Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Закон инерции не иллеет сюда никакого отноиления. 88. Устойчивость движения полюса. Скорость полюса появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением сил, и величина этой скорости пропорциональна этим силам (точнее, их момеиталл). Перемещения же определяклся скоростями и временем. Поэчоллу удары и другие тзк называемые ллгновенные силы, т. е. силы, действуилщие в течение очень короткого времени, могут только очень мало изменить движение полюса.
Другими словами, зто лвлокенпе обладает свойством устойчивости: оно мало изменяется от действия мгновенных сил ударов, сотрясений. НО эта устойчивость отличается от всем известной устойчивостя при равновесии. Когда тело, находящееся в устойчивом равновесии, получит удар нли толчок, то оно начинает колебаться взад и вперед около равновесного положения; колебания этн могут продоллкаться довольно долго после прекращения толчка. На движение же полюса толчок оказывает влияние только в течение короткого времени своего действия, и колебаний не получается; как го4 закон мОментОВ кОличестВ дВижения только прекратится толчок, сейчас же прекращается н его влияние; оста>оснихся явлений, колебанпй, представляющих как бы воспоминание о полученном толчке, полюс не показывает.
Нужно привыкнуть катим особенностям движения полюса, которые кажутся парадоксамн, потому что на движение полюса часто ошибочно смотрят как на движение материальной точки. От такого неправильного Взгляда происходит кажущаяся парадоксальность и движений волчка, гироскопа и тому подобных приборов; онн как будто бы нарушают все законы динамики. ОДИННАДЦАТАЯ БЕСЕДА ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ. ГИРОСКОПЪ| 89. Движение твердого тела, имеющего одну иеподвяжиую точку. Мы рассмотрим здесь случай движения, представляющий поучительный пример приложения закона моментов количеств движения. Все сложные п разнообразные явления такого движеш>я хорошо уясняются а освещаются нашим законом.
Предварительно напомним основную теорему о движении твердого тела, которое имеет неподвижную точку: Всякое бесконечно малое движение такого тела есть непременно вращение около мгнов е н ной о си. Эта ось непрерывно изменяет свое положение как в теле, так н в пространстве. Теорема эта может быть рассматриваема как обобщение теоремы ГНаг>я, относящейся к плоскому движению. Здесь мы имеем движсние не плоское; одна точка тела неподвижна, и всякая другая точка должна во все время двнженпя не измекять своего расстояния от неподвижной, следовательно, должна оставаться на поверхности п>ара, имеющего центром неподвижную точку.
Итак, здесь движение не плоское, а сферическое. Вообразим на поверхности указанного шара любую фигуру и применим к ней буквально все те рассуждения, которые мы налагали в 2 25 для плоского движения; получим то обобщение, которое мы только что высказали. Бесконечно малое вращение около мгновенной осн всегда можно разло>кать на три вращения около трех взаимно перпендикулярных осей. угловая скорость при етом заменяется тремя составляющими угловыми скоростями, совершенно также, как некоторая сила заменяетси тремя составляющими силами.
206 пгиложкнпя закона момзнтов количеств движения 90. Главные осн. Мы уже объяснили (см. 9 49) понятие о главной осп твердого тела. Проведя в нем три координатные осн х, у, г„составим произведение из массы частицы тела лт на две ее координаты хг, уг; затем сложим такие выражения для всех частиц тела. Получатся суммы ~тлхг, ~э~ ~глуг. Если обе эти суммы равны нулю, то ось г называется главною осью тела для начала координат. Таково определение. Главные оси обладают замечательными свойствами, из которых отметим следующее.
Проведем через опору перпендикулярно к оси вращения Ог две координатные осп Ох, Оу. Тогда моменты касательных снл инерции относительно осей Ох, Оу равны пулю, если Ог— главная ось для точки О. Момент касательных спл инерции относительно оси вращения Ог, как мы внделц (Э Зб), равен произведению углои'м ного ускорения — на момент пнерщгп У относительно осн Ог. лс 91. Момент ко чичеетв двлжзнмя. Касательные силы инерции вращения около осп представляют векторы, приложенные к каэкдой частице тела и обладающие следующими свойствами: а) эги векторы перпендикулярны к радиусу г; б) величины эгих векторов пропорциональны массе частицы тл и радиусу г, т, е. равны произведению из тлг на некоторый лм множитель, о д и н а ко в ы й для всех частиц тела, а именно: — „.
Очевидно, здесь не важна величина или алгебраическое выражение этого множителя, а имеет значение только одинаковость его для всех частиц. Тэк же несущественно то, что здесь идет речь о си л а х, а не о каких-либо других векторах. Статическое выражение момента и условии равновесия моменгов представляют часто геометрические теоремы, в которых сила фвгурирует как геометрический линейный отрезок, т. е. как вектор, и сущность понятия о силе здесь не при чем.
Поэтому все, чэо толью что было сказано о касательных силах инерции, можно приложить и к любому другому вектору, обладающему теми же свойствами, т. е. перпендикулярному к радиусу и пропорциональному произведению массы на радиус. Это замечание позволяет нам приложить к моментам количеств движения то, что мы знаем о касательных силах помнит количеств движения 207 инерции. Прп вращении около осн Ог с угловой скоростью а количество движения частицы лг будет перпендикулярно к радиусу г и равно скорости этой частицы мг, умноженной на массу, т. е. втг. Поэтому, если ось Ог есть главная ось, то моменты количеств движения относительно перпендикулярных к ней осей Ох и Оу будут равны нулю, момент же количества движения относительно оси Ог будет равен произведению Ум из момента инерции .г для оси Ов на угловую скорость вращения м относительно этой осн.
Итак, для главных осей мы получаем очень простые выражения момента количеств движения. Вот почему, изучая движения твердого тела, прежде всего нужно определить его главные осн, чтобы получить наиболее простые выражения. Этим упрощением всегда можно воспользоваться, так как в каждой точке тела наверное имеются три гпа вн ые оси, взаимно перпендикулярные между собой (см. Э 50).
Пусть координатные оси х, у, л, провеленные через неподвижную точку О нашего тела, будут главные оси. Моменты инерции относительно этих осей обозначим через .~ю уу, Элементарное движение тела есть непременно вращение около некоторой мгновенной оси. Угловую скорость этого вращения разложим на три угловые скорости р, д, а по осям координат. Тогда полное количество движения любой частицы лг нашего тела представит равнодействующую пз трех количеств движении, соответствующих трем вращениям р, д, а. Момент количеств движения относительно одной из асей, например Ох, получим, складывая моменты трех отдельных слагающих вращений. Но, так как ось Ох есть главная, то получим, что для нее момент того количества движения, которое происходит от вращения д около оси Оу, равен нулю. Также будет равен нулю момент того количества движения, которое происходит от вращения а около оси Ов.
Наконец, момент того количества движения, которое вызывается вращением около оси Ох, будет равен У„р. Складывая этн моменты, получим, что полный момент количества движения для оси Ох равен /„р. Полобно этому получим для осей Оу, Ол моменты количеств движения е' д, 1га. 208 пРилОжениЯ злконл моментОВ колпчестВ дВижений Так просты оказываются этн выражения при выборе для коорлинатных осей направлений главных осей. Прп всяком другом направлении координатных осей получились бы гораздо более сложные формулы.
92. Ось (вектор) момента количеств движения. Мы можем теперь в точности указать этот вектор для твердого тела, имеющего неподвижную точку, и, таким образом, получить вполне конкретное представление об этом механическом понятии. е Проекции этого вектора на оси х, у, г (фиг. 127) будут: / р, У,~7, УР. Отложим эти отрезе ки один за другим параллельно осям, т. е. проведем ломаную лпншо Опас, и построим а равнодействующий вектор Ос. Это и будет вектор (плн ось) момен- Ь тов количества двпже- У в ния.
Конец его, точка с, Фиг. 127. будет полюс. Для сравнения нзобразнм на том же чертеже мгновенную ось вращения. Проекции угловой скорости вращения около этой осп на осп координат выше были нами обозначены через р, д, з. Сложим их геометрически, т. е. проведем ломаную линию ОИе~', стороны которой ОИ, г(е, ву параллельны осям х, у, г и равны величинам р, О, з.
Результат сложения будет равнодействующая Оу'; она изобразит направление мгновенной оси, Мы видим, что, вообще говоря, ось моментов количеств движения ие совпадает с мгновенной осью п может сильно от нее отличаться, Совпадение произойдет только тогда, если л / м 1г. е. когда все трп моменга инерции для трех главных осей ,равны между собою. Но такое равенство представляет редкий случай.
Если оси проведены через центр фигуры тела, то нто равенство выполняетси для шара, для куба; искусственно слгчлй высггого в~лщання около оси еигггы 209 можно подобрать много таких форм, лля которых это равенство выполняешься Для нпх ивленпя движения получаются в наиболее простой форме, Но в приложениях такие формы почти не встреча1отся, и обыкновенно ось люментов количеств движения нс совпадает с мгновенною осью. В приложениях мы почти всегда имеем дело с телами вращения, нмеющ гми определенную геометрическую ось фигуры. Мгновенная ось может заметно отличаться от осп фигуры, а также и от оси моисптоа количеств движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
