Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 62
Текст из файла (страница 62)
стой маятник, который будет качаться вполне согласно с лвижением сложного маятника. Поэтому можем ограничиться изучением движения простого маятника. Пусть длина его 1; качаись, он отклоняется вправо и влево от вертиФнг. 207. Фиг, 203. кали (фпг. 207) на угол а. Точка гл прелставляет любое положение маятника; соответствующий ему переменный угол отклонеюи маятника от вертикали обозначим 3.
В атом положении проекция ускорения тяжести д на касательную булет равна — дз(п 3. Но та же проекция ускорения может быть выражена иначе, если воспользоваться общими законами криволинейного движения точки. Ускорение выразим в функции дуги Алг, считаемой от точки А в сторону увеличения угла 01 ллина втой дуги равна 13; ускорением будет вторая произволная втой луги по времени. Приравнивая между собою эти лва выражения лля ускорения по касательной, получим уравнение движения '): иаа 1 —, =; — ля(п(). к(а ') Это уравнение отличается от уравнения (19) $ 33 тем, что угол а отсчитан от вертикали и в направлении враа1ения против часовой стрелки, в то время как в уравнении (19) $ 35 угол е отсчитан от горизонтали и в направлений врашення по часовой стрелке.
Полагая в уравнении (19) 3 33 ч= — ' — 0, 2 н получим написанное уравнение лля угла 6. 352 дннхмнчьскиз медали Отсюда, принимая обозначение лг Ю ! 3 получаем: ага — +н'з!л0 =0, лгг (125) Будем интегрировать это уравнение; для этого умножим оба «О члена его на †; тогда интегралы обоих членов легко находа ! дятся, и получим: — ( — ~ =лгсоз6+С. 1 Гпе'1г 2 (,Й! (126) Чтобы найти произвольную постоянную С, обратимся к крайней точке В; для нее имеем: 6=а, аа а скорость т. е, —, в этой точке равна нулю. Делая пода! ' становку в (126), найдем: О=ля соз а+ С, а вычитая это из (126), находим: ! гав!г — ( — ) = лг (соз 0 — соз а).
2 (,аг) (127) Это первый интеграл нашего дифференциального уравнения движения (!25). Нетрудно видеть, что это интеграл живых сил для движения из В в лг. Для дальнейшего интегрирования произведем с уравнением (127) следующие выкладки: сначала извлечем квадратный корень: аа г — = )'2л'(сов 6 — соз а); потом разделим в полученном уравнении переменные 6 и 1: — Я. (128) ("" — ' з Вр 1( бу дится в среднем своем положении А; тогда угол !! = О, Следовательно, по интегрировании (128) иежду пределамн О и ! колевтння млятннкъ 353 найдем 6 Фз л1= ~ (129) 0 Заменим косинусы углов посредством синусов половинных уг лов, т.
е. — 2 гйпа —, 2 ' соз 1) =1 — 2 з|п' —,, соз а=1 з Тогда интеграл (129) приведется к форме "(1) з!Па — — 51в~— г г (130) Теперь введем новую переменную и, связанную с () условием: 6, а з(п — =и 51П т, 2 ' 2 ' и для краткости назовем з1п — одной буквой й. Имеем: 2 а юп — = лз. Для частного значения В = 0 получаем: и=О, а для О=а величина и обращается в единицу, Вводя новую псрсменную и в (130), получим: и л1= ~ (131) о Полученный интеграл содержит в себе радикал из функции четвертой степени от и; следовательно, он относится к раз- ряду эллиптических интегралов.
Не касаясь чисто математической стороны вопроса, заметим только, что можно найти с известным приближением числен- ные значения этого интеграла для выбранно1 велэчины и; такие вычисления сделаны, и мы имеем таблицы численных значений этого эллиптического интеграла для различных зна- чений и и при различных величинах модуля л. Этими таблица- ми и пользуются, когда нужно иметь величины эллиптических 354 дннхмические модели интегралов, подобно тому как мы пользуемся таблицами логарифмов или таблнцамн тригонометрических величин.
С помощью таблиц эллиптических интегралов мы решаем все вопросы о движейии маятника. Например, если нам дан угол отклонения 0, то мы можем опрелелить соответствующее ему время г. Для этого, конечно, должен быть задан наибольший угол отклонения маятника, т. е. а. Сначала вычисляем молуль Й, равный з)п —, а затем уже, взяв таблицы для этого модуля, получаем для каждого выбранного нами угла 0, илн, что все равно, для каждого значении величины и, которая 1 . 6 равна — е)п —, величину интеграла, т.
е, величину ЛГ; разделив ее на п, получаем время Р. Бсли желаем найти время полного размаха, то находим из таблиц величину интеграла, отвечающую значению 0 = а, т. е. когда и = л. Эта величина интеграла даст нам значение л1 лля части размаха от средней точки А до крайней В; деля эту величину на л и умножая на 4, получим время полного (двойного) колебания маятника. К тому же типу мы приходим и прн разборе других вопросов линамики, напрямер рассматривая движение гироскопа.
157. Прлмер из теории упругости. Уравнения того же типа, как только что выведенные, встречаются при рассмотрении одного вопроса из теории упругости, а именно при рассмотрении формы, которую примет упругая проволока при действии иа нее двух сил Р, Р', приложенных к концам проволоки (фиг.
208). Кривая изгиба будет состоять из двух симметричных половин АВ и АВ'; среднюю точку ее А примем за начало, от которого булем отсчитывать ллину е дуги этой кривой. Длина дуги г принимается за независимую переменную, и форма кривой определяется путем вывода зависимости а от того угла 0, который образует касательная в любой точке т нашей кривой с линией сил Р, Р'. Частное значение угла 0, получающееся для конца проволоки, назовеи а. Для определения изгиба нужно иметь меру гибкости проволоки; такой мерой служит произведение коэффициента упругости материала, из которого сделана проволока (Е), на момент инерции поперечного сечения проволоки (У).
Частное пРимеР из тьОРМП упРуГО тп 35.> Р— обозначим одной буквой л', Уравнение упругого равновесия между внешней силой Р и внутренними упругими силами, которые развиваются прв изгибе, получается следу|ощее '); й йаа — + лаз!П 0 = 0 Я лг., Сравниваи его с уравнением (125) качаний ма- 4 ятника, видим замечательное сходство между ними.
р' Для лучшего выяснения этого сходства на й' фиг. 209 нарисованы ря- фнг. 208. дом маятник н изогнутая пружина; соответствуюигне в этих двух вопросах точка и величины обозначены одинаковымн буквами; А означает сред- Фиг. 209. нюю точку, В и В* — крайние точки. Для маятника 0 есть угол отклонения его нити от вертикали, а для проволоки 0 означает угол отклонения касательной от линии снл Р, Р'. В вопрос о маятнике входит время 1, считаемое от момента перехода через среднюю точку А, Для проволоки вместо того имеем длину ее 5, считаемую от средней точки А, 1) Мы его приводим без доназатЕлЬСтаа; внвОд жеаавшнЕ найдут в большинстве сочинений по теории упругости н сопротивлению материалов.
356 дннхмнчаскив модели Итак, имеется полное соответствие этих двух явлений; одно мо!кет быть нрннято за модель, за образеп для лругого. Полученный нами для маятннка интеграл (13!) непосредственно применяется к проволоке, и мы получаем: и ла = ~ г' ! — и' г 1 — к'иг о означает величину з1п †, а перемена 2 ' ная и связана с углом В завнсимостыо: где попрежнему модуль й )Ф', В 6 ейп — = йи.
2 т А а Такая аналогия между Ъ двумя яплениямк разного рода очень поучительна н полезна для выяснения В' в~, I их. Ь!ы можем воспольФиг. 2!О. зоваться проволокой н с помощью ее представить картину качаний маятнп- 4 ка; лля этого нужно пре- 1 В' В лварнтельно разделить В т проволоку по ее длине а а на равные части н затем а согнуть так, чтобы полу- чгы ь крайний угол а, рант ный наибольшему углу М отклонения маятнпка (фнг. Фнг.
211. 209). Направления каса- тельных в точках деленян А, а, Ь, г, г(, е, г, л', В будут показывать направления нити маятника получающиеся по прошествии равных промежутков времени, Прп различных амплитудах а получаются разные законы колебаний маятника, соответственно этому изменяются н формы изогнутой пружины, Несколько частных случаев изображены на фиг. 210 †2. На каждой из фигур 'нарисованы ПРИМЕР ИЗ ТСОРПИ УПРУГОСтп Збу на 90о в каждую сгорону. На следующих затем фигурах угол отклонения больше 90о, а на послед- ней фиг, 213 представлен Фиг. 212.
случай, когда угол отклонения почти 180о, т. е. маятник описывает почти полный круг. В' Изложенная аналогия между явлениями качания е маятника и одним из слу- 4 чаев изгиба проволоки представляет частный случай более широкой а нагг логни Кирхгофа; ои показал, что для каждого Фнг. 213. случая движения твердого тела, подпертого в одной точке, имеется аналогия в явлениях деформации проволоки, на которую действуют изгибающие и крутящие снлы и пары. В'В рячои колеблющийся мая1ншс и изогнутая пру;кина о означением соответственных точек одинаковыми буквааи|; и ° 0 при этом легко сопоставлять эти два явления. Фиг.
210 в' в относится к случаю, ког- 1 да маятшпс колеблется, отклоняясь от вертикали 4 ЙРЕД794ЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Давление жилкасти на сосуд движении 131, 186 — — лияаиическое 190 — — статическое 189 — опор 103 — — дкнаиическое 108 — — статическое 108 Даламбера начало 82 п д. лля случая улара 299 Дввгатель вечный 287 и д. Движение волчка 204 — гармоническое 325 — — в машинах 3,"2 н д. жидкости в трубке 148 — — установившееся 186 при е6 Аналогия Кнрхгофз 367 Аппелв теорема 153 Беряулли теорема 272 и л., 284 Брусок лишний в ферме 76 Вектор 185 — момюща количеств дви1кениа твердого тели, имеющего неподвижную точку 201, 208 Весы Квинтевца 34 — мостовые 31 и д.
— Роберваав 32 Взрыв 313, 316 и д. Влияние на с~горесть вращения Земли движения ооездон, кораблей и пр. 249 — — — — — ее охлажленив 248 Водаслив Томсона 146 и д. Возмущенна планет 243 'Вохна троховлзльная 101 Волчок 98, 204, 209 н Д. Мзксаецщ 217, 221 Вращение твердого тела около веподшакной асн 90 и л. Высота пьезометрическав 276, 284 Вяакость жилкостк 149 Гейуарда.резала теорема 227 и д. Гвроскоп КЫ, 209 и д.
720 — Бокаебсргерз 217, 227 — своболвый 220 связанный 227 Фесселк 217 — Фуно 217. 219 в д. Грув подвижной ва мосту 109 Движение относительно центре тяжестг7 263 и д. — цлавет 242 в л., 284 — поезда 165 и л. — твердого тела, имеющего одну не. подвижную точку 205 и д. турбины 196 — центра тажести 263 и д. — центральное 143 Девишнж 236 Диаграмма Цейнера 333 Доказательстно начала возиожных пе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
