Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для этого вспомним, что наши уравнения получаются из принципа отвердения - и представляют условии равновесия сил, приложенных к твердому телу. А для равновесия твердого тела необходимо и достаточно выполнение ш ест н уравнений равновесия, Все остальные условия равновесия, как проекции на любую ось, так и моменты для любой оси, будут следствиями этих шести н не дадут ничего нового. Итак, наши законы †количес движения и моментов количеств движения в дают нам только шесть уравнений. Когда возможно интегрирование, т. е. если сумма проекций внешних сил и сумма их моментов заданы как функции времени, то мы с помощью этих двух законов можем получить не более шести интегралов уравнений движения. 85.
Момент количеств движения дая твердого тела, вращавшегося около неподвижной осн. Чтобы дать более определенное представление о новом введенном нами понятии смомент количеств дви кения», вычислим этот момент для твердого тела, врагцающегося около неподвижной оси; эту ось и примем за ось моментов. Каждая частица тела движется в плоскости, перпендикулярной к этой оси О. Пусть угловая скорость вращения будет еь Возьмем некоторую частицу тела, находящуюся на расстоянии г от осн и имеющую массу лг. Скорость ее будет мг, она направлена по перпендикуляру к радиусу г. Количество движения имеет величину (63) 199 ПРИМЕР а направление его совпадает с направлением скорости.
Момент этого количества движения относительно оси О получится умножением величины (56) на радиус г, что даст: мглг'. Суммируя этн величины для всех частиц тела, получим момент количества движения всего тела ~ч;~„щцз нли, по вынесении за знак суммы множителя е, общего для всех членов суммы: р = м~ гига.
Но сумма ~~~~~шг' есть не что иное, как момент инерции тела относительно оси О. Следовательно, в случае враРцения твердого тела около неподвижной оси момент количеств движения относительно оси вращения равен произведению из угловой скорости на момент инерции а тела для оси вращения. 86. Пример.
Цилиндр, который может вращаться около вертикальной оси 00 (фпг. 125), имеет иа гп поверхности винтовой желобок; в него Ф вложен маленький шарик лн Найти движение этой системы под действием силы тяжести (н прп отсутствии вред- 0 ных сопротивлений). Фиг. 125. Эта система имеет две степени свободы. Движение ее состоит в том, что шарик опускается по желобку со скоростью )г, а цилиндр вращается около оси с угловой скоростью м. Имеем две неизвестные Г, м, которые нужно найти.
Назовем угол наклона винтовой линии через р, радиуС цилиндра через а, его момент инерции относителено оси 00 через Л Применим закон моментов количеств движения относительно оси 00. Все внутренние силы, например давление между шариком и желобком, исключаются. Реакшш опор осд также 200 зАкОн моментОВ количестВ движения исключается. Никакие внешние силы, кроме тяжести, не действует. Но тя»сесть исключается из наищго уравнения, потому что она параллельна той осн, для которой берутся моменты.
Итак, все силы исключены. Следовательно. получается сохранение первоначальной величины момента количеств двикения. Пусть вначале наш прибор был в покос, т. е, начальная величина момента количес1в движения была равна нулю. Такое же значение должен сохранить момент количеств движения и далее, во все время движения. Выразим это условие уравнением.
Момент количеств движения цилиндра равен м./. Что же касается шарика, имеющего массу т, то он обладает скоростью И вдоль желобка и, кроме того, скоростью ам, так как участвует во вращении цилиндра. Горизонтальная скорость шарика будет по алгебраической величине ранна ма — Ь'соз р; на вертикальную скорость его не обращаем внимания, так как она параллельна оси 00 и дает момент, равный нулю. Следовательно, моментом количества движения, соответствующего горизонтальной скорости, будет: алг (ма — Усов <р) . Складывая его с моментом количества движения цилиндра и приравнивая сумму их нулю, получим; м (1 + гла') — ат У соз р = О.
(64) Вот одно из уравнений для нахождения неизвестных и, )г. Чтобы получить другое уравнение, нужно обратиться к закону живых сил. Мы докончим этот пример в тринадцатой беседе (стр. 268). 8У. Другая форма закона моментов количеств двчжения. Эта форма прежде называлась теоремой Резали; но потом оказалось, что она была найдена значительно раньше Резала английским математиком Гейуорд. Во многих случаях очень удобно применять закон моментов количеств движения именно в этой форме, которая дает очвнь простую и поучительную картину движения.
дгггля эогмл закона момвнтов количвств движения 201 Для получения такой формы заметим, что момент количеств движения, как всякий момент, можно изобрюкать в виде вектора. Подобно тому как в статике, момент силы относительно некоторой оси л откладывается в виде отрезка по осн л, так же будем поступать п с моментами количеств движения. Величины этих моментов относительно трех координатных осей обозначим р„, р, р, и будем откладывать их по а осям л, у, я (фиг. 126).
Результат геометрического сложсння этих трех величин представится на чертеже вектором ОА, имеющвм из- Ф вестное направление и величину; мы его будем называть полной величиной момента количеств движения системы, или, еще лучше, осью мо- Ь ментов количеств движения, О а также вектором моментов (ту количеств движения. Начало (ту этого вектора всегда совпадает с началом координат; у конец его, илн, иначе, конец оси, т. е.
точку А, будем Фнг. 126. называть полюсом. Прн движении системы вектор ОА, вообще говоря, изменяет с течением времени свое направление и величину, а поэтому полюс А движется, описывая некоторую кривую (фнг. 126). Рассмотрпм движение полюса. С этой целью напишем уравнения моментов количеств движения для трех координатных осей. Называя суммы моментов внешнвх сил относительно осей х, у, я через М„, М, Л1,, получим эти уравнения: тг)а — лг-' Мг — т' И вЂ” — г. (65) Говоря о движении полюса А, мы можем считать, что р„, р„, р, представляют к о о рди наты этой движущейся точки.
Производные этих координат, т. е. 4~а дну "аз нг ' йт ' лт ' 202 закон момкнтов количеств движкния иаображают с к о р о с т и движения полюса по направлению трех координатных осей. Уравнения (65) могут быть прочитаны следующим образом: Скорости полюса по координатным осям равны соответствующим моментам внешних сил.
Если мы будем рассматривать не проекции моментов сил М, Лт, Лч, а полный момент снл, т. е. геометрическую ю г1 л сумму этих проекций, то можем истолковать уравнения (65) в форме следующей теоремы: Сцорость полюса для каждого мгновения равна по величине и совпадает по направлению С полным моментом внешних снл. В этом и состоит теорема Гейуорд-Резали.
Оказывается, что скорость полюса и полный момент внешних сил геометрически тождественны. Зная, как изменяется момент сил, имея картину этого изменения, мы буквально применяем ту же картину к движению полюса, предсказываем это движение. И обратно, зная движение полюса, найдя скорость этого движения, мы предсказываем величину и направление полного момента внешних снл.
Следует обратить внимание на эту картину движения и вдуматься в полученную теорему. Возьмем для сравнения движеняе материальной точки, масса которой равна единице. Оно зависит от силы, действующей на точку, а у нас движение полюса зависит о т м о м е н т а сил. Но особенное различие заключается в том, что при движении материальной точки цели шна силы и ее проекций дает величину ускорен ия движения (или его проекций).
Между тем, при движении полюса величина момента дает не ускорение, а скоростьь полюса; моменты снл равны скоростям полюса. Когда ьюмент сил равен нулю, то и скорость полюса равна нулю. Когда момент сил постоянный, то и скорость полюса постоянная, т. е. мы имеем здесь движение без инерции; спрекращением сил сейчас же прекращается и движение полюса. Чтобы Поддерживать это двюкеьве, необходимо постоянное действие сил. В этом состоит глубокое отличае движения полюса от движения материальной точки. Полюс не обладает способностью сохранять свою скорость после прекращения ряды. Можно сказать, что сила (или, точнее, момент сил) устОйчиВОсть движения пОлюсА 203 держит полюс в узде, не позволяет ему ни разбегаться, ни отставать. Полюс принужден в точности повторять изменения силы; его скорость точно Отражает, или копирует, эти изменения.
Представим себе, что мы нарисовали чертеж или диаграмму, изображающую последовательные величины н направления момента сил: эта самая картина будет изображать последовательные величины и направления скорости полюса. Положим, что мы разбираем, исследуем какой-нибудь сложный случай движения.
Делаем некоторое предположение, догадку относительно этого движения, н желаем проверить правильность этой догадки. Для этого определим движение полюса; если оно не вполне согласуется с изменением момента сил, то наша догадка неверна. Наоборот, согласие момента сил со скоростями полюса есть успокоительный резулыат. Этим приемом молино пользоваться при разборе сложных явлений, например движения гироскопов и т. п, 'Гаков смысл теоремы Гейуорд-Резала. Не следует удивляться тому, что мы имеем здесь движение без инерции. Полюс не есть материальная точка, снабженная массой; он изображает только отвлеченное представление, а теорема Гейуорд-Резала дает геометрическое описание явлений движения системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
