Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 42
Текст из файла (страница 42)
г) Подробнее о прецессии земной осн см. в книге: Розе г1. В., Динамика твердого тела. Ленинград, 1932, (Приль рад.) ДВЕ11АДЧАТАЯ БЕСЕДА ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ 104. Вывод закона площадей. Закон моментов количеств движения, служивший предметам двух предыдущих бесед, может быть представлен в другой форме, которая иногда очень удобна для описания некоторых механических явлений. Зта новая форма прежнего закона есть закон площадей. С понятном о п л о щ а д и, описываемой движущимся телом, мы встрстились в первый раз в механике материальной точки, разбирая движение планет вокруг Солнца.
По пер- рФ (~ Фиг. 148. Фиг. 149. вому закону Кеплера площадь рор' (фиг. 148), описываемая радпусом-зсктором ро', илущим от планеты р к Солнцу о, изменяется пропорпионально времени. Такое движение планеты примем зз тпп и посмотрим, нзсколько можно подойти к этому типу в общем случае двнжения. Для этого нужно прежде всего обобщить понятие о площади, описьиаемой движущимся телом. Если имеем плоское движенпс материальной точки (фиг. 149) от М к М', то, выбрав в той жс плоскости и р о и з в о л ь н у ю точку О, можем говорить о площади, описываемой точкой М около О, т. е. о секторе МОМ'.
Если у нас несколько материальных точек, 238 закон площлднй то нужно принять во внимание их массы, Условимся для каждой из них брать произведение сектора МОМ' на массу точки гл и за произведениеи этим сохраним название площ а ди, описываемой точкой около центра О. Если движение точки не плоское, то мы можем проектировать его на три координатные плоскости и рассматривать движение каждой проекции отдельно как плоское. Рассматривая, например, плоскость ху, будсм говорить о площади, описываемой около начала координат О. Точнее, будем говорить, что эта площаль описывается около оси Ог, псрпендикулярной к плоскости ху. Возьмем одну из таких проекций (фиг.
150). Начальное положение материальной точка есть М'(левая тачка фигуры); она движется по М'ММ", и мы рассматриваем площадь, описываемую около точки О. Положим, М что по прошествии времени г точка l массы гл приходит в М; тогда по нашему определенгно площадью, описанной за это время, будет произведение нз массы ьч на пло- 0 шаль сектора М'ОМ; это произвеФнг. !50.
денис обозначим буквою ы. Затем предполоягим бесконечно малое приращение времени дг; наша точка пройдет бесконечно малый путь ММ" (М" есть правая точка фигуры); описываемая ею площадь получит бесконечно малое приращение Ьм, которое представляется произведением из гл на площадь МОМ". Припомним следующее рассмотрение бесконсчно малого перемещения, часто лрименяемос в кинематике при изучении ускорений.
Движение ММ" рассматривается как составное из двух. Первое составляющее движение есть равномерное, идущее по касательной, с той скоростью Г, которую дзвжущаяся масса гл имела в точке М; в этом движении за врсмя Ьг проходится путь, равный 1~ Ы, нзображенный на чертеже отрезком ММ. Второе составляющее движение (сга называем девиацией) есть Д(М"; с точностью до величин второго порядка это движение можно считать равноускоренным, с начальной скоростью, равной нулю, н с ускорением, равным 239 вывод закона площлдгй ускоРению А нашей массы гл в точке Л; путь !у!М", пройден- 1 ный в течение времени д1, будет равен —,—.
!г.у!я '). Рассматривая нашу фигуру, видим, что площадь М!чМ" есть велнчпна порядка выше первого, так аак все трп стороны се бесконечно малы. Также и площадь О!тЛ" — величина порядка выше первого, потому что сторона г!у)!" — зтоРого порялка. Поэтому, ограничиваясь величинами первого порядка, мы можем считать равнымп мшклу собою лве площалн: 1) сектор ОММ" и 2] треугольник ОМуч', и вместо сектора можно взять этот треугольник. Площадь его будет равна: — Ъ~!Ь! (! — перпенликуляр из О иа касательную МК). Улшожая пло- щадь на массу т, получим по нашему опредслсншо.
им= —, гн1'!.М. 1 Но произведение шр'! есть момент колпчсстяа движения относительно осп, проведснной через О перпендикулярно к плоскости чертеака. Называя его буквою р, получаем: Ью=- Р.М. 1 2 Делим на й! и переходим к пределу, т. е. постепенна приближаем б! к нулю. ум Ли Пределом дроби — будет производная †, следовательхг ле ' но, имеем. Ли ! 19 8) т, е.
производная от описанной площади по времени равна половине момента количества дни!кения. г) Этот способ рассмотрения сводится'к тому, что считают усни рение постоянныч на протяжении пути ММ". '!'огда здесь можно применить законы движения пол действием постоянной силы, т. е. законы параболического движения. 240 закон площлдвй Если имеем не одну движущуюся точку, а совокупность их — систему,— то для каждой точки можно написать уравнение, аналогичное (68), Складывая их, получим в левой части производную от полной площади, описанной всеми точками системы, а в правой части — половину момента количеств движения всей системы.
Следовательно, между описанной площадью и моментом количеств движения системы существует такая же зависимость, как имеющая место для одной материальной точки. Обратимся теперь к общим уравнениям (65)(стр. 201), изображающим закон момен~он количеств движения, и введем в них описанные площади взамен моментов количеств двихсенин. Называя площади, описанные системою на плоскостях координат гОу, иОх, хОу, через Й Р мы получим эти уравнения в такой форме: Здесь Я„М М,— моменты внешних сил для осей кох, тч ординат, Уравнейия (69) выражают прежний закон, но в другой форме; теперь вместо рассмотрения моментов количеств движения мы рассматриваем площади, которые описывают точки системы. Эту форму назовем законом площадей. Оиа особенно удобна в тех случаях, когда момент внешних сил для какой-нибудь нз осей равен нулю, Тогда получим соответствующее уравнение которое интегрируется и дает: 22 = Сг+ С'.
Здесь С и С' — две постоянные ингегрпрованпя. Вторая из них всегда может быть сделана равной нулю. Действительно, она изображает величину площади, уже описанной до начального момента времени. !.1о мы всегда можем условиться считать описанную площадь, начиная с того положения системы, когда г равно нулю; это равносильно положению: С'=О.
241 неизменнАя плоскость Тогда имеем: Я— т. е. описанные площади пропорциональны в ре м е и а и. Зно представляет собою обобщение первого закона Кеплера. Такой резулщат получится, если момент внешних сил для избранной нами оси равен нулю, например если внешние силы пересекают зту ось или ей параллельны. Мы говорим внешние силы, потому чзо внутренние силы не входят в наши уравнения и ие оказывают никакого влияния на величину площади, описываемой системой.
С Величина —,— представляет площадь, описываемую спсте- 2 мой в единицу времени. Она сохраняет одну п ту же величину во все время движения. 1Об. Закон сохранения площадей. Если внешних сил вовсе нет, то момент ит для любой из координатных осей равен нулю. Тогда для каждой координатной плоскости получим закон сохранения площадей, т. е. описываечые площади будут пропорциональны времени. Такой результат получится для и з о л и р о в а н н о й системы, в которой действуют только внутренние силы, т, е, которая устранена от всяких внешних влияний.
106. Неизменная плоскость. Закон сохранения площадей по своему содержанию тождествен с законом сохранения моментов количеств движении. В самом деле, 1ак как имеем зависимость нй ве то из последнего уравнения й 104 получаем: р=с, т. е, удвоенная, описываемая в единицу времени, площадь есть момент количеств лвижеиия, взятый для осн, перпендикулярной к той плоскости, на которой рассматриваем проекцию движения. Если система изолированная, то для всех трех координатных осей получаем постоянство момента количеств движения; отсюда следует, что и равнодействующий, или полный момент количеств движения имеет постоянную величину и постоянное направление.
10 в. л, нирпнчее 242 закон площлдвй Плоскость, к нему перпендикулярная, называется н е и зи е н и о й »лоскость>о, так как она остается одна и та >ке во все время движения, Рассл>атривая площади, описываемые на этой плоскости, конечно, получим, так же как и для всякой другой плоскости, что эти площади пропорциональны времени; величина площади для единицы времени равна половине равнодействующего момента. А так как (при разложении на три взаимно перпендикулярных направления) равнодействующая больше всякой из своих составля>ощих, то величина площади, описываемой в единицу времени на неизменной плоскости, больше чем на всякой другой плоскости.
107. Астрономические приложения закона сохранения площадей. Неизменная плоскость нашей планетной системы. Плоскости орбит Земли и других планет изменяют свое положение в пространстве вследствие взаимных возмущающих действий; ни одна из них не может считаться неподвижной и пе может служить для отсчитывания от нее перемещений. Но планетная система, если пренебречь влиянием на нее звезд, есть система изолированная, следовательно, в ней есть неизменная плоскость, которая сохраняет свое положение, и к ней должны быть относимы все разнообразные движения планетной системы.
Положение неизменной плоскости определяется тем условием, что она перпендикулярна к оси моментов количеств движения; следовательно, зная массы планет и их скорости, можем определ>нь положение неизменной плоскости нашего мира. Такое определение было сделано Лапласом приблизительно. Так как орбиты всех больших планет мало уклониются от орбиты Земли, >о неизменная плоскость почти совпадает с земной орбитой; угол между ними составляет около 1о,7698, а долгота восходящего узла — 114е,3979.
Эти числа относятся к 1750 г.) они изменяются с течением времени, так как орбита Земли переменяется от возмущений; но изменение их очень л>едлеиное и едва заметное даже за период в 100 лет. 108. Дальнейшее приложение закона площадей к изучению движения солнечной системы. Эллиптическое движение планет есть первое приближение, получающееся ири предположении, что на планету действует только притяжение длльнайшкв пгиложвния закона площадяй 243 Солнца. Так как, кроме Солнца, планету притягивают и все прочие тела нашей спсгемы, то получается движение, отличающееся от эллппышеского и гораздо более сложное, Но во всяком случае действие Солнца есть преобладающая сила, приложенная к планете. Она значительно больше возмущающих спл, т. е. притяакений других планет. Поэтому отступления от правильного эллиптического движения хотя замечаются при точных наблюдениях, но онн очень невелики. Это позволяет применить для получения второго приближенна следующий прием.
Будем считать, что все-таки планета движется по эллипсу, но что этот эллипс медленно и постепенно измепястся. Мы считаем, что изменяются все элементы эллипса: его большая полуось (а), эксцентрнснтет (а), угол наклона орбиты к неизменной плоскости (р), время обращенпя (Т) и т. д,; все это — не постоянныс величины, а функции временц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
