Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Этот вывод остается в силе неаависимо от того, по какому закону нарастает давление при большой плотности; в однородной Вселенной давление не зависит от координат, а ведь на двиясение влияет только сила, равная разности давлений (градиенту давления).
Выводы из теории Фридмана относительно будущего существенно зависят от соотношения между сегодняшними значениями (постоянной Хаббла) и средней плотностью вещества р. Ксть определенная критическая величина р, =- — —, где к — ньютоновзя х ская постоянная тяготения: х = 6,7 10 г смгг 'сев з (вывод этого выражения с помощью ньютоновской механики в следующем параграфе). Коли фактическая плотность р меньше этого критического значения, р ( р„ то тяготение не сможет остановить наблюдаемое расширение; хотя расширение и будет замедляться, но оно не сменится сжатием; расстоя- пэиложкния ние между двумя далекими галактиками с течением времени будет неограниченно расти, Если я«е плотность больше критической, р ) р, (о фактическом положении см.
в $ 5), то притяжение велико и наблюдаемое в настоящее время расширение должно в будущем смениться остановкой и сжатием; вместо допплеровского «красного смещения» (разбегание) астрономы далекого будущего будут говорить о «синем» или «фиолетовом» смещении спектральных линий. В этом случае не только в прошлом, но и в будущем решение дает бесконечную плотность. рэе. Зависимость от времени расстояния между двумя галактиками в двух случаях схематически показана на рис. 1.
й 3. Элемент>«рмь«й вывед наивна раешмремнв Общая теория относительности содержит в себе как предельный случай классическую механику вместе с ньютоновской теорией тяготения. Рассмотрим малую область, внутри которой все скорости малы по сравнению со скоростью света с; малы и разности гравитационного потенциала внутри области (по сравнению с г»). К такой области применимы уравнения Ньютона. При этом мы пользуемся теоремой, которая одинаково имеет место и в ньютоновской теории и в общей теории относительности: вещество, окружающее рассматриваемую область сферически-симметричным слоем, никак не влияет на процессы внутри области.
Оказывается, что это утверждение распространяется и на область, мысленно вырезанную в бесконечном пространстве, заполненном веществом с постоянной плотностью. Обратимся к «арифметике>. Рассмотрим шаровую область радиуса Л, внутри которой вегцество с плотностью р имеет в данный момент 8 = «» скорость, распределенную по закону «« = Нг. (3,1) В частности, частица А на краю имеет мгновенную скорость ив = НЛ. ИАтеРиАлы и стАтьи О жизни и тВОРчестВВ А. А. ФРидмАнА 4О7 Ускорение этой частицы равно «'Зв М вЂ” = — н — ', ш н (3,2) где М вЂ” масса вещества, заклточенного внутри рассматриваемой области: М = — "',," рл'. (3,3) С течением времени р и Л меняются, но М, очевидно, постоянно.
Следовательно, уравнение легко проинтегрировать; умножаем слева и справа на ив = ««Л««й: ""в Е «1, МЕН Е нМ ив — = — « —.и') = — н — — = —— Ш ««« '«2 Я«' Л2 А«2 Ш Я (3,4) 1 нМ вЂ” и2 — — .= совэь = 4. д Пусть читатель простит элементарность расчета; мы получили постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий единицы массы на краю области; существенно, что при выводе не пришлось пользоваться рассуждениями о работе удаления частицы на бесконечность, которые зависели бы от того, чем окружена область. Если в данный момент ив ) О и й > О,то,очевидно, ив никогда не обратится в нуль, расширение никогда не сменится сжатием.
Подставим значения величин для «2 — «22Л2 2«ЛЗр — — Л2 ~ — ««~ — — 2«р) = 1 ЕМ 1 2 4««1 2«1 2 4Я Итак, критическое условие , И яр=о 4е е з (3,5) зл Рс знн (3,О) и Р' 7« ' з Результат в точности совпадает с теорией Фридмана. Легко также найти закон изменения со временем плотности и постоянной Хаббла как для р .>р„так и для р(р,. Чтобы не заниматься алгеброй, ограничимся предельным законом при малых 1(< 12; когда Л мало, Л(1) <= Л(12), соответственно велика скорость ив и величиной й можно пренебречь по сравнению с большими и2 и ЕМ/Л, Тогда нМ и2 г пРилОжения Постоянная интегрирования выбрана так, чтобы при 1 = О, Л = О, т.
е. за начало отсчета времени выбран момент бесконечной плотности. Найдем выражение плотности р (1). Для этого подставим = з Л (1) р (') получим 1 8.10с р(1) = — =— 6ясся и (3,8) Численное выражение дано для плотности в [г см з] при 1 в [сея). Наконец, для постоянной Хаббла получим 1 ~И 2 1 Н = — °вЂ” я'П 6' С (3,з) Рассматривалась область с вполне определенным количеством вещества М, с определенным Л(1).
Однако результаты для таких величин, как р(1), Н(1), оказались не зависящими от выбора М и Л. Это подтверждает внутреннюю согласованис , иь "с ность расчета, подтверждает возможность обобщеи ния расчета Йа бесконечное пространство. Иногда говорят о гравитационном парадоксе в ньютоновской теории, о невозможности рассмотрения бесконечной однородной Вселенной в этой теории.
В действительности есть определенный последовательный способ действий, при котором никакого парадокса не возникает. Будем сначала рассматривать шар конечного размера Л с определеннойплотностью р и распределением скорости и = Нк; решение механической задачи для него тривиально и приводит к определенной зависимости Н(1) и р (1), в которую Л не входит.
Следовательно, если Л вЂ” >со в момент 1, при фиксированных Н(гз) и р(1з), то получится правильное решение для бесконечной однородной Вселенной. Такое решение могло бы быть получено хоть через год после формулировки Ньютоном законов механики и всемирного тяготения. В действительности такой подход был найден лишь в 1935 г. в порядке осмысливания и популяризации решения Фридмана. Однако ньютоновский подход является строгим и точным. Решение найдено путем рассмотрения шаровой области, в которой имеется выделенная точка — центр шара. В центре О вещество покоится (рис.
2). В каждой другой точке вещество движется с определенной скоростью, имеется выделенное направление — направление скорости м. Однако легко убедиться на классическом уровне, что эта выделенность мАтвРиалы и статьи о жизни и твоРчистве А. А. ФРидмАнА 4сз центра и направления является фиктивной. Возьмем произвольную точку В внутри шара и перейдем в систему координат, в которой В покоится. Величины в новой системе координат отметим штрихом. Очевидно, что для какой-то другой точки С (см.
рис. 2) кс=- м'с — э'ве (З,И) ис=ис ив Мы пользуемся классическими законами преобразования: эвклидо вым для координат, галилеевым для скоростей. Подставим хэббловский закон и = Нг, получим (3,12) и' = Нз". Закон движения с точки зрения наблтодателя, находящегося и движущегося вместе с В, ничем не отличается от закона движения для наблюдателя в центре шара О, с которым мы себя молчаливо отождествили в предыдущем расчете.
Наблзодатель в точке В мог бы сказать, что он находится ближе к одному краю области, чем к другому, но только в том случае, если область, заполненная материей, действительно имеет край, т. е. окружена пустотой. Если же область выделена только мысленно в бесконечно простирающемся однородном поле плотности вещества, то точка В полностью эквивалентна центру сферы, а также любой другой произвольно выбранной точке.
Таким образом, действительно построено решение, удовлетворяющее принципу однородности, но решение по необходимости не- стационарное. Величие открытия Фридмана заклзочается, может быть, не столько в применении общей теории относительности, сколько в отказе от предвзятого представления о стационарности Вселенной. Ззьилючеиие Испытание временем это самое сильное, безошибочное испытание научной теории.
Космологическая теория расширяющейся Вселенной, выдвинутая А. А. Фридманом, подвергается этому испытанию уже 40 лет; в ХХ в., когда гигантски ускорилось развитие науки, 40 лет стоят нескольких веков в прошлом. Иэ этого испытания теория Фридмана вышла окрепшей. Наблюдения подтвердили самый факт нестационарности Вселенной. Бесславно отпали неоднократные попытки найти какое-то другое объяснение красному смещению спектральных линий. Агонизируют теории, пгиложиния пытающиеся соединить разбегание туманностей с предвзятой идеей стационарности за счет отказа от всех законов физики*.
Трудности в согласовании короткой шкалы времеви с данными о возрасте Земли и других небесных тел отпали после уточнения расстояний, которое привело к уменьшению постоянной Хаббла. В космологии есть много нерешенных вопросов, но решение этих вопросов следует искать на основе теории Фридмана, в рамках развитых им общих представлений. В обзорном докладе Уилера на Сольвеевском конгрессе 1958 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
