Кирпичёв В. Л. Беседы о механике (1124020), страница 54
Текст из файла (страница 54)
3О3 центт удлРА При этом вес Р+р маятника с ядром дает работу, чис.чениая величина которой равна (Р+Р)7(1 — соз а). Живая сила системы тотчас после удара будет состоять ! из живой силы ядра — т1lа н из живой силы 2 0 маятника, равной половине произведения пз квадрата угловой скорости на момент инерции маятника У. Поэтому уравнение живых снл дает: (плУа+ «Р/) †!Р+Р! 1(1 — соа и), ! откуда найдем м. 132. Силы связи при ударе.
Эти силы й булут иметь характер мгновенных сил, т. е. Фвг. !16. булут очень велики, но кратковременны. Для них примем ту же меру, что н лля приложенных ударов, т. е. величину импульса за время удара. Измеренные таким образом силы связи будем называть у л а р а и н н а с в я з п. Яы знаем, ца основании начала Даламбера, что силы связи должны уравновесить и активные силы и силы инерции. Поэтому в случае улара, пользуясь видоизменением начала Даламбера, получим следующее правило для нахождения ударов: Улары на связи должны уравновесить как активные приложенные удары, так и количества движении, потерянные во время удара.
По втой теореме находим силы связи при ударе. Если, например, имеем случай тела, вращалощегося около неполвижной оси, то силами связи будут улары на ось в местах опоры ее. Эти удары найдутся совершенно так же, как находятся реакции на подпоры оси по данным внешним силам; но вместо внешних сил нужно ввести приложенные внешние улары и потерянные количества движения. 133. Центр удара. Из предыдущего понятно, что если имеем твердое тело, вращающееся около неподвижной оси, то удары, приложенные к этому телу, вообще говоря, 20 В.
л. кирввчев 306 удлг п мгноеенныв силы передаются на ось, т. е. в опорах появятся мгновенные силы, удары на ось. Но в некоторых случаях такие удары отсутствуют, их вовсе не будет, несмотря на то, что к телу прилохгеиы сильные удары. Разберем: при каких условиях это получается, т. е. когда удары не будут передаваться на ось", Рассмотрим случай, когда на тело, находившееся в покое, подействовал один активный удар К.
Так как внешние удары уравновешиваются с потерянными количествами движения, то ясно, что отсутствие ударов на ось может получиться только при соблюдении следующего условия: все потерянные коли- чества движения должны привоу 0 ~ диться к одной равнодействующей, которая должна быть равна и прямо г, ) ) противоположна удару К. Тогда эти количества диижения непосред- д т ственно уравновесятся с К, н не потребуется никаких дополнительных сил на оси для получения равновесия, т. е. на ось не передается никакого удара. Разберем подробно это усло- к вне.
Ось вращения примем за ось л; Фнг. 177. при вращении около этой осн все количества движения составляют прямой угол с направленвем осн л, следовательно, н равнодействующая их тоже составляет прямой угол с направлением г, т. е. не имеет слагающей, параллельной оси л. Отсюда пе рвое условие. Удар К должен составлять прямой угол с направлением оси вращения. Координатную плоскость лу проведем перпендикулярно к оси х и притом так, чтобы эта плоскость заключала в себе направление удара К; ось х расположим перпендикулярно к удару К, ось у будет параллельна удару К (фнг. 177). Возьмем частицу тела, имеюптую массу и и находящуюся на расстоянии г от оси вращения. Координаты этой частицы назовем х, у, л.
Если тело вследствие удара получит угловую скорость гв, то количеством движения частицы т будет. ламот, ЦЯНТР УДАРА 307 а проекции этого количества равны: +пнет юп а, или иначе: + тлмг —, У г ' движения на оси х, у будут л»мг соз а, х — л»мг— г ' т. е. + лнеу, — лиях. Суммируя зти величины по всей массе тела М, получим количества движения всего тела: по осн х ... +м'»»',яу, »» у ... — в'~Ртлх.
Если назовем массу всего тела М, а координаты его центра тяжести хю ую то„как известно: ~чангу=Му,, ~жх=Мх,; следовательно, предыдущие величины проекций колнчестна движения всего тела заменятся следующими: для оси х ... +мМую »» у ° вЂ” ЫМх». Так кепс этн значения отличаются от проекций потерянного количества движения только знаком, то они равны проекциям К. Но удар К дает для оси х проекцию, равную нулю, так как он перпендикулярен к ней, следовательно, проекция полного количества движения тоже должна быть равна нулю. Отсюда получаем: у,=О, 20» т. е.
центр тяжесги тела должен лежать в плоскости яОх, т. е. в плоскости, проведенной через ось вращения перпендикулярно к удару К. Это правило можно высказать также следующими словами, определюощими направление удара: Удар должен быть перпендикулярен к плоскости, проведенной через ось вращения и центр тяжести тела. Зов уРАР и мГнОВенные силы Это второе условие, Ово включает в себя и первое условие.
Затем продолжаем замену всех количеств движения одной равнодействующей, которая должна быть равна и прямо противоположна К. Для этого компоненты количества движения каждой массы т, т. е. величины по оси х ... +<ОтУ, У ... — ОИНХ, перенесем из точки т в место, занимаемое проекцией этой точки на плоскости хОу, добавляя соответствующие пары.
При таком переносе получим пары с моментами О)тул, еплха, а суммируя их для всего тела, получим пары с моментами ь~х~~тул, (О~~тхл. Оба эти момента должны быть равны нулю, так как в результате сложения должна получиться равнодействующая, лежащая в плоскости хОу. Итак, имеем: ч~~~ тхг = О,;ь,' туг = О, т. е. третье условие, которое состоит в следующем Ось вращения должна быть главною осью лля нашего начала координат, т.
е. для точки, в ноторой ось вращения пересекается плоскостью, проведенной через направление удара перпендикулярно к оси вращения. Итак, мы привели все количества движения к одной равнодействующей, параллельной оси у и равной тг = аММ, (101) где а есть координата ха центра тяжести тела, Чтобы узнать, на каком расстоянии Ь от оси О находится эта равнодействующая, напишем, что момент ее равен сумме моментов количеств движения отдельных масс. Этот последний момент, как мы знаем, равен произведению угловой скорости м на момент инерции У тела относительно оси О. Итак, получаем: йд=мУ, слгчлй оси вглщвния, пгоходящвй чсеез цвнтг тяжести 309 илн, вставляя величину Я, получим: ,7 '=м —.. (102) Но равнодействующая должна быть прямо противоположна удару К, следовательно, величина Ь дает расстояние удара К от оси вращения.
Игак, имеем четвертое и последнее услоние: Расстояние удар а от оси вращения должно быть равно Ма ' Точка С пересечения удара с нашей осью х называется ц е и т р о и у д а р а. Вспомнив наши выводы относительно сложного маятника (3 35), видим, что центр удара совпадает с центром качания нашего тела, если его рассматривать как сложный маятник с осью вразгення Ог. Прн соблюдении перечисленных выше четырех условий удар вовсе не передается на ось.
Заметим, что относнтельно центра тяжести ставится только одно требование: этот центр должен лежать в плоскости л(хг, т. е. плоскости, проведенной через ось вращения перпендикулярно к направлению удара, но нет необходимости, чгобы этот центр лежал непременно на оси х. 134.
Случай„ когда ось вращения проходит через центр тяжести. Возьмем частный случай, когда центр тяжести лежит на оси вращения; тогда а=О, и мы получаем нз (102) 3=оо, т. е. удар не будет передаваться на ось только в том случае, если он приложен к телу на бесконечном расстоянии от оси. Другими словами, если ось вращения проходит через центр тяжести тела, то все удары, приложенные к телу, будут передаваться на ось. Притом всякий удар будет передаваться на ось в полной своей величине. Действительно, если имеем а = О, то равнодействующая количеств движения 1х (уравнение (101)~ будет равна нулю, т. е. количества движения составляют пару„имеющую своею осью ту ось в, около которой вращается тело. Такая пара может уравновесить только пару.
Вообразим, что кроме удара К (фиг. 17и), у нас приложены еще два протпвопо- 316 удАР и мгновенные силы ложные удара на ось О, а именно К' и К", которые равны и параллельны заданному удару К. Прибавка таких двух противоположных ударов ничего не изменяет, и следовательно, удары на оси остаются прежние. Но теперь имеем, во-первых, пару ударов К, К, которая уравновесится с парой количеств движения. Во-вторых, остается удар К', который и передается целиком на ось, т. е. на ее опоры.
Этот частный случай имеет особое значение в машинах. й)ы знаем, что вращающаяся часть машины часто уравновешивается, следовательно, центр тяжести не лежит на оси вращения. Предыдущий вывод показывает, что в машинах все удары, Фиг. 173 приложенные к их уравновешенным вращающимся осям, ц е л и к о м передаются на опоры оси и портят эти опоры. 136. Простой опыт, демонстрирующий существование центра удара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
