Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Не доказывая эту теорему в общем виде, ограничимся той частной формой ее, которая имеет значение в гидравлике. Укажем точные условия, прп которых имеет место последующий вывод. Мы рассматриваем жидкость идеальную, т. е., во-первых, несжнмаелгую, а во-вторых, не прелставляющую никакого сопротивления таким изменениям формы, которые не сопровождаются измененнем объема; следовательно, это— жидкость, совершенно лишенная вязкости.
Задание таких свойств жидкости приводит к тому, что работа внутренних сил ее равна нулю. Мы также допустим отсуествне трения между жидкостью и стенками сосуда илн трубы, в которых течет жидкость. Мы рассматриваем движение вполне ус|ановившееся, т. е. в каждой точке пространства, наполненного жидкостью, явления не изменяются с течением времени; направление п величина скорости в этой точке, величина внутреннего давления у этой точки остаются постоянными во все время движения. разбираем движение тяхселой жидкости в сосуле любой формы АВВС (фиг.
165) между сечениями АВ и СВ и предполагаем выполненными следующие условия 1) допускаем движение правильными струями; 2) давление по всему сечению АВ одно и то же (р,), и все частицы, проходящие через АВ, имея>т одну и ту же скорость ((г,), направленную нормально к АВ; 3) те же условия выполнены и в сечении СВ; злесь давление р„ скорость (ге. В ~ечение бесконечно малого времени гег' частицы, которые были расположены в сечении АВ, пройдуг пуеь ~',еее п придут в А'В', Частицы, находившиеся в сечении СО, пройдут путь $'аеее и займуг полоекенпе С'й'.
Применим закон живых снл к этому движению массы жидкости АСС, нерелвннувшейся в А'В'О'С' Начальная хгнвая сила нашей системы состоит из двух частей. живой силы жидкости АВВ'А' н живой силы жидкости А'В'ОС, Окончательная живая сила тоже может быть рассматриваема как совокупность двух частеи: живой силы жидкости А'В'ВС н живой силы жидкости СВЕ>'С'. Мы видим, что нсивая сила объема А'В'еуС входит как в выражение начальной живой силы, так и в выражение окончательной 18 в. л.
Кврввчев 274 закон живых сил живой силы; притом в обоих выражениях живая сила э~ого объема одна и та же, потому что движение жидкости установившееся, т. е. скорость жидкости в любой точке К этого объема одинакова как для начального момента времена, так и для окончательного. При нахождении живой силы, приобретенной за время гВ, мы должны вычесть начальную живую силу из окончательной; при этом сократится живая сила объема А'В'ЮС, и останется только разность живых сил объемов СОВ'С' и АВВ'А'. Фиг.
1б5. Эти объемы равны между собою, так как жидкость несжимаемая. Если назовем буквою (~ объем жидкости, протекающей через каждое сечение в единицу времени, то указанные объемы будут равны ~)Ж. Вес единицы объема жидкости назовем через т, тогда масса жидкости, протекающей за время Ф, будет равна ЯЖ вЂ ; наконец, искомая приобретенная живая сила выра- Т . К зится разностью: Перейдем к работе дейс1вующих сил. Мы уже видели, что работа внутренних сил в идеальной жидкости равна нулю.
Также обращается в нуль работа давлений д, производимых на жидкость стенками сосуда или трубы, в которой она течет; эти давления всегда перпендикулярны к пути, проходимому частицами, движущимися по стенкам, если движение теоРЕИА ДАниилА БеРнулли происходит правильной струей", следовательно, сила н перемещение взаимно перпендикулярны, т. е. работа равна нулю. Остаются только работа веса н работа снл давлений р„ ра на сечениях АВ, СО, которымн ограничена наша движущаяся система. Для получения работы веса нужно взять вес всей жидкости АВВС и умножить на понижение ее центра тяжести, происходящее при переходе из АВРС в положение А'В'В'С'.
Заметим опять, что в обоих положениях имеем общий объем А'В'ОС, который как бы вовсе не переместился, так что центр тяжести его остался на прежней высоте. Поэтому рассматриваемое перемещение жидкости эквивалентно тому, как будто бы объем элементарной части АВВ'А' опустился и занял поломгенне С.ОО'С'.
Произведенная при этом работа равна весу элементарной части, т. е. (;1уй, умноженному на понижение центра тяжести об ьема АВВ'А' при опускании его в положение СВО'С'. Это понижение прн отбрасывании бесконечно малых высших порядков может считаться равным разности Н уровней центров тяжести предельных сечений АВ и СВ. Итак, работа веса будет равна Работа сил давлений р, на сечение АВ получится следующим образом: р, означает давление на единицу площади; если сечение АВ имеет площадь Р, то полная сила давления будет равна р,г. Ее нужно умножить на пройденный путь, т.
е. На Угу; получим работу р,РУ,й. Но произведение РУ, есть объем 9 жидкости, протекающей в единицу времени, следовательно, работа будет равна 61 1с' <Й. Она положительная, так как направление силы совпадает с направлением перемещения. Работа сил давления р, найдется подобным же образом и будет равна — Раас«. Она отрицательная, так как здесь сила направлена в сторону, противоположную перемещению. 18а зАкОн живых сил Складывая все работы, получим сумму их Ю и(ТРУ+Рг — Рг). Приравнивая это выражение приобретенной живой силе, получаем уравнение живых сил 2 ' 2 ~~ (' + ~ яля, по сокращении: 1/2 (гт йп~ Я +Р1 Р т 2 1 Т Это уравнение и выражает теорему Даниила Бернулли.
Величины †, — измеряют давления, имеющиеся в жндкоРт Ра Т' Т сти в сечениях АВ и Со. На самом деле, Р, и р, представлягот эти давления в единицах сил, приходящихся на единицу площади (например в ггг/сжг); деля их на т, получим высоты столба жидкости, уравновешивающей такие давления. Такое измерение давления жидкости высотой ее столба часто применяется; приборы, производящие такое измерение, называются пьезометрами, высота столба в них называется п ь е з ометрической высотой' ).
Обозначая эти высоты для сечений АВ и СВ через Лы л„получаем теорему Бернулли в форме: к' — Р" =2а(Н+», — Рг), (92) т. е. Нри движении жндкости от АВ к СВ приобретается такая же скорость, как при падении тяжелого тела с высоты Н+ ܄— лг, При выводе мы допустили, что как в сечении АВ, так н в сечении Сй скорости всех частиц параллельны между собою. Поэтому наше уравнение можно применять не к любым двум сечениям трубы, по которой течет жидкость, а только к тем, которые удовлетворяют этому условию, на- 2) Обыкновенно, пьезометр измердет не полн)ю величину давления, а превышение этого давления над атмосферным. 277 ТЕОРЕМА ДАНИИЛА БЕРНУЛЛИ пример, для фиг. 166, к сечениям, отмеченным цифрами 7, Возьмем частный случай; пусть ось трубы будет горизонтальная прямая; тогда для каждых двух сечений ее ни ее разность уровней Н будет равна нулю, и мы получаем из уравнения (92) следующее условие. 1тт 2Р2 2 2 + "2= — + "2 га Следовательно, сумма пьезометрической высоты и величины— ДЗ 2е (т.
е. высоты, отвечающей скорости течения) будет одинакова для сечений трубы„отмеченных на фиг. 166 цифрами 1, 2. 3, 4. Но ско- 7 2 у 4 рости течения по трубе изменяются обратно пропорционально площадям сечений. Отсюда следует, что пьезометрнческая высота будет изменяться одно- Фнг. 166. временно с изменением поперечных сечений Б в ту же сторону, т. е пьезометрическая высота будет значительна там, тле происходит расширение трубы; эта высота будет малая в суженных местах трубы, Этот результат хорошо демонстрируешься прибором (фиг. 167), в котором происходит истечение окрашенной жидкости, при а 6 а е постоянном напоре. Стеклянные трубочки а, Ь, с,' И, поставленные в разных местах по длине течения, указывают пьезометрические высоты, т. е. давления в этих местах.
Если в одном месте Фиг. 167. трубки сечение будет очень сильно сужено по сравнению с выходным отверстием, в котором давление равно атмосферному, то в суженном сечении давление может оказаться значительно ниже атмосферного. Делая опыт с водою при обыкновенной комнатной температуре, можем достигнуть такого понижения давления, что вода в суженном сечении будет кипеть. 278 зАкОн жнеых сил 122. Применение закона живых сил к изучению движения машин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
