Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для обоих случаев (фнг, 11 и 12) в!ожно формально писать, что происходит опускание груза на величину лр, но в случае фнг. 11 величина р положительна, т. е. действительно происходит опускание груза, а в случае фнг. 12 величина проекции и отр!щательна, т. е. получается отрицательное опускание, следовательно,'подъем груза. Расс!игривая все точки приложения сил Р, !2, Р, ...
н называя проекции перемещений ка направления этих сил через и, 4!, г, ..., а число ветвей веревки, оснащиваю:цих соответствующие блоки, через л,и, ..., получим, что результатом перемещения всех точек системы будет опускание груза и на величину суммы: Бслц такая суммз окзжется нс равной нулю, то это означает, что равновесие ие сущсстгует.
Условие, необходимое и достаточное для равновесия, заключается в том, что опускание груза и должно быть равно нулю для каждого воза!ожного перемещения, т. е. должно быть: лр+и!!1+... =О. Умножая на тг, получим: и!г р+лпт и+...=О. Ио так как лп=Р, ти=1,),..., то имеем услоние: Рр+ !',)д-!-... = О. Здесь каждзя активная сила умножается на проекцию перемещения; такое произведение есть работа силы для перемещения.
Поэтому наше условие заключается в том, что сумка работ активных сил для возможных перемещений точек их приложения должна быть равна нулю, А в этом и заключается начало возможных перемещений, содержание которого мы уже излагали, н которое, таким образом, доказано предыдущими рассуждениями. Изложенный прием доказательства начала возможных перемещений принадлежит Лагранжу' ). Я считаю это доказательство наилучшим и наиболее убедительным из всех прсдло>кен- !) Лагранж 1)Ъ, Аналитическая механика, том !, стр.
42 — 41. Москва, Гостсхизлат, 1959. дгггив докхзхтвльствх 25 ных доказательсгв начала возможных перемшценпй; сущность самого закона, значение возможных перемещений для равновесия, искшочение при этом всех сил связи, о которых даже не упоминается во время доказательства,— все этп основные черты начала с полною ясностью выступают во время доказательства. Также совершенно определенно видно, как нужно прилагать это обцее начало к частным вопросам, Но я должен прп этом упомянуть, что, высказывая такое мнение о лагранжевом доказательстве, я вхожу в противоречие с большпнством современных писателей о механике.
Обыкновенно упрекают это доказательство в недостатке строгости н дзиге иногда называют рассуждения Лзграшка не доказательством, а иллюстрацией начала возможных перемещений. Но дзже и противники рассуждений Лзгранжа признают гениальность его сообрюкенпй, находят их очень полезными для выяснения начала, Предоставим лицам, возражаюпгим против него, считать рассуждения Лагранжа не доказательством, а постулатом. По крайней мере, нужно сознаться, что это — постулат естественный и легко приемлемый.
Можно сказать, что если выбирать для нашла механики наиболее приемлемый постулат и сравнивать, например, закон параллелограма спл н начало возможных перемещений, то, конечно, нужно отдать предпочтение второму, как более приемлемому умом, Прибавим к этому, что когда на шло возможных перемещений установлено (т. е, шчн доказано илп принято в качестве постулата), зо из него можно уже строго вывестн все остальные законы равновесия, а в числе их и параллелограм сил, 9.
вкругие доказательства начата возможных перемещений. Существует совершенно другой прием доказательства; при нем исходят из законов равновесия сил, приложенных в одной точке, т, е., в сущности, из закона параллелограма сил. Зная равновесие точки, переходят к равновесию системы как совокупности точек. Можно отделить друг от друга точки, составляющие систему, т.
е. мысленно уи.множить связи системы и заменить их силамп связи, реакгпвиыми силами. Тогда можно рассматривать каждую точку отлельно. Для рзвиовесия точки необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая всех приложенных к ней сил была равна ну.тю. Но тогда и работа нлчьло Возможных пегемгщений этой равнодсйстную!цей для возможного переме!ценив гой же точки будет равна нулю. Л работа равнолейству!ощей равна сумме ' рабо~ составляю!цих, следовательно, эта последняя сумма тоже равна нулю.
Напишем такие уравнения для всех точек системы п затем исключим из них силы снизи. Тогда получим закон равновесия, в который пе входят силы связи. Бслп прп таком исключении получим начало возможных перемещений, то, очевидно, оно этим и будет доказано. Но, чтобы исключить силы связи, нужно хоти бы чтоипбудь знать о ннх. Необходимо сказать, в чем состоит связь двух точек, нужно определить, описать ее, и тогда исключение возможно. Если принять за определение идеальных связей отмеченное н поясненное примером связи, осуществляемой при помощи шарнира, свойство реактивных спл давать сумму элементарных работ при допускаемых связями перемещениях, равную нулю, то тем самым и исключаются все силы реакций.
В большом числе случаев связи можно подвести под следующие типы: а) расстояние между двуьш точками не изменяется; б) какая-нибудь точка системы принуждена прп своих перемещениях оставаться на определенной поверхности (на шаре, на плоскости и !. д.); в) лва тела, входящие в состав спс!емы, дол»п!ы непременно соприкасаться между собою. Для этих типов исключение снл связи делается без труда, и в результате получается начало возможных персч!е!пений. Полобным путем доказали начало возможных перемещений 'Фурье, Пуассон, а зз инни повторено то же докззательство в большинстве руководств по механике. Доказательство, изчоженное выше, предполагает известным закон равновесия спл, приложенных к одной точке. Можно таклю доказать начало возможных перемещений, принимая зз основание какой-либо другой частный закон равновесия.
По!!о»п!м, например, что нам известен закон рычага; пусть он доказан каким-либо сгюсобом, например одним пз приемов, применяемых в статике тверлого тела. Нрнннмая этот закон, мы с помо:цью его можем доказать начало возможных перемещен!Ьй длм лщ5ой системы. дгягие доказательства 27 Таким путем илет Фурье в одном пз своих доказатсльсчв '). фурье прежде всего заменяет все активные силы Р, (7, Я, ..., действуюп1пе в системс, грузами р, ч), г, ..., применяя для этого механизм, изображенный на фпг. 13. Лличчы плеч рычага аЬс подбираются тчкпе, чтобы возможиыс перемещения всех грузов р, чу, г, ... были одинаковы по величшчс. При рычажных преобразованиях силы изменяются обратно пропорционально плечам, а возможные перемещения изм лаются прямо пропорционально плечам.
Следовательно, при таких преобразованиях работа для возможного перемеще- о ния остается без изменения. А так как перемещения для всех грузов р, чу, и, ... одинаковы, то эти грузы пропорциональны возможным работам сил, Некоторые силы Р, (с, )ч",... лают положительную работу; отве- Р чающие им грузы р, чу, г, ...ч опускаются Фиг. !3. при возможных перемещениях. Другччс силы Р', О', К, ... дают отршюгсльнучо работу, а соответствующие пя грузы р', 7', г',, поднимаются. Всличппа опускания грузов первой группы такая жс, как величина поднятия грузов второй группы.
Вссгла моя но расположить рычаги п„отводные блоки ачсханизма таким образом, что все опускающиеся грузы р, с), г, ... придутся в одной точке. Тогда можно замснигь совокупность эгях грузов одним, равным пх сумме; обозна иыч его через 1[. То же можно слелагь и лля всех полыачающчхся грузов, которые исе запенятся одним грузом 11', равным их сумме. Нетрудно достигнуть того, по грузы Н и П' оулу г расположены т) См, г о и г1ег, Ь(бпчо!ге аиг 1а бч»11Ч«че в собрании сочийепий Фурье («Оси»ге» де роиг1ег», т.
П, стр. 477). Это — самая первая печатная работа Фурье (1798 г.) и единственный его мемуар, относящийся к области механики. нхчхло возможных пегих>ещений 28 на одном уровнс. Тогла мы пх соелнппм с помощью горизонтального рычага, точку опоры которого необходимо расположить посредине его длины, так как повышение одного конца равно ионпжепшо другого копна. Теперь равновесие всей нашей системы приводится к равновесию последнего горизонтального рычага. Но он равноплечпй, слеловательно, грузы П и П' лолжны быть равны между собою, илп иначе П вЂ” П'=О, Умнохп<м обе час>и равенства на величину возможного перемещения а, олинакового для всех грузов р, <1, ..., Р', <т',...; кроме того, заменим П и П', соответствующими суммамп отдельных грузов.
Тогда предыдущее уравнение получает впл: (р+ д+ г+...) х — (р'+ <у'+ г'+...) в = О. Очевплно, оно в>яран<ает собою начало возможных перемещений. Это доказательство интересно как указатель тесной связи нашего начала с машинами и механизмами разного рода. Само начало нозможных перемещений выросло на почве изучения машин, н следы этого пронсхожления видны во многих доказательствах начала. В заключение приведем е:це одно соображение, убежлающее нас в справслливостп иа шла возможных перемещений, Противоречие с этим началом неминуемо повлечет за собон> противоречие закону сохранения энергии, А так как изучение нвлений природы установило в нас твердое убеждение в общности закона сохранения энергии, то, следовательно, получается хотя не прямое, но, тем не менее, вполне уГ>едительное, поттвержденпе начала возможных перечещений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
