Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Вот еще разряд спл, исчезающих нз этого уравнения, чем упрощается решение. Между тем, импульс силы, приложенной к неподвижной точке, не равен пулю. Также но обращается в нуль импульс той силы, которая перпендикулярна к перемещению. Следовательно, эти два разряда сил не исчезают нз уравнения количеств движения, Например, реакции неподвижных опор будут входить в этн уравнения явным образом. Поэтому уравнение количеств движения может быть прпменясмо для нахождения таких реакций, и в этом состоит сто значение для приложений. Уравнение живых сил для такой цели вовсе непригодно, так как реакцнп в него совсем не входят.
Вот, например, вопросы, для рсшс- Х ния которых следует применять урав- 6 нение количеств движения: а) В кинса ической теории г а з о в мы считаем, что давление газа на Фиг. 113, стенку сосуда получается Вследствие ряда ударов, производимых частицами газа на стенку. Для апределення такого давлении отделим часть аб (фиг, 113) от остального сосуда и приложим к ней удерживающую силу Х; она н изчеряет искомое давление Система 'наша будет состоять из этой части стенки и ударяющих в нее часпщ газа; к этой спстече прикладываем эа«он количеств движения по 182 ВАКОИ количестВ ЛВижения и зАкои жиВых сил направлению перпендикуляра к ОЬ. При этом силы, развивающиеся в местах удара частиц газа о стенку ОЬ, исключаются, так как это внутренние силы; нам не нужно знать нн величин, нп законов для этих сил.
Это исключение очень упрощает вывод, Как известно, в результате получается комбинированный закон Мариотта и Гей-Люссака. б) Скорость, с которой передается давление в твердом теле. Пусть на конце бруска 1фиг. 114) прилозгена сжимающая сила. Сжа- тие, производимое ею, передается по длине бруска постепенно, от одного конца к другому, с некоторою скоростью, которую желаем определить.
Положим, что по прошествии времени У сжатие будет передано до сечения сА. Применим закон количеств движения по направлению сжатия части бруска ОЬсг~ и будем рассматривать движение этой системы в течение времени ~. Здесь мы имеем одну внешнюю силу Р. Все же силы упругости, появляющиеся в ОЬсц' вследствие сжатия, исключаются, так как это— внутренние силы. Действительно, в начальный момент скорости всех точек этой части равны нулю, а потому равно нулю и количество ее движения.
Для определения количества движения в момент 1 надо вычислить скорости точек в этот момент. Так как сжатая часть движется как одно целое, то достаточно определить скорости точек в сечении ас. Пусть за промежуток времени О1 сз<атие распространяется на часть бруска длины йх.
Тогда по закону Гука сжатие этой части выразится формулой Р~ Еч где Š— коэффициент упругости, а а площадь поперечного сечения. Но это сжатие и есть тот отрезок, который сечение сп проходит в течение промежутка цг времени. Следовательно, скорость точек сечении с4 в момент 1 будет равна Р Их ЬВАУ ' нсключгннВ нензВестных пги состлВленнн уРлвненнй 183 При однороднои материале бруска скорость о распространения сжатия постоянна.
Поэтому длина х сн<атой к моменту 1 части бруска будет: х=о1, откуда л'х лг =' Масса рассматриваемой части есть рхо, где р — плотность материала бруска. Следовательно, количество движения рассматриваемой части в момент 1 будет Р лх хР рхо — — =р — о. Ет ах' Е Импульс внешней силы за этот промежуток 1 времени есть Р1= Р— О Следовательно, по закону количества движения имеем: хР Рх р — и= —, О откуда / Е т.
е. скорость распространения сжатия (или растяжения) равна корню квадратному из коэффнциента упругости материала, разделенного на плотность. в) Давление, производимое на сосуд жидкостью, протекающей через него (фиг, 115). Положим, что мы желаем определить величину этого давления по вертикальному направлению или, наоборот, д обратную искомому давлению вертикальную реакцию Х опоры, которая удерживает сосуд. Фиг 115 Здесь нужно рассматривать количество движения по направлению реакции Х. Все давления между текущей жидкостью и стенками сосуда представляют внутренние силы, которые поэтому исключаются из уравнения. Следовательно, избрав для решения нашего вопроса закон количеств движе- 184 закон коаичвств движения и закон живых сил нпя, мы избавляемся от необходимости разбирать все эти даваення и искать пх значения.
Нужно принял во внимание, что давление жидкости во время двпжеппя не всегда следует гндростатическому закону =4 Фнг. 11б. Фнг. 117. фнг. ИВ. (см, 8 38), поэтому, если бы пришлось рассматривать давления, то это повлекло бы за собою очень значительные усложненш1, а вследствие сложности выводов нередко в этом вопросе делали ошибки и приходили к невер- ным результщам. г) Применяя закон количеств движения, решают в гидравлике следующие вопросы: найти давление, производимое движущейся струей воды на прямую лопатку (рнг. 116, 117) нли на ковш колеса Пельтона (фиг. 118), нап найти реакцию вытекающей струи на сосуд, содержащий жидкость (фпг, 119), н т.
д. И здесь достигается исключение давлений между водою и лопаткой, или ковшом, пли сосудом. 77. Векторный характер закона количеств движения. Выводя этот закон, мы разлохснли движение на три координатные осн и рассма~ривалн отдельно каждую из трех проекций; подученное уравнение (50) относлтся к одной из ннх. Такое же уравнение мы можем написать и для двух других координатных осей, и вообще для любого постоянного направления, причем в каждом из таких уравнений величины шЪ", шов будут представлять собой проекции количества движения точек системы на это направление, а Р— проекцию снаы на то же направление. Иначе обстоит дело с живой силой.
Из форяуд (51), (52), (53) н (54) видно, что живая сида,~~как ввктогный хлглктвг злконл колнчкств двпжхнзя 185 величина, равная работе силы, не имеет направления в пространстве (потому что работа нс обладает направлением), и в етом заключается еще одна чер~а различия между уравнением количеств данн<ения п уравнением живых спл.
В первое входят величины, нме<ощне определенное направление; количества движения суть в е к г о р ы. Кем<ау тем, живая сила не есть вектор; она относится к разделу с к а л я р о в, величин, не имеющих направления. Для избежания недоразумений заметим, что можно было бы вывести уравнение количеств движения так же, как мы выводили уравнение живых сил, т. е, ие разлагая криволинейное дни<кение па три прямолинейных, а рассматривая полную Величину скорости. Известно, что произведение массы на ускорение равно силе, т.
е. глто =Р где чо есть ускорение. Но так как полное ускорение есть предел отпой<ения г е о м е т р и ч е с к о й разности скоростей к соответствующему промежутку времени, прн условии, что промежуток времени с<ремптся к нулю, т, е, э' — н <гн то= йт ы О м «г то можно иаписат<и т — =Р. ле лт умножая его иа «< н интегрируя в пределах от нуля до 1, получим для одной материальной <очкп: т Ь' — то„= ( РаУ, о (56) (57) причем в левой части (56) стоит ум<е геометрическая (векторная) разность количеств движешщ, а в правой — геометрическая сумма всех злемеитарных импульсов за промежуток времени от нуля до ~. Написав такое уравнение для каждой точки системы и сложив зтп уравнения, получим: 186 ВАкои каличестВ ЛВижения н ВАкОЯ жиВых сил Геометрическая сумма количеств движения всех точек системы в данный момент называется количеством движения системы; что же касается выражения ~ Рг11, стоящего под знаком интеграла в правой части (57), то оно представляет собой геометрическую сумму элементарных импульсов всех сил, действующих на точки системы.
Но так как в сумму Ч~~Р вхолят все как внешние, так и внутренние силы, действующие на точки системы, причем внутренние силы попарно равны и противоположны, то внутренние силы из этой суммы исключаются н остаются только внешние; поэтому правая часть (57) есть сумма элементарных импульсов внешних сил. Уравнение (57) выражает собой теорему: к о л и ч е с т в о движения, приобретенное всей системой (в геометрическом смысле), равно геометрической сумме импульсов, сообщенных внешними силами. 78. Сохранение количеств движения.
Важный частный случай получается, когда имеем систему, на которую не действуют внешние силы, Тогда, так как внутренние силы исключаются, уравнение (57) получает вид: ~~» л»к — ~~» глФЗ» 0» или ~ш$~=~ »ИФФ т. е. количество движения всей системы не изменяется с тече наем времени; оно сохраняет свою начальную величину. В этом состоит з а к о н с о х р анен ия количеств движения.
79. Пример приложения закона количеств движения. Разберем до конца вопрос о давлении, производимом на сосуд водой, которая протекает через него. Примем следующую постановку задачи: вода течет по трубе ЛЬс»з' (фиг. 120) непрерывной струей, заполняя сплошь всю трубу, притом движение у с т а н о в и в ш е е с я. Этим термином обозначают такое движение, при котором в каждой точке внутри трубы явления не переменяются с течением времени, а остаются постоянными, т.
е. в каждой точке давление, а также величина и направление скорости остаются неизменными. Пусть через каждое сечение трубы протекает в секунду объем воды 1,». Труба сделана неподвижной посредством прикрепления ее к опоре. Требуется определить вертикальное пгимвг игиложвния закона количеств движяния 187 давление, производимое трубою на опору, или, наоборот, найти обратную этому давлению реакцию опоры Х. Вода вступает в трубу в верхнем отверстии ее аЬ (площадь которого назовем г,) со скоростями Ую направленными перпендикулярно к аЬ и наклоненными к вертикали подуглом аа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
