Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

ПодоГ>ные же два уравнения получим для осей у, г. нлчхчо Возможных псгеывг![гний Итак, необходимые.и досгаточныс условия для того, чтобы две спсаемы сил, приложенные к свободному твердому телу, были зквивалентпьпш, заключаются в слсдуизщсм: Этн две спет.мы сил должны иметь одинаковые суммы проскций и одинаковыс суммы момыпов для трех координатных осей. Возююм один из случаев связанного твердого т е л а. 11усть единственное перемещение, дозволяемое связями, есть вращение около некоторой оси. Эквивалентные системы долакны удовлетворя~ ь только одному условшо.

они должны давать одшиковые работы для ззого единственного перемен?ения, Г1озтому необходимо и достаточно, чтобы зти две системы сил имели одинаковые суммы моментов для оси, около которой связи дозсолян)т вращение. В виде примири приложения обьцсй теории об зквивалентиых системах сил ьюжно разобрать условия, при которых лве пары, ириложенныс к свободному твердел у телу, могут считаться зквнвалснтпьпш. Так же легко вывести условие, при соблаздсиип которого данная система сил, прилоятснных к свободному твердому телу, ьюжет бьп ь ааменспз одной силой. Как известно, зто условие состоит в выполнении уравнения йХ+Л? +ЖЕ- О, гдс Х, ?, Š— сумма проекций длиной системы с~л, а ь, М, Ф вЂ” суммы моментов их для трех координщных осей х, у, л.

Пользуясь той же общей теорией, сейчас докажем, что лара сил пе пожег быть замена олиой равнодействующей силой. В самом деле, рябо~и иьры для всякого поступательного движения равна нулю, а; к к к ргбота одной нз сил, составляющих пару, уни ~тожастся работой лругой силы. Между тем работа равнодействуюгцсй свлы не будет пулем для всякого поступательного движения. Следовательно, пара п сила не могут быть двумя зквшюлензными системами. В следующей беседе мы приведем еще несколько примеров приложения общей теории эквивалентных, т. е, равнодейсгау нищ.х, систем сгл.

20. Устойчивое н неустойчивое равновесие. Простейшим примером устойчивого рарновссия нам послужит тяжелый шарик, находящийся внутри чашки (фиг. 26, /), Нижнги точка чашки устойчиВОе н иеустойчиВОе Равновесие 49 А представляет положение устойчивого равновесия для этого шарика; если мы немного отклоним шарик пз этого положения и затем отпустим его, то шарик будет колебаться около положения А.

То же произойдет, если мы сообщим небольшой толчок этому шарику, когда он находится в положении А. Напротив того, шарик, расположенный, как на фпг. 26, 11, в верхней точке В выпуклой поверхности, находится в неустойчивом положении. Наконец, тяжелый шарик, лежащий иа горизонтальной плоскости, находится в положении безразличного равновесия. 1 11 111 Фиг. 26. Эти общеизвестные понятия о ха р акте ре равновесия нуждаются в некоторых дополнениях.

Вместо обыкновенной чашки, как на фиг. 26, предположим, что мы имеем дело с цилиндрической поверхностью; пусть на той же фигуре ВАС представляет направляющую этой поверхности, а образующей ее будет горизонтальная прямая. При отклонении шарика из А по направленшо такой образующей мы не ааметим в нем стремления вернуться к первоначальному своему положению, т.

е. будем иметь случай безразличного равновесия. При отклонении шарика по поверхности цилиндра для всех других направлений мы будем илееть случай устой шзого разновески. Итак, х а р а к т е р р а в и овесия может быть различным для разных наи р а в л е н и й отклонения от равновесного положения. Вообразим себе обыкновенное седло и поместим шарик в средней точке седла. И здесь характер равновесия будет различный для отклонений разного направления. При некоторых отклонениях шарик повышается; предоставленный самому 4 В. Л.

Кврпвчев 50 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ себе, он будет стремиться опускаться и вернуться к первоначальному положению равновесия, — мы будем иметь дело с устойчивым равновесием, При других направлениях отклонения шарик понижается, и тогда равновесие оказывается неустойчивым. Итак, и здесь характе р равновесия разный для различных направлений отклонения от равновесного положения. Положение равновесия вообще называетсн устойчивым, если оно устойчиво при отклонениях во всех возможных направлениях при условии достаточно малой величины этих отклонений п при достаточно малых начальных скоростях. Иногда характер равновесия изменяется с переменой величины отклонения от равновесного положения.

Так, для чашки, имеющей в разрезе форму фпг, 26, УП, положение шарика в А оказывается устойчивым для небольших отклонений или небольших толчков. Если же отклонения нли толчки велики, то шарик будет совсем выброшен из чашки и не вернется к точке А. Подобный случай иногда замечается при рассмотрении устойчивости судов на воде. Здесь приходится заннматьсн, главным образом, поперечными наклонениями судов и поперечными нх качаниями. Иногда оказывается, ч го судно, которое проявляет хорошую устойчивость при малых углах наклонения, делается совершенно неустойчивым прв больших углах наклоненяя, например при углах, ббльшнх 55е; при отклонении на такой угол судно должно будет перевернуться.

Это может получиться при известных условиях для плоскодонных судов. Заметим, что в практических конст рук пнях допустимы только случаи устойчивого равновесна, притом устойчивость должна соблюдаться для всех направлений отклонения. С технической точки зрения имеется существенное различие между равновесием устойчивым и двумя другими видами равновесии, "эти последние в технике даже и не считаются равновесием. 21.

Критерий для определения характера равновесия. Й1ы не будем разбирать вопрос о харакзере равновесна во всей его полноте п общности. Ограничнмсн несколькнмн соображениями, которым не придаем значения строгих доказательств, но онн хотя бы Отчасти разъяснят этот важный вопрос. опевдвлвнив хАРАктеРА РАВноввсия Вернемся к лагранжеву доказательству начала возможных перемещений. В нем фигурировал груз и, который один заменял и представлял собою все акгивные силы, приложенные к системе.

Мы рассматривали бесконечно малые перемещения, дозволяемые связями. В случае равновесия высота груза и не менялась при таких бесконечно малых персмепгеннях. Теперь предположим, что перемещения, — хотя и очень малые, но конечные, Опять мысленно перепробуем все перемещения, дозволяемые связями, начиная с положения равновесия, и будем следить ва грузом и. Предположим, что эта проба покажет следующее положение груза и для равновесного положения есть с а м о е низкое из всех других положений, занимаемых им при наших пробах.

Тогда мы можем утверждать, что это положение равновесия будет устойчивое. Если же при наших пробах окажется, что положение груза и при равновесии есть самое высокое из всех положений, занимаемых им при наших пробах, то тогда, естественно, что это полоигение равновесия неустойчивое. Попрежнему будем называть активные силы через а соответствующие им проекции бесконечно малых возможных перемещений через у, д, г,... Тогда, как мы видели в $ 8, вследствие таких перемещений получится пони кение груза, равное ну+а+..., т.

е. равное — (Ру+ф)+)сг+...). (4) Складывая эти величины для элементарных бесконечно малых перемещений, на которые можно разделить конечное перемещенве, мы получим в сумме понижение груза для конечного перемещения систсмы. Если оно будет всегда положительное, то равновесие неустойчивое. 4ч 52 начало ВОзмОжных пегвмвщений Предположим теперь обратное,— пусть выражение (4) отрицательное (это возможно, так как проекции перемещений р, у, г, ... могут быть отрицательными).

Такой результат укажет на повышение груза и при перемещениях, и следовательно, равновесие устойчивое. Конечно, можно было бы не обращать внимания на величину груза и и вместо выражения (4) рассматривать только множитель РР+ г.7г7+ Ог+ ° ° ° т. е. работу активных сил, Итак, Оковчательио получаем такой критерий для различения характера равновесия: Суммируем выражение элементарной работы активных сил, начиная от положения равновесия и кончая другим близким к нему возможным положением. Если эта сумма окажется положительной для каждого возможного перемсщения, то равновесие неустойчивое.

Если же она Отрицательная, то равновесие устойчивое. 22. Равновесие систем под действием силы тяжести. Чтобы показать, как приводится в исполнение наше правило Фиг. 27. для различения характера равновесна„рассмотрим следующий важный частный случай: все активные силы, действу1ощие иа систему, суть силы тяжести. Пусть А, В, С, ...

(фиг. 27) будут места расположения отдельных грузов Р~, Ра, Ра,...,' бесконечно малые возможьые нхвноввсин систвм под двйствиям силы тяжястн 53 перемещения их пусть будут Аа, ВЬ, Сс... Проведем какую.иибудь горизонтальную плоскость Н и будем отмечать высоты хо х„х„... грузов над этой плоскостью, Проекции бесконечно малых перемещений на ось х обозначим через (х1 ажз Нхз Тогда сумма работ всех грузов для этих перемещений будет равна — (Рфх, + Раг)х, + Рфх, +...). Здесь поставлен знак минус потому, что направление осн х противоположно направлению силы тяжести; следовательно, при увеличении высоты х получается отрицательная работа. Так как Р„Рм ...

Характеристики

Список файлов учебной работы