ускорение прямолинейного движения материальной точки. Если сила, действующая по направлению движения, ранна Р, а масса двнжущейсн точки гл, то ускорение Р прямолинейного движения равно а= —. Сравнввзн с (17), внл1 ' двм, что прн переходе от ускоренин прямолинейного движения материальной точки к угловому ускорению твердого тела, вращающегося около постоянной оси, нужно сделать следующие замены а) вместо силы Р постанить сумму моментов М активных снл относительно осн вращения; б) вместо массы точки гл поставить момент инерцнн тела относительно осп врщцения. Этот момент играет во вращательном движении ту же роль, что масса в прямолинейном движении точки или в поступательном движении твердого тела.

ПРИМЕРЫ 4. Сложный маятник (фпг. 62). Слояолым маятником называется твердое тело произвольной формы, вращающееся около горизонтальной осн под действием собственного веса '). Следовательно, мы имеем здесь вращение твердого тела около неподвижной оси и поэтому должны применить только что полученное уравнение (17). Активная движущая сила здесь есть вес тела, который нужно считать приложенным в центре тязсести его О. Назовем массу всего тела через лл и расстояние 00 центра тяжести от оси вращения 0 через а. Фнг.

62. Фиг. 63. Момент силы веса относительно оси вращения равен весу лля, умноженному на длину ОК, т. е. тлдасоар. Подставляя такой момент в (16), получим уравнение движения маятника: ллда соз р — рай=О, илн (18) РЩЙ а = — сову. Чтобы уяснить себе смысл этого уравнения, перейдем от сложного маятника к простому, т. е. вместо большого числа связанных материальных частиц возьмем одну материальную точку р, находящуюся на расстоянии 1 от оси вращения (фиг. 63). Для примепещгя предыдущего уравнения к простому маятнику нужлю сделать замены: щ заменить через р, а заменить через 7 и вместо момента инерции l вставить произ- т) Сложный мха~них иначе называется фи з и че с к им, а про- стой — и а т е и а т и ч е с к н и.

(Ораль равд.) 94 НАЧАЛО ДАЛАМВВРА ведение из Р на квадрат расстояния Г этой точки до оси вращения. Получим для простого маятника уравнение: = — совр нлн ~ =-совр. вкг ь га 7 (19) Если удовлетворяется условие 1= —, то уравнения (16) и (19) делаются вполне тождественными, т. е. они изображают совершенно одинаковые колебания.

Итак, длина г простого маятника, качающегося в унисон со сложным, представляется выражением: у гна ' в котором l есть момент инерции сложного маятника относительно оси качания, гл — его масса и а — расстояние центра тяжести от оси качания. Если отложим иа прямой 00 (фиг.

62) отрезок, равный 1, принимая за один конец его точку О, то точка, соответствующая другому концу этого отрезка, называется ц е н т р о м к а ч а н и я сложного маятника. 36. Отсутствие сил связи в уравнениях движения. В рассмотренных примерах, представляющих связанные системы, действуют силы связи. Сюда относятся натяжения гибких нитей и давления нз оси блоков в первом и втором примерах, а в третьем и четвертом примерах все молекулярные взаимодействия между частицами твердого тела и давления оси вращения маятника.

Ни одна из этих многочисленных неизвестных не входит в наши уравнения движения; все силы связи исключаются уже самым способом составления уравнений движения, т. е. применением начала возможных перемещений. Это самый простой путь, он дает наиболее простые уравнения движения. Действуя иначе, мы получим уравнения, содержащие силы связи; конечно, зти силы могут быть потом исключены нз уравнений алгебраическими приелюми, но зто требует сложных и продолжительных выкладок. Поэтому всегда следут предпочитать такой прием, прн котором силы связи исключаются во время самого составления уравнений движения. Для лучшего уяснения этого рассмотрим двойной маятник (фнг. 64); первый маятник вращается около неподвижной отсттствив сил связи в тгавнвииях движвння 95 оси О, а второй маятник соединен с первым осью А.

Здесь давления осей 0 н А представляют силы связи. Правильный способ решения этой задачи заключается в следующем. Рассмотрим условия равновесия этой системы (фиг, 65); нх, очевидно, два; а) сумма моментов внешних сил Р, О,..., приложенных ко второму маятнику, относительно осп А должна быть равна нулю; б) сумма моментов всех внешних сил ]как тех (Р, ф, которые приложены ко второму маятнику, так и тех (Й, Л), которые приложены непосредственно к первому маятнику] для осн О должна быть равна нулю. Эти два условия дают два уравнения для нашей системы, которая Фвг. 64. Фиг.

65. имеет две степени своооды. Если в этих урзвнсниях к внешним силам прибавить силы инерции, то получим уравнения движения. Вместо этого простейшего способа решения иногда применяют следующий: вводят силы связи, т. е. данления осей О, А. Так как не известны ни величина давления, ни его направление, то имеем для каждой оси две неизвестные. Приходится ввести для каждого давления две его проекции на координатные оси л, у, лежащие в плоскости чертежа.

Таким образом появляются четыре неизвестные силы связи. Введя их, рассматриваем маятник ОА и АВ как два отдельных свободных тела, движение которых параллельно плоскости чертежа. Уравнение двнжеииа каждого из этих тел пишем отдельно. И здесь эти уравнения будут не что иное, как условия равновесия со введением скл инерции. Но тело ОА освобождено от связи О; сохранено только условие, что движение проис- НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА ходит параллельно плоскости чертежа.

Поэтому для ОА имеем три условия равновесия суммы проекций сил на оси х, у должны быть равны нулю, и сумма моментов снл для оси, перпендикулярной к плоскости чертежа, должна быть равна нулю. Следовательно, получим для ОА трн уравнения движения. Также н для телз АВ получям три уравнения движения. Всего почучим шесть уравнений движения; в них входит четыре неизвестные силы связи, а именно: две проекции давления оси О и две проекции давления оси А. Исключая этн четыре неизвестные из шести уравнений, мы получим два уравнения движения, не содержащие связей, притом те жс самые два уравнения, которые могли бы получить сразу и непосредственно, не вводя сил связи.

Очевидно, такое введение сильно усложнило вывод, притом без всякой нужды. 37. Простые приложения начала Даламбера, Начало Даламбера дает нам уравнения движения, в которые входят силы инерции, т. е. уравнения, содержащие в себе ус корен ля точек. А так как ускорения прсдставляются вторыми производными от координат по времени, то, следовательно, эти уравнения будут дифференциальные второго пор я д к а. Для разрешения вопроса необходимо проинтегрировать такие уравнения, что иногда может представить значительные и даже непреодолимые трудности. В этом отношении начало Даламбера не дает никакой помощи н останавливается на получении дифференциального уравнения. Интеграла оно не даст и не дает никаких указаний на способ интегрирования, не облегчает получения янтсграла, Вообще, все общие теоремы динамики можно рззделить на два разряда.

Теоремы второго разряда дают олин или несколько интегралов уравнений двиз<ения; примером их может служить закон живых сил. Теоремы первого разряда не дают интегралов, ио приводят сложный вопрос к более простому вопросу. Таково начало Даламбера, которое вопрос о движении заменяет простым вопросом о равновесии. Этой заменой начало Даламбера бросает яркий свет на явления движения и сразу непосредственно объясняет многое в этом явленин. Простейшие заключения, даваемые началом Даламбера, для нас теперь представляются почти аксиомами. Но не всегда простые пРилОжения ИАИАПА дАлАмверА было так, и интересно проследить, как постепенно вырабатывалось понятие о различии между законами равновесия и законами движения. Для этого нужно обратиться к' самому зарождению динамики, т. е. к «Разговорам» Галилея, Укажем, например, иа следующее место.

Симпличио отстаивает мнение Аристотеля, что тяжелые тела должны падать быстрее легких; соображения его приводятся к следующему: если мы на один камень наложим другой, то этим производим на первый добавочное давление, н следовательно, скорость первого камня должна увеличиться. Сальвиати, который в «Разговорах» представляет мнения самого Галилея, вполне правйльно указывает, что такое добавочное давление получается только при покое, а во время паде- л«9 ния второй камень вовсе не давит ! на первый '). Ге Попробуем, вооружившись началом Даламбера, посмотреть на несколько обыденных явлений.

Характеристики

Список файлов учебной работы