Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 10
Текст из файла (страница 10)
представляют постоянные величины, то предыдущее выражение можно написать в форме дифференциала суммы„ — гт(Р1х, + Р з+ Р х„+...) (6) Пусть 0 будет общий центр тяжести всех наших грузов, а х — высота его над основной плоскостью Н. Тогда по определению центра тяжести, называя сумму всех грузов через Р, имеем: Р х, + Р,х, + Р хз+... = Рх. Следовательно, выражение (6) получит вид: — и (Рх) = — Рс(х.
(7) Таким образом, работа всех активных сил для бесконечно малого перемещения имеет очень простой вид; легко просуммировать эти элементарные работы и получить соответствующую величину для конечного перемещения. Для этого нужно только просуммировать величины Их. Пусть начальная высота центра тяжести Сг над плоскостью Н, отвечающая положению равновесия, есть лю а окончательная высота для конечного перемещения системы есть л; тогда сумма всех элементарных значений с(х будет равна разности и †и суммирование величин (7) дает; Р(ло "). По изложенному общему правилу равновесие будет устойчи. вое, если это выражение всегда отрицательное, т.
е, если всегда й,(». 54 нАЧАло ВОзмОжных пегемещений Итак, равновесие будет устойчивое, если центр тяжести занимает самое низкое из возможных для него положений. Наоборот, равновесие будет неустойчивое, если центр тяжести занимает самое высокое из возможных для него положений. Это простое правило позволяет во всех случаях без труда определить характер равновесия системы, подверженной действию силы тяжести. Заметим, что в прежнее время очень часто в элементарных курсах предлагали следующее правило: равновесие устойчиво, если точка опоры выше центра тяжести, и неустойчиво, если точка опоры ниже центра тяжести.
Такое правило неверно; достаточно указать ва известную игрушку «ванька-встанька», чтобы видеть явное противоречие этому правилу. 23. Примеры устойчивого и неустойчивого равновесия тяжелых систем. 1. Дверь (фиг. 28), петли которой расположены по наклонной линии. Очевидно, при закрытой двери й Фиг.
ЗО. Фиг. 29. Фиг. 2Р. центр тяжести ее О занимает самое низкое возможное для него положение. Следовательно, это будет положение устойчивого равновесия. Такая дверь всегда сама закрывается. 2. При расположении же линни петель, как па фиг. 29, получается обратное. Когда дверь закрыта, центр тяжести ее б занимает самое высокое возможное для него положение; следовательно, это положение неустойчивого равновесия.
Такая дверь всегда стремится открыться. пгнмввы гстойчивого и ивгстойчивого гавновасня 55 3. При устройстве игрушки, называемой «ванька-встанька», должно быть выполнено следующее условие (фнг. 30); центр тяжести 0 должен лежать ниже центра С шаровой опорной поверхности. Тогда при наклонении игрушки центр тяжести повышается.
4. Рассмотрим равновесие однородного тяжелого трехосного эллипсоида, положенного на горизонта.чьную плоскость. Если он прикасается к плоскости концом своей малой осн, то центр тяжести его занимает самое низкое возможное для него положение, и равновесие устойчивое, Если точка касания лежит на конце большой оси эллипсонда, то центр тяжести занимает самое высокое возможное для него положение, н равновесие неустойчивое. Если эллипсоид прикасается к плоскости концом своей с р е д н е й оси, то равновесие его устойчиво для некоторых перемещений и неустойчиво для других перемещений, 5.
Поверхность тюкелой жидкости, налитой в сосуде, должна быть горизонтальна, потому что прн этом условии центр тяжести жидкости занимает самое низкое возможное для него положение. Действительно, всякое отступление от горизонтальной поверхности АВ (фиг. 31), например замена ее поверхностью аЬЫ, влечет за собой повышение центра тяжести; прн такой замене часть жидкости с1Ы заменяется тзкнм же объемом аЬА, но расположенным выше. С 0 Фиг. 32 Фнг.
31 6. Если в сосуд налиты две жидкости разной плотности, то поверхность раздела межлу ними СВ (фиг. 32) должна быть горизонтальна, и более легкая жидкость долзкна быть вверху. Такое расположение дает самое низкое возможное положение центра тяжести, т. е, представляет положение устойчивого равновесия. Если же при горизонтальной поверхности раздела жидкостей более тяжелая из них расположена вверху, то мы НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ получаем неустойчивое равновесие. Действительно, такое размещение дает самое высокое возможное положение центра тяжести втой системы. 7, Обратимся к вопросу о равновесии твердого тела, погруженного в жидкость. Применим и здесь то условие, что в положении устойчивого равновесия центр тяжести занимает самое низкое возможное для него положение: Здесь имеем систему, состоящую из совокупности погруженного твердого тела и воды„ наполняющей некоторый сосуд; общий центр тяжести атой системы должен занимать самое низкое положение.
Это условие, примененное к вертикальным поступательным перемещениям погруженного тела, даст иам принцип Архимеда, ВТОРАЯ БЕСЕДА РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ 24. Плоские механизмы. Мы будем рассматривать только плоские механизмы, т. е. такие, в которых все части движутся в одной п той же плоскости'). Этим ограничением мы лишь немного суживаем область нашего рассмотрения, так как большинство употребительных механизл|ов относитсн к разряду плоских. Из числа часто применяемых механизмов только винт, винтовые колеса, конические колеса и шарнир Гука не будут включены в наше рассмотрение, В то же времн будем считать, что все силы, действующие на механизм, расположены в одной плоскости, в плоскости движения частей его.
При изучении механизмов будем смотреть на них с точки зрения, установленной Репо; именно, будем рассматривать механизм как замкнутую кинематическую цепь, одно из звеньев которой неподвижно. Тзкое включение в механизм неподвижной части, т. е. устоя или рамы машины, оказалось очень плодотворным. С этим взглядом связан прием о б р аще н и я механизмов; из данной кинематической цепи можно получать несколько разных механизмов, часто вовсе друг на друга непохожих; для этого нужно делать неподвижным тот илн другой член цепи.
Очевидно, число разных механизмов, получаемых из одной цепи, определнется числом ее звеньев. Примеры кинематических цепей, которые мы будем рассматривать, представлены па фиг. 33, 34, 35, Фнг. 33 изображает шарнирный четырехугольник; можно сделать неподвижным любое из четырех его звеньев а, Ь, с, и'; таким приемом получаем четыре разных механизма из этой цепи. В Конечно, к этому случаю легко привести и тот, когда зсе точки механизма движутся не в олной и той же плоскости, но в параллельных плоскостях, РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ На фиг. 34 представлена цепь, применяемая в паровых — л и с( — направмашинах: а— — кривошип Ь вЂ” шатун, с — ползу, р ено с) то лающая лине йка. Вслп сделаем неподвижным авен елая не- получим механизм о ы а и.
и обыкновенной паровой машины. Д Ь фиг. 33. Фиг. 34. о в жным звено Ь получим механизм паровой машины с качающимся цилиндром. Прв неподвиясности а нли с получаем другие замечательные механизмы. Фиг. 35 представляет ннверсор Липкина. В втой цепи е звеньев а Ь ... Ь.
Обыкновенно делается неподвижным звено Ь, тогда точка А описывает прямуго (если длина д' равна Ь) пли дугу е круга (если д не равно Ь). а Ь Вместо Ь можно сделать неподвижным любое из рр остальных звеиьен; тогда е получим разлячные другие У механизмы. Все механизмы, которые фиг. 35. мы рассматриваем, представ- ляют системы с полными связями, илн, другими словами,— системы с одной степенью свободы, т. е. они обладают следующими двумя свойствами: а) каждая точка системы движется по совершенно определенной граекторин; б) когда назначено перемещение о д н ой т о ч к и системы, то этим вполне определяются перемещении остальных ее точек.
25. Мгновенный центр вращения. Теорема Шаля. Все части наших механизмов двнжулся в одной и той же плоскости, а лвижение неизменяемого тела, параллельное неко- . -- * ..., ш-"!, *.*., ррр ° ° ° . ° °;. р- ° ° ° раньше трудов 1!!аая,а именно в мемуарах Ивана Бернулли и Эйлера. Зачатии этого учения можно найти даже у Аристотеля, в его «Ме- ханических проблемах».
59 МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР ЗРХЩЕННЯ будем руковолствоваться при дальнейших выводах. Как известно, теорема эта заключается в следующем. Всякое бесконечно малое движение неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как вращение около некоторого мгновенного центра. т / / / (! / О Фиг. 36. Напомним доказательство этой основной теоремы кинематической геометрии, Докажем, что если имеем два произвольных положения /' и П какой-нибудь фигуры в ее плоскости (фиг, 36), то эта фигура может быть переведена из первого положеияя во второе с помощью вращения около некоторого центра. Очевилно, достаточно показать справедливость этого для двух каких.нибудь точек фигуры, например А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
