Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Например, этим путем можно найти удар, производимый ири выстреле пороховыми газами на снаряд; масса снаряда известна, а для измерения скорости снаряда существуют многочисленные приборы. Итак, в случае мгновенных сил мы будем измерять их, т. е. измерять удар, с помощью сообщаемого ими количества движения тУ. Для возможности численного решения вопросов о движении мы должны иметь такую меру для всех действующих в нашем вопросе мгновенных снл, т.
е. предварительно мгновенные силы должны быть измерены указанным способом. Этот прием заменяет для мгновенных сил то измерение с помо- видоизменение нАчАлА далАмБеРА для случАя удАРА 299 щью весов, динамометров, индикаторов, которое мы применяем для определения сил н е мгновенного характера, действующих в течение н е очень короткого вреиеии. Следует обратить внимание на то, что введенная нами мера мгновенных спл не однородна с общепринятой мерой сил.
Действительно, для мгновенных сил имеем произведение массы на скорость, а для нечгновеииых мерою служит произведение массы на ускорение; но скорость и ускорение неоднородны, а именно, обозначая размерность длины через Е, а размерность времени через Т, получаем размерности: для скорости †, для Е. ускорения — , т. Та ' Поэтому, если бы в одном н том же уравнении некоторые члены содержали мгновенные силы, а другие — немгновенные, то в последних должен был бы входить дополнительный множитель той же размерности, как время; эго требуется необходичыи условием однородности членов.
Но подобный случай нам никогда не нстретится; при действии мгновенных сил всегда можно пренебречь всеми остальными силами; они очень малы по сравнению с мгновенными и за короткое время удара не могут заметно влиять на движение системы. 1ЗЭ. Видоизменение начала Даламбера для случая удара. Такое видоизменение вызывается тем, что в случае мгновенных сил нужно ввести особую меру сил — импульсы нх, — а следовательно, и ураннение должно получить соответствующее преобразование, так чтобы вместо самих сил входили их импульсы, т.
е. меры ударов. При этом, как только что было указано, можно совершенно отбросить все силы немгновенного характера, потому что время действия удара очень мало. По той же причине можно считать, что в течение времени удара точки системы вовсе не переместились, т.
е. можно пренебречь теми очень малыми перемещениями, которые произойдут за время удара. Все это влечет за собой зна ппельное упрощение рассмотрения действия удара. По окончании явления удара, т. е. Но прекращенви действия мгновенных спл, необходимо опять принять во внимание все силы.
Чтобы рассуждать о видоизменении начала Даламбера, изобразим его в той форме, которую оно получает, если при зоо ядав и мгнованныа силы .'.: ~(Х вЂ” щ„,) 3'+ (1 — ю,— „.) 3у+ + (Š— лг —,) 3х] =О. (97) Под знаком 'Я стоит то, что относится к одной материальной точке т, а знак ~ч», 'показывает, что нужно сложить подобные выражения для всех точек системы. Величины Х, У, Е представляют проекции активных сил. Члены лгт — гп— лт" нзт — ю— лЮ ' изображают проекции сил инерции.
Наконец, 3х, йу, ах изображают возможные перемещения. Переходя к случаю мгновенных сил, умножим это уравнение на элемент времени Ж н проннтегрируеи его в пределах от О до 1, изображающих начало и конец удара. У нас появятся члены; ~ХЖ, )'г'М, )ЛЖ, о Ъ о которые изображают величины ударов, производимых на точку нг. Их обозначим буквами 7, К, Е..
Затем перейдем к членам, выражающим силы инерции, например к члену (98) Лт.т Умножая на Ф и интегрируя, получим вместо „вЂ”,, т. е. вместо лх второй производной, первую производную, т. е. скорость — „ по оси х. Но интегрирование происходит в пределах от О до 1, следовательно, нужно взять разность скоростей окончательной и начальной, которые обозначим через и' и и. менять декартовы координаты н механическую систему рассматривать как совокупность материальных точек. Тогда условие равновесия активных сил и сил инерции представляется уравненвем (33) (см.
стр. 137): видоизмвнвнив начала длллмвегл для слгчля гдлга 801 Таким образом получим, по интегрировании члена (98), выражение — т(и' — и) =ти — ти'. (99) Полученное выражение (99) есть разность количеств движения начального и окончательного, т. е. до удара н после удара. По принятой терминологии эта разность должна быть названа количеством движения, потерянным во время удара, или, короче, потерянным количеством движения. Сказанное о проекции силы инерции на ось к относится и к двум другим осям, "для них проекции начальных скоростей назовем через и, тв, а окончательных скоростей— через о', а~'. Таким образом результатом нашего преобразования уравнения (97) будет следующее уравнение: Х [[7+т(и — и)) 8л+[К+т(.— и)) йу+ +[т +Iл(тв — тн))ая) =О. (100) Сравнивая его с первоначальным уравнением (97), выражавшим начало Даламбера, видим, что в новом уравнении 1) вместо активных сил Х, Г, Е появились удары У, й; Е; пах вау Лаз 2) вместо сил инерции — т — -т — — т — появились ига ~ зм ~ втз потерянные количества движения: т(и — и'), т(п — 'в'), т(тв — тв').
Но уравнение Даламбера выражало, что активные силы уравновешиваются с силами инерции. Следовательно, наше новое уравнение выражает, что п р и л о ж е н н ы е к системе активные удары уравновешиваютсв с количествами движения, потерянными прн у д а р е. Так видоизменяется начало Даламбера в случае удара. И здесь вопрос приводится к равновесию, но уравновешиваются активные удары и потерянные количества движения. Мы, следовательно, можем пользоваться известными законами статики, притом можем в частных случаях брать эти законы в любой форме, можем применять декартовы или другие координаты; можем брать алгебраические или геометрические формы законов равновесия или пользоваться словесными теоремами, изображающими законы равновесия в частных случаях, и т.
д. Форма уравнения (100) служила нам лишь как про- 302 УДАР и мгновениыв силы стой символ, в котором заключаются все условия равновесия для всех частных случаев, и потому была удобна для доказательства общей теоремы. Но нет надобности всегда обращаться к ней, когда решаем частные вопросы, для которых законы равновесия известны.
131. Примеры. 1, Две массы лг„лг', связанные гибкой, нерастяжимой нитью, движутся на наклонных плоскостях АВ, ВС (фиг. 174). Пусть начальные скорости их равны нулю. На массу т действует по на- правлению стрелки М удар, Я величина которого равна К. Л1 Требуется найти скорость $г, которую получат этп массы П1 ю после удара. Величина ско- (т у рости одинакова для обеих Ф масс, так как нить нерастя- жима; направления скороФнг. 174. стей показаны на фигуре стрелками. Условие равновесия для этой системы очень просто; сила, действующая на гн по направлению нити от В к А, должна равняться силе, действующей на т' по направлению от В к С.
Здесь, кроме удара К, нухсйо ввести потерянные количества движения, т. е. разности 0 — тР', 0 — гл'у', Итак, условие равновесия будет; откуда находим скоросгьл Ъ'= —,. К тл+ля ' 2. Вра нгение твердого тела около не под ви жн о й о с и. Пусть тело, вначале находившееся в покое, приведено во вращение ударом. Прн вращении около неподвижной оси условие равновесия сил заключается в том, что сумма моментов всех сил относительно оси вращения равна нулю. Следовательно, мы получим уравнение движения, выразив, что момент удара, сложенный с моментом потерянных количеств движения, дает в сумме нуль.
Величину момента удара (т. е. произведение величины удара на плечо его относительно оси) назовем М, и пусть ре- зоз ПРИМЕРЫ зультатом удара будет вращение по направлению удара с окончательной угловой скоростью м. Мы знаем, что при такой скорости момент количеств движения будет равен мз, где у — момент инерции тела относительно оси вращения; но начальное количество движения равно нулю, следовательно, момент потерянного количества движения равен Π— со.г. Условие равновесия будет: М вЂ” МУ = О; отсюда находим угловую скорость, получающуюся вследствие удара: лг (О=— / ! т, е.
угловая скорость равна моменту удара, разделенному на момент инерции. Сравним этот результат с тем, который получается в случае сил немгновенных. Соответствующий вопрос был рассмотрен в ~ 35, и мы получили, что угловое ускорение равно моменту внешней силы, разделенному на момент инерции. Итак, в случае удара получается теорема, отличающаяся от ф 35 только тем, что теперь вместо момента силы появляется момент удара, а вместо углового ускорения имеем угловую скорость.
Заметпм, что, вообще, то вицоиаменение начала Даламбера, которое мы получили для случая удара, находится путем интегрирования, н потому уравнения, получающиеся прн этом, представляют интегралы уравнений дв нжения, т. е. дают скорости, а не ускорения. 3. Баллистический маятник, Этот прибор долгое время применялся для измерения начальной скорости ядер и пуль при вылете их из артиллерийских орудий '). Он состоит нз массивного маятника (фиг.
1 75), качающегося на оси О; внутри имеется чугунный котел В, наполненный песком; в него ударяется ядро сейчас же по вылете из канала пушки; ядро, г) Теперь он заменяется электробаалвстнческвмн приборами. ЗО4 улАР и мгноввнныв силы засев в песке, соединяется с маятником в одно целое. Действием удара сообщается маятнику угловая скорость в около оси вращения О; измерив ее, мы можем определить скорость ядра Ъ'. Здесь мы имеем случай вращения твердого тела около неподвихгной оси, т. е. тот же вопрос, как и в предыдущем примере.
Но, рассматрнваа ядро и маятник как одну систему, 0 мы видим, что при ударе между ними появляются взаимные силы, всегда равные и противоположные: одна из них †действ ядра на маятник, а другая — обратное дейл ствие маятника иа ядро. Совокупность моментов таких двух сил всегда будет равна нулю, и следо— т вательно, силы удара вовсе не В К войдут в наше уравнение. Останутся только потерянные количеФиг. 175. ства движения. Момент их для маятника будет равен †(у— момент инерции маятника относительно оси вращения). Потерянная скорость для ядра представляется разностью Ь' — ав, где а — расстояние направления скорости Ъ" от оси О.
Момент количества движения, потерянного ядром, получится умножением потерянной скорости на массу ядра т и на плечо а относительно оси О. Поэтому уравнением равновесия будет: — ву + та ( у' — ам) = О. Отсюда, зная в, найдем скорость ядра )Р. Мы бы могли получить сразу это уравнение, пользуясь законом сохранения моментов количеств движения относительно оси О.
Что касается угловой скорости в, то она найдется из наблюдения угла, на который отклоняется маятник вместе с ядром после выстрела. Пусть этот угол есть а, а расстояние центра тяжести О всей системы от оси привеса равно (фиг. 176). Маятник отклоняется до тех пор, пока его живая сила не будет поглощена работой веса его. При перемещении центра тяжести О в точку остановки Н этот центр поднимается на высоту ОК=! (1 — соз а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
