Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Дли обширной области систем необходимое и достаточное услонне равновесия состоит в том, что сумма работ активных приложенных сил В В мостах часто встречаются односторонние связи; например, конец моста положен па опору и к пей не прикреплен. Здесь происходит замыкание силой — значвтельпык весом моста.

Но н двусторонние связи так!ке применяются в мостогом леле, например в консольных мостах: ковсц консоли лежит на опоре, препятствующей ему перемешаться вицз, а для устранения перемещения вверх юот конец притягивается болтамн к тяжелому фундаменту. начало Возков(ных пегамщценнй для каждого возможного перемещения системы должна быть равна нул ю. Таково содержание этого замечательного обобщения, заключающего в себе всю статику этих систем. Для правильного понимания этой теоремы нужно сделать некоторые пояснения. Мы уже указывали, что возможные перемещения, о которых здесь говорится, суть бесконечно малые перемещения, дозволяемые р связями системы.

Определня эти перемещении, мы отбрасываем величины второго порядка, и потому перемещения считаем прямолинейными, как это было указано в при- Я мере, изображенном на фнг. 4. А Работа приложенных сил есть Фнг. 7. так называемая элементарная работа, т. е. произведение следующих трех величин (фиг. Т): а) величины силы Р, б) перемещения а, в) косинуса угла а между силой и перемещением: Ра сова. Иначе можно оиределнгь эту работу как произведение двух величин: Р н а сова, т. е.

величины силы Р п проекции перемегцения на направление силы. Выражая начало возможных псремегцений в вышеуказанной форме, мы предполагаем, что все связи идеальные, пе представляющие трения и тому подобных сопротивлений. Такие связи не оказывзют никакого препнтствня возможным перемещениям. Отличительным свойством сил, развиваемых такими связями н называемых силами реакций связей, является то обстоятельство, что сумма элементарных работ этих снл при любом перемещении точек их приложения, допускаемом связями, оказывается равной нулю. Например, если связь состоит в том, что два тела, входящие в систему, соединены шарниром А (фиг.

8), то возникают две силы реакции Мг и М„равные по величине и прямо противоположные по направлению. Если йй начало возможных пвеамгщхннн шарнир совершит допускаемое бесконечно малое перемещение АВ=а, то сумма элементарных работ этих сил будет равна М,а соа и, + Ю,х соз па. Так как ДГ, == Ма и соз а1 = = — соз ям то М,а соз а, + Маа соз аа = О. Поэтому в нашей теореме говоритсл только об активных приложенных силах и умалчивается о силах связи. Если впоследствии пожеФиг. а. лаем рассматривать трение в соединениях частей, то нужно будет силу трения считать одной из внешних приложенных сил н присоелиннть ее к остальным внешним силам.

Также нужно присоединить к ним н силы вязкости, силы упругости и т. д., если онн действуют. 8. Доказательство Лагранжа начала возможных перемещений. Положим, что все активные силы Р, 1,1, К..., прилон<енные к системе в точках А, В, С,..., имеют общую меру т, которая содержится т раз в силе Р, л раз в силе Я и т. д. (при этом и, л и т. д. можно считать четными числамн).

Доказав нашу теорему для этого случая, мы без труда распространим ее и на случай, когда активные силы несоизмеримы между собою, т. е. не имеют общей меры; это распространение делается с помощью обыкновенных математических приемов для перехода от величин соизмеримых к величинам несоизмеримым. Все наши активные силы могут быть получены пли воспроизведены с помощью одной силы и, повторенной несколько раз. Фактически можно получить их с помощью одного груза, равного п, пользуясь известным' механизмом, называемым полиспастом (фиг. 9).

Чтобы получить силу Р, приложенную в точке А, поступим следующим образом: расположим обойму с подвижными блокамн А, и обойму с неподвижнымн блоками А, по направлению силы Р; Аа прикрепим к неподвижному предмету, а с помощью подвижной обоймы блока А, захватим точку А. Затем оснастим этот полиспаст ~ибкой веревкой; доказательство лхгглнжа 21 один конец ее прнкрепнм к неподвижной точке О, обведем веревку через блоки А„А, так, что между ними будет щ ветвей веревки; наконец, проведем веревку через отводной блок и на конце се повесим груз и. Если веревка вполне гибкан и если в блоках вовсе нет трения, то на точку А будет действовать сила, равная ги раз и, т.

е, заданная сила Р. Таким же образом но>кем получить и остальные силы гг, ..., причем для получения всех их можно воспользоваться одним грузом и н одной веревкой; нужно после-, довательно оснастить этой веревкой полиспасты, со- ~2 единенные с точками А, В, С,..., где приложены этн силы, переходя от одной точки к другой при помощи неподвижных отводных блоков, как это показано на фнг. 10.

Д! Окончив оснастку блоков, соединенных со всеми точками приложения актив- А ных снл, проведем веревку Р= гни через отводной блок К и на конце ее повесим груз Фяг. 9. и. Действием его веса будут вызваны все активные силы Р, О, й,..., приложенные к системе; он один заменяет их все, изображает всю совокупность активных дейсгвий на систему, которые стремятся вывести ее из равновесия.

Будем мысленно наблюдагь за этим грузом; это наблюдение даст нам возможность вывести условия равновесия нашей системы. Перепробуем мысленно различные возможные перемещения точек нашей системы. Пусть окажется, что при одном из них груз и оп ус к з ется. Тогда мы можем с уве. ренностью утверждать, что наша система не находится в равновесии, На самом деле, все активные силы заменены грузом и, который стремится опуститься; у нас оказалось, что есть такое возможное перемещение, при котором груз понижается.

По связи идеальные, т. е. не представляют никакого 22 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПВРЕМКЩВНИй препятствия возможным перемещениям. Очевидно, при таких условиях получится понижение груза и, т. е. получится движение, и равновесие будет нарушено. Предположим теперь противоположный случай, т.

е. что, пробуя мысленно различные возможные перемещения нашей системы, мы встречаем в числе их такое, при котором груз п п о д н и и а е т с я. Так как у нас связи двусторонние, то возможно и перемещение прямо противоположное, а при нем, очевидно, груз и будет онуска~ься; следовательно, наверное, есть такое перемещение, нрн ко~ором груз п опускается, н неизбежно равновесие буде~ нарушено, Итак, если пробы нам покажут, что есть воаможные перемещения, при которых груз п илн поднннаегсн или опускается, то мы заключаем, по система не находится в равновесии под действием заданных сил. Но если, перепробовав все возможные перемещения,мы увидим, что прн всех ннх наш груз п не поднимается и н е о и у с к а е т с я, а остается на прежней высоте, то мы должны заключить, что заданная совокупность сил уравновешивается в нашей системе.

Это следует нз того, что совокупность активных снл заменяется одним грузом и; стоят только первоначально уничтожить в нем всякую скорость, и он не вызовет никакого движения. так нак нет нн одного возможного перемещения, прн котором этот груз опускается. докхзхтальство лхггхнжх Выразим математическим языком то, что доказано в предыдущем параграфе. Д.и этого посмо>рим, как выражается опускание нашего груза и в зависимости от активных сил и возможных перемещений системы, рассмотрим одну из точек спстечы, например А, к которой приложена активная сила Р !фиг. 11), Пусть возможное перемещение точки А будет Аа; оно не должно непременно совпадать с направлением активной 4, г силы Р„так как это перемеще3 Р Ь Я Фнг.

!2. фиг. 1!. ние определяетсв сааза>ш системы. При передвижении точки Л в а расстояние между блокамп измени>ся, и с точностью до величин второго порядка это изменение представится длиной АЬ, т. е. проекцией псремешенця Аа на направление силы Р. Эту проекцшо назовеч букво>о р. Прп нашем переме>ценив расстояние блоков уменьшаегса на >ч, и если между блоками веревка проходит п раз, то полная длина веревки, осиащивакь щей эти блоки, уменьиштся на лр.

<.ледствиеа! этого перемещения будет то, что груз и, повешенный на конце веревки, опустится на высоту лр. 3 !есь про кцна АЬ совиалает с направлением силы Р, и мы считаем ее положителы>ой. В случае, представленном иа фнг. 12, проекция АЬ=г> вдет противоположно силе Р, н мы будем считать ее отрицательной. Тогда результатом перемещения будет увеличение расстояния между блокамн, и на 24 НА'!АЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ оснастку пх понадоб!жся длина веревки больше прежней, т. е. при этом груз т! поднимается.

Характеристики

Список файлов учебной работы