Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пряменение золотого правчла. С помощью золотого правила мы сей ~а« же получаем известныз условия равновесия для многих машин в наклонной плоскости, клина, винта, зубчатой передачи и т. д. Не останавливаясь на простых, всем известных случаях, уках«еи иа коленчатый пресс (фаг, 22). Главную часть его составл»ет шарнирный ромб АВСВ; точка А неподвижна, н при сближении шарниров В и С получается движение книзу точки О и ирп этом — сжатис прессуемого предмета. Для сближения начало нозможных пагемгщвний шарниров В и С служит впит Е, который проходит через гайки, соединенные с этими шарнирами; винтовые нарезки н этих двух гайках пм ют противоположное направление.
Для получения требуемого действия остается только вращать винт Е помощью колеса Р. Здесь имеем две внешние силы движуи[ую Р, которая вращает колесо Г„и сопротпвленн Я скияаемого предмета. При поворачивании колеса па бесконечно малый угол ы перемещение то~хи приложения силн Р равно ый (Й вЂ” радиус колеса). Если шаг винта равен р, то ири поворачнвании винта па целый оборот ка кдая гайка пройдет путь р и гайки сблизятся на величину 2р. Прн позора шванпи жз на угол ы сближение будет меньше в отношении,—, т.
е. окажетсн равным ' йа' Р— (1) Зная это сближение, найдем перемещение точки с). Для этого обратимся к фиг. 23; здесь стороны нашего ромба обозначены через 1, длины диагоналей — через Ь и Ь и угол ЛВС— через а. Мы получаем. гг=2~эша, б = 21 соз а. пгинцип отнеедьиня 43 Дифференцируя э!и выражения, мы найзем бесконечно малые возможные перемещения, !Уй=2(сова!И, Ю= — 21мпа!та. Отсюда получаем И Ж! = — —, !а а ЗдеСь знак минус означае!, что когда диагональ б уменьпшется, диагональ !! увеличивается, и обратно.
Вставим сюда вмссго !т(! прежде полученное выршкение (1) для д сближении точек В и С; тогда П)! представит вертикальное перемещение точки О н будет равно и ! уй=р — —. х !еа Поэтому условием равновесия, выражающим, что силы О и Р обратно пропорциональны соответству!от!им перемещениям, будет — = — п1йа= — "(на.
О ага Р пв р При постепенном сжиманпи прсссуемого фнг 23 предмета угол а будет увели шваться, и О вместе с тем будет расти о!ношение —, т. с. при постоянной Р' работающей силе Р бут ! постепенно увеличивагься сжимающая сила сс. Именно эго и чребуется ир! всех работах по прессованию. 17. Принцип отвердения. Для вывода условий равновесия систем (жидких тел, гибких нитей и т. д.) часто поль. зуются принципом, который заключается в следующем; Если система находится в равновесии, то мы можем предположить, ч го ш а система отвердела и сделалась вполне жесткой, нсизиеняемой; равновесие при агом нс будет нарушено. Предположив отвердение системы, мы можем прим.
нять к ней уравнения равновесия твердого тела. Таким образом к вопросам о равновесии различных систем применнютсн законы равновесия простейшей системы — неизменяемого твердого тела. начало возможных пвгвмвщвний Э тот принцип представляет частный случай более общего принципа, также применяемого для разыскания условий рав- новесия, а именно, следую- а а' щего: Если система нахолится 9$ гй в равновесии, то зто равновесие не наруппп сн введе« Ь в нпем новых связей, т. е. но- Р вых стеснений, ограничивающих иозможныеперемещении. Как пример приложения принципа отвердения приведем известное рассуФнг. 24.
жденне влементарной гидро- статикп (фиг. 24). выделим мысленно часть жидкости, огршшчснную поверхностью аЬсА и прсдполо кии, что жидкость отвердела; равновесие при агом нс нарушптсж Следовазельно, давления, производимые жидкостью иа поверхность аЬсс~, уравновешиваю~ вес Р отвердевшей части. Позтому зти давлешш должны быть таковы, что равиодействующаи их равна и противоположна силе Р. Другой пример (фиг. т 2о): имеем тяжелую гибс кую вить ЛВС, подвешена Т ную в точках А и С. Вы«« 2 лелпм какую-нибудь часть е ее аВг, для чего нужно .сй~, ~ сделать мысленные разрезы в а и с и заменизь « имегощуюся здесь связь частей нити силами Т,, Т„ Фиг. 25.
которые называются натяжениями нш п и идут по направленпк~ касательных к нптп в точках а, с. Этн две силы уравиовешпвшот веса «,«,... частей нити, лежащих между а и с. Теперь предположим, что нить отвердела, и применим к ией условия равновесия твердого тела. Прежде всего, имея дело с твердым телом, ны можем заменить параллельные силы «, р, ... одной равнодействующей Р, кото- РАВнодействующие системы спл рая найдется по известным правилам.
Тогда мы имеем три силы Р,'Г„Т„лежащие в одной плоскости и взаимно уравновешивающиеся на твердом зеле. Как нзвссгпо, э~п трп силы должны сходигься в одной точки, т. е, Р должна проходить через точку пересечения продолженных Г, п Та. Затеи, если три силы уравновешиваются на твердом теле, ~о, откладывая их одну за другой по нх направлениям, мы должны получить замкнутый треугольник. Поэтому отложим величину Р по И, через А проведем прямую, параллельную Т„а через 1 — прямую, параллельную Т„и найдем ~очку гп не~речи этих линий. Мы получаем треуголышк равновесия указанных сил; оарезок 1гл представпяег силу 'Г„а отрезок лги даст силу Та.
Принцип отвердения, как всякое частное условие равновесия, может бы~в получен из общего закона равновесия, т. е. пз начала возможных перемещений. Прп этом выясняется, в каких случаях и прп каких условиях может применяться принцип отвердения. С точки зрения начала возможных перемещений кажлое уравнение равновесия представляет собою выражение того закона, что сумма работ активных спл для некоторого перемещения, лознолясмого связями, равна нулю. Поэтому мы можем применять уранненпя равновесна тнердого тела к таким системам, для которых возможны такнс же перемещения, как для тверлого тела. Рслн связи снсгемы не дозволюог сй ияезь такве перемещения, ао нельзя к ней прямо применять уравнения равновесия тверлого тела. Но тогда можно угшчгозшть те связи, которые препятствуют указанным персмсщениям, заменить эюг связи силами н причислить силы связи к внешним силам.
Тогда получается возможносгь приложить к нашей системе уравнения равновесия твердого тела Мы так и поступаем в тех двух примерах, которые были приведены. В жидком теле, отделив часть его айсг1, мы заменяем связь ее с ос~альной жидкостью спламп давления. В гибком зеле, уничтожив связь в точках а, с, мы заменяем эту сввзь силами Т„ Т„ которыс причисляем к внешним силам. 18. Равнодействующие, или эквивалентные, системы Фмл.
Мы знакомимся с этны понятием прежде всего з статике твердого тела. Равнодействующими, плп экзивалентнымя, системамн, называются такие две системы спл, которые могут НАЧАЛО ВОЗМОжнЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ заменять одна другую без нарушения равновесия. Такое понятие об эквивалентности двух систем снл можно распространить и на любую механическую систему с произвольным числом с ~епсньй свободы. )тачало возможных перемещений ласт нам общее условие такой эквивалентности. Предположим, что в системе действуют активные силы, состоящие из двух групп, Р, О, Я..., н Ро Дп Дп... и находвщнеся в равновесии.
Пусть соответствующие пм проекции возмозкных перемещений будут' Р Чг ° ° РмЧ~ Тогда условия равновесия будут пмсзь форму: Рр+Ор+Рг+...+Р1Р, +О,д, +Ат,г,+... =О; (2) число их равно числу степеней сист мы. Вообразим себе ~акую новук1 группу внешних сил Р,,О,,КМ..., чго рабюта для возможных перемещений их точек приложения, ~.
е. работа РЕР,+ О.,)з-(-йзгз+..., равна рабе~с спл группы „Оп йп г. е. Поникпм, ч1о супгес~вую~ равсис~ва Рьн +Ю Ч +Л ° +... =Рай,+О,),+Рег,+ .. „(З) удовлетворяк1щиеся для всех агыможных персмещснпй Гругша сил Р.„О, Км... (А) может отличаться о1 спл Ро Я„РМ., как по числу сил в группе, так и ио величинам, направлениям и точкам приложении сил. Единственное гребованис состоит в выполнении условий (д).
Очевидно, мы можем в нашей механической системе заменить всю группу сил (В) новой группой (А), н равновесие прн том не нарушится, так как все условии, устаиавлнвае- ПРИМЕРЫ мые началом возмокиых перемещений, Г>удут попрежнему выполнены. Действительно, эти условия имеют форму (2), и такие ураннения будут попрежнему удовлетворены, только в них вместо суммы Р>р>+ с>>У>+й>Г>+... будет стоя>ь равная ей сумма 2Р2 + ч 222+ )~2Г2 + Итак,две группы спл эквиваленгны на данной системе, если работы пх для всякого возможного перемещения системы одинаковы. Вот вчем состоят общий закон эквиваленп<ости сил для любой механической системы.
Из него сейчас же получаются условия, определяющие эквивалентные системы спл для различных частных случаев. 19. Примеры. Начнем со случая свободного тверд о г о 2 е л а. Здесь имеем шесть степеней свободы, т. е. шесть различных неприводимых возможных перемещений трп поступательных перемещения по трем координатным осям и >рн вращения около трех координатных осей Для каждого из этих перемещений лвс эквивалсн>ные системы снл должны даваясь одинаковые работы. Всего получим шесть условий, разделяя>- шихся на две группы уравнений, по >рп в каждой группе.
Возьмем одно пз условий, относящихся к группе поступательных перемещений, например условие для перемещений по оси х, Рабе>а сил для такого перемещения равна величине самого перемещен>ш, умноженной па сумму проекций сил для оси х. Для равенства работ необходимо, чтобы эквивалентные системы спл имели равными суммы проекций иа ось х. Такие же условия получим и для двух других осей. Переходим к условиям для вращательных перемещений, мапрпмер для вращения около осп х 1>1>я выше 2>оказали ($ 12), ч>о рабо>а вншннпх сил для >акого перемещения равна произведению из угловой величины перемещения на сумму моментов сил опюс>п ельно осп х. Условие рав.нет ва > акпх работ для двух эквивалентных систем сил требует, чтобы обе системы имели одинаковые суммы морентов относительно оси к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
