Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Таким образом потучаем уравненн д уравненне движения: И'х у — = — Йх. (113) Оно согласуется с (109); только теперь х представляет не линейное отклонение, а угол. Вместо прежней массы лг ~спер~ появился момент инерции, который, как мы это видели уже несколько раз, во вращательном движении играет ту же роль 1 о тх Фиг.

194. Фнг. 195. Фнг. 193. как масса при движении материальной точки н при поступательном движении твердого тела. 4. Такое же уравнение, как (113), получим н для колебаний балансира карманных часов (фиг, 194). б. Колебания более сложных упругих систем, имеющих не олпу, а несколько степеней свободы, могут быть подведепы под тот ке гармонический тип. Для етого нужно ввести так называемые н о р и а л ь н ы е колебания. 6. Колебания маятника при небольших размахах его тоже будут гармонические.

Возьмем сначала простой маятник (фиг. 195); точка О служит центром, к которому тяжесть стремится вернуть массу т, подвешенную на инги длины г'. Здесь воз. вращающая сила есть та слагающая веса, которая направлена по касательной; она равна произведению из веса р качающейся точки на синус угла отклонения. При малых отклоне- Зйо динамичвскнн модели нияз синус можно заменить углом; тогда сила по касатель- ной будЕФ равна Она пропорциональна углу а, т. е. пропорциональна отклонению О~и, которое назовем х, а силу обозначим Фх, так что л= —. Р 1' Ускорение по касательной получится делением силы на массу гн; его нужно взять с минусом, так как сила идет противоположно направлению увеличения х.

Итак, это ускорение будет равно лх т Но мы имеем общее выражение для ускорения 'по касательной в криволинейном движении Н'х тг Приравнивая эги два выражения, получаем; <Рх л — = — — х. Фта гл Это уравнение согласно с (109); по здесь движение не прямолинейное, а криволинейное, и х не прямолинейный отрезок, а дуга. Следовательно, период колебания по (111 а) будет равен Т=2п )/ —, так как 7. Что касается сложного маятника, то мы уже знаем, как подвести его движение под тип простого маятника (й 35). .г При этом длину 1 надо заменить величиной — , так что Мв' время качания сложного маятника определяется формулой Т=2п ~/г— Мал' гламоничасков движения зз) где /†момент инерции тела относительно осп вращения О (фиг, 62), Лг — масса тела, а в расстояние центра тяжести от оси вращения.

Поэтому, если заставим тело качаться около оси О и найдем время качания Т, то можем определить момент инерции з около оси вращения. Применение этого приема возможно только для осей, не проходящих через центр тяжести. Но, найдя момент инерции дли оси О, не проходящей через центр тяжести, мы сейчас же можем вычислить момент инерции для параллельной ей оси, проведенной через центр тяжести. Для этого послужит уравнение (25) 2 50. Вместо того чтобы для определения момента инерции каждого исследуемого тела приделывать к нему ось качания, удобнее организовать опыты в следующей форме. Имеется готовый прибор, состоящий нз некоторого постоянного маятника, время качания которого и его момент инерции заранее определены.

К этому маятнику могут быть прикреплены те тела, момент инерции которых требуется найти. Вследствие прикрепления тела к маятнику время качания будет отличное от первоначального. Опыт даст нам сумму моментов инерции первоначального прибора и прикрепленного к нему тела, а так как момент инерции прибора известен, то вычитанием найдем момент инерции прикрепленного тела. Укрепляя это тело в приборе в разных положениях, можем найти моменты инерции его для разных осей.

Эллппсоид инерции тела будет вполне известен, если мы найдем шесть коэффициентов уравнения (27] $ 50, т. е. 1„, Уу '-7 Очи' Огх Олл' Для этого нужно сделать шесть опытов, заставляя тело качаться около шести различных осей в определяя для каждой из них моменты инерц1ш. Вставляя в уравнение (27) величину момента инерции и соответствующие значения углов оси а, 'р, т„мы получим по одному уравненшо для каждого опыта. Всего будет шесть уравнений, из которых найдем шесть величин У„, У~, У„О „Е>,, О„.

Для тел вращения достаточно найти момент инерции относительно двух осей: оси фигуры н оси, к ней перпендикулярной. Этим определяется эллипсоид цнерции. Определив положение эллипсоида инерции в теле, мы будем знать положение главных осей тела. Следовательно, вышеизложенное дает способ для нахождения главной осн 332 динамические модели тела, т. е. решает задачу, часто встречаю:цуюся при нзго. товленин быстро вращаю;цихся частей машин. Но вто решение очень неудобно для практического применения, и им никогда не пользуются, Взамен того на заводах производят уравновешнвание вращающихся частей так, как это описано унас в952. 8. Небольшие колебания судов на спокойной поверхности моря (фнг.

196) также подходят под гармонический тип. Фнг. 19т, Фнг. 196. 9. Наконец, укажем иа те колебания столба воды в сообщающихся сосудах (фиг. 197), которые происходят при нарушении равновесия. Если пренебрежем трением, то малые колебания будут гармонические. Этот вопрос рассматривается Ньютоном в «Началахъ с приложением к волнообразному движению. 149.

Гармоническое двяжение в машинах. Очень распространено следующее преобразование движения, называемое Фнг. 198. крнвошипным механизмом (фиг. 198). Кривошип г вращается равномерно около центра О и посредством шатуна 1 сообщает прямолинейное попеременное движение ползуну и соединенному с ннм телу В. Это прямолинейное движение приблизительно можно считать гармоническим. Сходство по- гавмоннчесхов движение В машинах 333 лучается очень близкое, еслп длина шатУна 1 в пять и более раз превышает длину кривошипа; тогда движение ползуна будет очень мало отличаться от двшкеиня точки С', т проекции пуговки кривошнпа С, а мы виделн, что проекция С' имеет гармоническое движение.

Кривошппный механизм применяется в паровых, газовых машинах, насосах и т. д. как для поршней, так и для золотников. Популярное построение, называемое диаграммой Цейпера, служащее для изображения движения золотника, есть пе что у иное, как построение гармонического движения,.

а именно, формулы х= асов (п1 — а). Оно состоит в следующем (фиг. 199): откладываем угол уОА, равный а, и на луче ОА' засекаем отрезок ОА, равный а. Затем строим круг на ОА как на диаметре. Величины п1 представляются углами, образуемыми переменны- Фиг. 199 ми лучами ОВ, ОВ', ОВ" с осью Оу. Так как угол ОВА вписан над диаметром, то он прямой; следовательно; ОВ=ОА соз ~АОВ=асоз(п1 — а). Итак, величины х представляются хордами ОВ, ОВ', ОВ",...

нашей диаграммы '). Часто прнменяютсн двойные золотники; каждый нз них движется особым крпвошяпным механизмом, следовательно, они получают перемещения: х = а соя (пг — а), х, = а,соз (п1 — а'). г) Тэ же диаграмма может представить величины функции а э)п(па+ ч); Лля этого послужат тЕ жЕ лучи ОВ, ОВ',. но углы пт придется отсчитывать от осн Ох в сторону, противоположную движению часовой стрелки. 334 динамические модели Один золотник скользит по другому, и о т н о с и т е л ь и о е перемещение пх определяет открывание и закрывание окошек, впускающих и выпускающих пар. Для нахождения такого относительного перемещения нужно знать сумму или разность перемещений х+х, пли х — х,.

Цейнер дал прием для построения этих величин; результат такого движения, вызываемого двумя кривошппиыми механизмамц он изображает с помощью одного фиктивного крнвошнпного механизма, для которого строит диаграмму по прежнему правилу. Чтобы получить сумму х+ х„нужно посту- нить следующим образом (фиг. 200): откладываем угол уОА=а н длину ОА=а.

То же делаем и для дру- 4 8 гого механизма; для него угол о уОА'=а' и длина ОА'=ао Затем строим параллелограм на сторонах ОА й" и ОА'. Получаем диагональ парал- лелограма ОВ, на которой как на 0 диаметре нужно построить круг, Хор- ды ОВ", ОВ', ОВ этого круга дают Фиг. 200. искомыс величины х+хм если лг представляется углами уОВ', уОВ', уОВ.

Действительно, проекции ОА и ОА' на ОВ' равны х и хь а сумма этих проекций должна равняться проекции диагонали ОВ, т. е. ОВ', так как угол ОВ'В прямой. Очевидно, это построение есть не что нное, как известное и постоянно применяемое в теории света построение Френеля для сложения двух гармонических колебаний, различающихся амплитудами а, а, и фазами а, а'. Таким образом мы видим, что в двух совершенно различных областях науки применяются одинаковые построения. Такое сходство решений вызывается тем обстоятельством, что и в теории света и в кривошипном механизме мы имеем дело с гармоническим колебанием. 1БО.

Четвертый тнп: колебания, когда действует сопротивление, пропорциональное скорости. Возьмем гармоническое движение, разобранное в 2 148, и дополним его тем, что кроме силы в кх, стремящейся вернуть точку и в центр О, введем еще сопротивление, величина которого пропорциональна величине скорости. Сила сопро гивления всегда направлена колввюшя, когда двйствхкт сопготнвлснив 335 противоположно скорости, Поэтому сила этого рода может быть представлена в уравнении движения члеком, имеющим форму: эх — й —, йг ' Их где Ь вЂ” постоянный коэффициент а множитель — — изображает > лг величину, всегда равную и противоположную скорости.

Характеристики

Список файлов учебной работы