Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Далее разбираем Фиг. 203. размах А'В'; к нему применимо уравнение (117); произвольные постоиииые ш тсграла ну~лно определить вновь„по данным, о1иосчщпмся к точке А'. Потоп разбираем следуюигий размах В'А" и т. д. При этом оказывается, что велящим размахов уменьша1отся, и когда скорость обрати1ся в нуль иа таком расстоянии от центра О восстанавливающей силы 7сх, где ее величина меньше силы,Г трения, то движение прекращается.
Такое усложнение, вызываемое теч, что трение ие представляется непрерывной функцией, очень загрудияег решение, а потому час~о лля облегчения прибегают к приблпзнгельноч1 Фиг. 204, рассмотрению, состояигему в том, что разрывную величину заменяют непрерывной.
Такая замена представлена графически на фиг, 204: вместо фуикции, которая графически изображается разрывной лпипей АВГСОеЕР, можно ввести иепрерывну~о кривую ООНсгуеф. 342 диньмпчвскив модзли В вопросах о трении постоинное тренис )-у часто заме<тх няют трением, пропорциональным скорости, т. е. )<к —, подбирая величину Ь так„чтобзы это трение, в среднем, как можно меньше осли шлось от 7, Такая замена в рсгучнторах и друп<к машинах доиус има, в особенности ири тщательной, обильной смаз«с, когорая не только умеиьииег велншину трениЯ, но, сверк того, приближает характер этой силы к трению жидких тел, т. е.
к закону пропорциональности первой степени скорое~и. Все эти аамечания о введении трения в уравнения движенвя имеюг общее значение и о<носятся не только к регуляторам, но и ко многим друп<м механизмам и физическим приборам, в которых ири коле,ю гсдьцом двизкении действует трение. В первых работах относительно колебания регуляторов паровых машин не было обращено внимание на то, что в случае и о с т о я н н о г о т р е н и я мы писем разрывнуЮ величину, откуда следуе~ необходимость рассматривать казкдий размах колебания отде.чьио и пользоваться двумя различными уравнениями (1!7) и (118). Оба эти уравнения соединяли в одно и писали их в форме: хл — „—,—,' г+Фх+Я=О').
(119) Затем по ходу вывода требовалось найти третью произНт водную „—., длз подставив«и се в другое уравнение вопроса шз (в уравнение живых спл главного вала вышины с маховиком). Для нахождения этой величины диф(зсрснцпровази< уравнение (! 19), причем ошибочно прелполагали, что производная члена как производная постоянной величины, будег равна нулю. Э~им путем трение совершенно исключалось и ие попадало в окончательное уравнение. Один из важных выводов этой теории состоял в том, что регуляторы, в ко< орых действует только п о с т о я н н о е трение, неустойчивы, т. е.
ири изменениях движущей силы получают зна пиельные размахи, пос<еиснно увеличивающиеся. ') аз<есь мы буквой а обозначили дополнительные члены, входяшие то<да, когда рассматрнва<отея годсе сложные случаи действия регзлятора, чем разобранный нами. пгинуждениыв (нлспльстввниые) колгвхи З43 Между тем, для правильного дейстепя Регулятора ьеобхо меч чтобы начавшиеся колебания быстро потухали Т о „ ка что такое по1уханис происходит если трен1 „ „орционально скорости, т. е. имеет характер трецця „, дк с,п, Отсюда выводилось заключение: для устойчивоств регулятора необходим катаракт.
Это заключение вызвало возражения со стороны инженеров практиков; они указывали на существующие црцмеры регуляторов, которые оказывалцсь устойчивыми, хотя це имело катаоакта, Некоторые на этом основании совсем отрицали правильность указанной теории регуляторов. Теперь мы знаем, что эта геория была вполне верна в своих основаниях и сохраняет свое зна ~ение и в настоян,ее время. Единственный нелосмотр ее состоял в исключении глена -+-У ири дифференцировании уравнения ((19); при этом трение вовсе как бы не существует, и без сомнения, регулятор без трепи получается неустойчивым, так как нет силы, которая туггпт колебания, Конечно, такое исключение члена +-г с помо|цью дифферспцпровзния матема1ически неправильно; этот член не есть постоянная величина, а разрывная функция. При супгес~еоваццп такого трения вопрос не может бысть разрешен так же, как в случае непрерывных функций; мы уже показали, что в случае постоянного трения необходимо рассматривать отлсльго каждый размах колебания.
152. Пятый тии: прлиуждеичые (наеитьетвеичые) котебаиия. Опять будем рзссматривать прячолццсиное колебательное движение материальной точки, но вветем еще лальнсчшее усложнение. Кроме а) силы — (гх, с1ремяпсйся веет~а вернуть точку ш в ее центральное полозксгие, а б) силы соил противления — й —, пропорциональной скорости, введем сп г и'т ' одну внешнгою силу, идущую, так же как и прочие силы, цо линие двшксния массы ги. Пусть эта новая сила будет переменная, гармонического типа, т.
е. значение ее определяется тригонометрической ~1ормулой Е соз р(, где Е, р — постоянные вели ппы. Такая сила изменяется в пределах -+ Е, и период ее полного колебании определяется динлчпчгскпз подели перполом косинуса угла Р>. Обозначая этот перпол через Т„ по. учим: 2к рТ,=2п, Т,= — '. Р Посмотрим, каково булет движение точки ш под действием такой иернодической силы. Сила инерции материальной точки еох будет как прежле — ш — Т . Склачывзя все силы, в тои \ нтэ числе и силу инерции, и приравнивая сумму нулю, получим 1рзвнение движения: пах йх — гл — — йх — Ь вЂ” + Есоэр1 =О. аы лг Деля на гл и вводя обозначения и е т ' ж ы з — = и', И получим уравнение: Фх лх — +Т вЂ” + лзх = Е соэ рг. л лс (120) Опять имеем линейное дифференциальное уравнение второ~о порядка, но теперь вто уравнение содержит в правой чзсги своей вместо нуля величину Е, соэр1.
Такие уравнения ищегрируюгся при помощи давно нзвестг ыт общих при.мов. Если мы найдем одно какое-нибудь частное решение х, это-о уравнения, т. е. такую функцию вречени, которая удовлс ворисг уравнению (120), то общий инге~рад получи ся, е~, и к х, прибавить выражение общего пи~страда следующего ур«аиения: лзх Мх 4и' йг —.+у' — +пах=0, (121) ко-орое огличается от заланного (120) только тем, что в правой части его вместе периодической силы стоит нуль. Мы знакомы с этим уравнением (121); знаеи, что оно представляез своболные затухающие колебания точки ш; выше мы уже получили общий интегрзл этого уравнения.
Теперь для реше- пгннуждзнныв (нъспльствинны!) кочевхнпя 345 ния нашего нового вопроса нужно прежний общий интеграл прибавить к х,. На этот результат нужно смотреть следу1онп1м образом:х 1 означает движение, зависящее от периодической силы Е совр(, а кроме того, к этому движению присоелиняются свободные колебания, которые происходили бы в случае отсутствия периодической силы; эти последние колебания понемногу затухают. Так как мы вполне изучили свободные колебания, то остается найти функцию, названную нами х„ т.
е. частный интеграл, удовлетворяющий урзвнению (1 20). Значение х, легко находится; попробуем для этой функции тригонометрическую форму х = а соз (рг — а) (а и е — постоянные.) Подстановка в (120) дает результат: а (ла — р') соз (р1 — а) — „гр а з1п (рФ вЂ” а) = Е, соз рй (122) Но мы можем сделать следующую замену: соз р1= соз (Л вЂ” а+ а) = соз е соз (р1 — з) — з1п в'зш'(р1 — е). Вставим такое преобразование созр1 во вторую часть уравнения (122). Тогда все члены его могут быть разделены на две группы: члены первой группы имеют общий множитель соз(р1 — а), а члены второй группы имеют общий множитель жп(рй — а).
Первая группа будет: (а (аа — рв) — Е, соз е) соз (рг — а), а вторая группа; (Ет з1п а — )ра) з)п (р( — а). Для того чтобы уравнение (122) удовлетворялось прп всяком Г, первая н вторая группы должны, каждая отдельно, обращаться в нуль. Это условие влечет за собою следующие два равенства: а(л' — р ) — Е, созе=О, плп а(ла — р')=Е, сова, ,тра — Е,а(па=О, или ура= Е,ила.
Из ннх получаем величины неизвестных а и е, входящих в выражение х,. Для этого делим второе уравнение на первое; получим: .Ф 1я а = —,~ — . (123) 23 в. д. кирпиивв 346 динлмичвскив модели Затем, найдя а, получаем нз второго уравнения: Е5 51в5 а= —. И Следовательно, х, будет равно Е5 51в 5 х~ = — соз (рг — 5). РУ (124) Ко мы замечаем, что в выражении для х, косинус берется от угла рг а, между тем как сила Р содержит косинус от рг.
Итак, здесь имеем разность фаз, измеряемую углом з; колебания х, отстают на в от колебаний силы Р. Величина в положительная, если и ~р, т. е. когда время одного колебания силы Р, равное 25 Т,= —, Р больше, чем величина Т= —, которая представляет время колебания нашей точки лг, когда она колеблется свободно, без принуждения. В атом случае колебания хз действительно отстают от колебаний силы Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
