Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 15
Текст из файла (страница 15)
теперь возне кпо вращение осей у и 2 прн неподвижности оси 3. Применяя начало возможных перемещений к этому движению, получим искомую силу Х. 6 В. Л Кирпичвв ЧЕТВЕРТАЯ БЕСЕДА НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА ЗЗ. Доказательство начала Даламбера. Во главу динамики нужно поставить так называемое начало Даламбера— общую теорему, которая указывает, как должны быть составлены уравнения движения для всякой механической системы. Эта теорема была найдена Даламбером, который заметил, что законы движения и уравнения движения похожи на законы равновесия и уравнения равновесия.
Теорема и высказывает, в чем именно состоит это сходство. Мы проще всего придем к ней, если начнем с рассмотрения равновесия и движения одной свободной (несвязанной) материальной точки. Все касающееся одной точки получится с наибольшим удобством, если мы введем три координатные оси х, у, г и будем разлагать по этим осям как силы, так и движение. Сначала предположим, что точка находится в равновесии; необходимые и достаточные условия для равновесия заключаются в том, что суммы проекций сил, приложенных к ней, должны быть равны нулю для каждой из координатных осей. Обозначая суммирование знаком Х, получим эти условия в форме: ХХ=О, Х) =О, ЕЛ=В.
Перейдем теперь к движению, которое разложим на три движения по трем осям координат. Назовем массу точки через ла, а переменные координаты ее — через х,у, г. Их изменения будут представлять перемещения для трех составляющих движений, направленных по осям. Вторые производные пах Лая Лая этих координат, взятые по времени т. е. — — — булга ' лаа ' лга доклзлтхльство нлчллл длллмввва 83 дут ускорениями трех составляю1цих движений, направленных по координатным осям.
Будем применять ньютоново обозначение, которое очень удобно и состоит в следующем: производная п о в р е м е н и от какой-нибудь величины а будет изображаться точкой, поставленной над а; вторая же произ. водная изобразится двумя точками над той же буквой а. Тогда наши ускорения по координатным осям обозначатся через х, у, г. (9) Ио мы знаем, что ускорение прямолинейного движения равйо силе, действующей по направлению движения, разделенной на массу точки.
Следовательно, ускорения для наших трех прямолинейных движений будут: Приравнивая эти последние величины выражениям (9), изображающим те же ускорения, получим: 1 ч - ! - 1 — ~а Х= х, — л,'г =у, — ~~~Р 2= г, или ~Х вЂ” ах=О, .)'"У вЂ” шу =О, ~ЗŠ— юг=О. (10) Это будут уравнения движения материальной точки. Они похожи на уравнения равновесия (8) и отличаются от ннх лишь прибавочными членами: — глх, — ту, — ии. Условие однородности формул указывает, что эти прибавочные члены должны быть одинаковой размерности с силами; и том жо можно убедиться и рассматривая размерности множителей т и х. Итак, на этн члены можно смотреть как на некоторые силы, конечно, фиктивные, несуществующие; однако введение таких воображаемых сил даст нам большие удобства. Эги силы называются с и л а и и и н е р ц и и.
Можно рассматривать илн отдельно силы инерции для каждой из координатных осей, или полную силу инерции, т. е. результат геометрического сложения трех частных снл инерции, идущих по осям координат. И в том, и в другом случае сила инерции численно равна произведению массы на ускорение, а знак минус указывает, что 84 илчхло дхлхмвевх сила инерции направлена всегда противоположно ускорению движения. Введя такое поня~не о силах инерции, мы еще более подчеркиваем сходство между уравнею ямп равновесия (8) и уравнениями движения (1О).
От (8) переходим к (10), прибавляя к реальным силам еще силы инерции. Итак, у р а в н е н и я движения материальной точки получаются из уравнений равновесия с помощью прибавления сил инерции к реальным силам. Рассмотрим теперь не одну материальную точку, а произвольную механическую систему. Разделим ее на отдельные матернальные точки и для каждой точки введем кроме активных сил еще и все силы связи.
Тогда каждая материальная точка может считаться свободной, и к ней можно применить вышеуказанные уравнения равновесия (8) и уравнения движения (10). Уравнения равновесия будут иметь форму: ~ч„'Х+~Х =0, (11) где Х обозначает активные силы, а Х' — силы связи. Для каждой точки будем иметь три таких уравнения, соответственно трем координатным осям, и вся совокупное гь таких уравнений для всех точек определяет условия равновесия системы. Уравнения движения точки будут отличаться от (11) только прибавлением снл инерции и получат форму: ~~Р Х+ ~~ Х' — тх = О, (12) Их тоже будет по три уравнения для каждой материальной точки. Условия равновесии системы предсгавляют следствия всей совокупности уравнений (11) и могут быть получены из этой совокупности исключением сил связи.
КаковьТ бы ни были приемы, которые нужно применить для такого исключения, во всяком случае этп приемы могут быть применены для той же цели и к совокупности уравнений (12). Следовательно, какое бы уравнение равновесия мы ни получилн, всегда можно найти соответствующее ему уравнение движения, отлпчз|ощееся от уравнения равновесия только прибавлением сил инерции. В этом и состоит начало Даламбера, которое мы выскажем следующими словами: ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАЧАЛА ДАЛЕЕ!ВЕРА 85 Все законы равновесия, все теоремы равновесияи я, все уравнения равновесия могут быть применены к нахождению движения системы.
Для этого нужно только в условиях равновесия прибавить силы инерции, и тогда мы получим законы, теоремы и уравнения, относящиеся к движен и ю системы. Таким Образом начало Даламбера приводит задачи динамики, вопросы о движении, к более простым задачам статики, вопросам о рзвновеспи. Умея решать статические задачи, мы получаем в начале Даламбера общее правило решения вопросов о движении. До Даламбера яе имели такого общего правила и решали вопросы о двнжснпп систем частными приемами, придумываемыми особо для каждого отдельного вопроса.
Притом и число разре:ивиных вопросов о движении систем было очень невелико; например, Гюйгенс решит вопрос о качаниях сложного маятника. Только с Даламбера начинается динамика системы. Заметим, что, пользуясь началом Даламбера, мы получаем законы движения в очень разнообразных формах соответственно разнообразию законов равновесия. Законы.
даваемые статикой, могут иметь или форму словесных правил, или теорем, илн получшотся в ниде геометрических построений, нли, наконец, в форне аналитических уравнений. Вводя силы инерции в этн теоремы, построения, уравнения и т. д., мы применяем их к случаю движении. Во многих случаях условия равновесия получаются всего удобнее применением начала возмоясчых перемещений; поэтому это начало имеет особое значение и для динамики и постоянно применяется для нахождения уравнений движения.
Мы можем сказать, что об.цее правило нахождения уравнений движения заключается в комбинировании начала Даламбера с началоч возможных перемещений. Применяя последнее начало, мы исключаем все силы связи; следовательно, они не войдут в уравнения движения, которые будут содержать только активные силы и силы инерции, т. е. ускорении движения, 34. Другое доказатечьетво начала Даламбера. Для вы. яснения основных законов н теорем очень полезно подходить к ннм с разных точек зрения н доказывать их с помощью разнородных соображений.
Поэтому мы рассмотрим еще дру- нАчАлО даллмвгва ь -та А та гое доказательство основного начала динамики, а именно изложим те соображения, которые приводит сам даламбер для оправдания начала, получившего его нмя. При этом доказательстве не будем уничтожать связи н разделять одну с другой материальные точки, составляющие систему. Сохраним все связи и будем рассматривать всю свя.
ванную систему в совокупности, определив активные силы, которые действуют на разные точки системы. Конечно, эти силы сообщат точкам связанной системы совсем другие движения, чем те, которые получились бы от тех же активных сил при действие их на совокупность несвязанных, свободных материальных точек. Пусть А (фиг.
54) †од из этих точек, Р имеющая массу т, и пусть АЕ а представляет равнодействующую Р активных сил, прилоягенных к этой точке. Фкг. 54. Если бы точка А была свободна, то она получила бы ус- Р корение по направлению силы Р, равное †. Но вследствие связей точка А получает некоторое другое ускорение а, направленное не по АЕ, а иначе, например по АВ.
Произведение массы точки А на ускорение а пр дставляет величину той силы, которая должна была бы действовать на точку А, по направлению АВ, чтобы сообщить точке А действительное ускорение а, если бы точка А была вполне свободнаа и ничем не связана. Построим параллелограм АВЕО и заменим силу АЕ, т. е. Р, двумя слагающими АВ и АВ; первая из них имеет величину та, вторую же назовем через (~. Итак, сила Р может быть заменена совокупностью этих двух слагающих. Если бы точка А была свободна, то ускорение ее получилось бы как геометрическая сумма двух ускореннй, вызываемых силами та и Я отдельно; таков основной закон динамики, установленный Ньютоном и называемый законом независимости совокупного действия сил, или иначе законом параллелограма сил.
Вследствие связи точка А получает только ускорение а по направлению АВ; выходит, что как будто бы только одна слагающая та производит свое действие; другая же сила (~ как будто бездействует, теряется, не сообщая ни« ПРИМЕРЫ какого ускорения точке А. Таков результат связей системы и влияние их на движение точки А: некоторая сила Я как будто теряется, отчего она и называется потерянной силой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
