Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Излохгеиная простая задача (решенная еще Ньютоном, и «Началах», но в другой форне) служит типом для многих вопросов прикладной механики; мы приведем два примера. 1. К ры л а ч, В часах и других приборах нередко применяют приспособление для получения равномерного движения, состоящее из нескольких быстро вращающихся крыльев, ко- пгимвгы горне встречают при своем движении значительное сопротивление воздуха, Упрощенный прибор э|ого рода изображен на фпг, 187, Здесь А — барабан, приводимый во враигение грузом В; на осп барабана сидят крылья С, С, Так как здесь имеся вращение около неподвижной оси, то нужно брать моьюиты спл около этой оси, Сумма моментов внешних сил и сил инерции должна быть равна нулю.
Из т-- ь' внешних сил моменты дают вес груза В и сопротивление воздуха 4 иа крылья С; трением пренебрегаем. ° . Если г есть радиус барабана, то момент груза В будет равен его весу р, умноженному на г. Величина сопротивления воздуха Фнг. 1з7. пропорциональна квадрату скорости крыльев; если назовем скорость опускающегося груза В через о, то скорость крыльев может быть прилята равной пй — (гс' — длина крыла); сопротивление будез равно рг ь,г ~-г (м — коэффициент, опредсляемый опытом), Момент сопротивления воздуха получится умножением этого сопротивления на плечо гс, причем произведение следует взять со знаком минус.
Далее, сила инерции опускающегося груза В будет равна а ее хшмент и'и — гл — г. лг Момент сил инерпии всех вращающихся частей будет отрицательный и измеряется произведением углового ускорения на момент пнерппи 1 этих частей относительно оси вращения. Угловое же ускорение получится, если разделить линейное ускорение окружности барабана на его радиус г, следовательно, 21» 324 дннхмичхскиа модгли угловое ускорение будет равно 1 во г и'1' Соединяя все эти моменты, получим уравнение ог Лв 1лв пг — йо' —, )с — гл — г — — з' = О. г' лг гла Обрзщая главное внимание на переменные величины, мы можем написать последнее уравнение в форме; лэ — = А — Во' вс где А и  — постоянные. Таким обозначением мы привели наше уравнение к совершенному формальному согласию с уравнением (107) предыдущего параграфа и, следовательно, можем воспользоваться предыдущим решением, сделав только замену букв.
а Р+71 2. Движение па розов- аа вниз по уклону, когФиг. 188. да закрыт впуск пара в цилиндры. В этом случае движущей силой является та слагающая веса поезда, которая идет параллельно уклону (фиг. 188). Назовем синус угла уклона а через 1, вес паровоза с тендером через Р, а зес всех вагонов через Я; двпмсущая сила равна (Р+ г;7) 1. Опыты показывают, что сопротивление движению вагона может быть принято пропорциональным весу его, и на 1 гл поезда равно ).
+ рЛ/а, где )г — скорость движения, )ь, 1 — коэффициенты. Подобная же формула представляет и сопротивление паровоза с тендером, но коэффициенты р, ). должны быть заменены другими, которые назовем ры )ч. Итак, сопротивление вагонов будет равно Я (х+ р~"). глгмоничвсков двцжгннь Зго а паровоза с тендером— Р () [+ р[)"). Масса всего поезда равна Р+ 0 К а ускорение его изображается производной скоростн — .
[[г ' Следовательно, уравнением движения будет: (Р+О) — ',— „г=(Р+Ю)1 — Р(1 +р 1") — Я(1+Н) '). Опять, обращая главное внимание на переменные величины, видим, что это уравнение имеет форму: [[ы Й вЂ” =А — ВЬ'а (А,  — постоянные), следовательно, мы пришли к прежнему типу и можем воспользовзться прежним решением, Наблюдение за движением поезда вниз по уклону представляет один из способов изучения сопротивления поезда движению. При этом, пользуясь приведенным нами решением, можно найти коэффициенты 1, р, 1„р[[.
148. Третий тип: гармоническое движение. Простейший случай этого типа получается, когда материальная точка т (фиг. 189) движется по прямой линии 0, а подвижному центру О, если сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию между массой т и при- Ф[[г. 189. тягивающим центром. Пусть масса движущейся точки есть т, а величину силы притяжения обозначим через лх. Она направлена прямо противоположно координате х, следовательно, ускорение по направлению положительной оси х будет равно лх Приравнивая эту проекцию общему выражению для ускоре- Ы'х нии в прямолинейном движении, т. е.
†„ , получим уравне- Яй н. Л. Кирпнчеа динамические модели нне движения ~Рх йх сФ ш' или сРх — +пах=0, атз (109) где величина — обозначена в форме квадрата пт, с целью Ф т отметить, что эта величина положительная. Уравнение движения (109) здесь оказывается одним из самых простых случаев линейных дифференциальных уравнений. Оно, как известно, интегрируется цри помощи тригонометрических функций.
Общий интеграл этого уравнения должен содержать д не произвольные постоянные, так как уравнение зто второго порядка. Этот интеграл будет: х = а соз (п( — «), (109а) где а, а — произвольные постоянные. Нетрудно проверкой убедиться, что он удовлетворяет уравнению (109). Скорость движения будет равна: ах — = — па з(п (пй — а).
йг Для определения произвольных постоянных нужно знать начальные данные движения, т. е. величину отклонения х и скорости — нашей массы для того мгновения, которое считаем началом времен, Примем за начальное положение то, при котором масса тп находится на наибольшем удалении от центра; в этом положении скорость движения равна нулю; следовательно, формула (110) должна для 1=0 дать ах — =-0 лт ю т.
е. — па з(п ( — а) = О. Отсюда заключаем, что произвольная постоянная а должна равняться нулю. Тогда для х получаем: х = а соз п1, (111) глгмоническое движение 327 и прп 1=0 имеем; х=а, т. е. другая произвольная постоянная представляет наибольшее отклонение массы ги от центра. Из формулы (!11) ясно, что движение массы лг будет колебанием около центра О; масса будет отклоняться по обе стороны центра на величину.+ а, т, е. а представляет амплитуду колебаний. Полный период колебания соответствует полному периоду тригонометрической функции, т. е. 2п. Иазывая время полного (двойного) колебания через Т, получая: лТ= 2п, Т= — '=2п ~/ — „.
(111а) л Геометрический вывод. Все предыдущие формулы для гармонического движения можно получить также и другим, злементарпым, способом, основываясь на том, В что зто движение можно т рассматривать как проек- г цию равномерного двнже- 1 ния по кругу на диаметр 0 и т' л етого круга. Действительно, если пасса и движется ранномерно по кругу радиуса г (фнг. 190), то ускорение движения направ- д лево к центру и равно ов Фнг. 190. — (о — скорость движе- г пня). Следовательно, сида, которая сообщает такое движение, твоа тоже направлена к центру н равна —. Проекции ее на диа- с метр АС будет равна: ищг ~тР х лил — соз я= — — = —,х, г г г гт Эта проекция пропорциональна х, следовательно, закон изменения силы такой же, как заданный для гармонического движения.
Игак, все явления гармонического движения мбжно получить, рассматривая проекцию кругового равномерного 323 дин*мичзскнв модвлн движения. Диаметр круга представляет амплитуду колебания; лапа величина — заменяет коэффициент л1 следовательно, (112) Время одного колебания Т будет равно времени кругового 2аг оборота, т. е. — , а это попрежнему равно Тип гармонического колебании встречается во множестве случаев движения. Сюда относятся, во-первых, все упругие колебания систем, имеющих одну степень свободы. Например; 1. Масса и (фиг. 191) качается на упругой пружине аз (массой пружины пренебрегаем). 2.
Колебания массы т на винтовой пружине (фиг. 192) т (опять пренебрегаем массой пру,Ст" жины). 3. Крутильные колебания / тела А на проволоке аЬ (фиг. I ! I 193); тело вращается около оси аб„ закручивая и раскручивая проволоку в ту н лругую сторо- Ь ну. Сопротивление проволоки кручению дает момент, стремяФнг. 191. Фнг. 192, щийся восстановить первоначальную форму; этот момент пропорционален углу закручивания х; назовеи его йх; он должен быть взят со знаком минус, так как направлен противоположно увеличению х. Так как здесь имеем вращательное движение около оси, то нужно написать, что момент силы †уравновешивает момент силы инерции; а этот последний равен произведению а1ах нз углового ускорения — на момент инерции У нашего тела А ига ГАРмоничвское двнжвниь относительно оси (мы пренебрегаем массой сам и само скручиваемой проволоки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
