В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Суммирование будем делать для каждого рода отдельно н постоянные величины р, и, г будем выносить за знак суммы ~~,' У нас получатся суммы двух видов: первого вида с квадратами координат, т. е. ~ч~~~тхз, ~чРтуз, ~~~~~таз, и второго вида†с произведениями координат, т, е. ~ч~~~тху, ~чртхг ,Ятуг. По определению понятия о главных осях все суммы второго вида равны нулю„и соответствующие члены исчезнут, Окончательно получим следующий результат суммирования: — (пз '~ тгз + г' ч,', туз + гз ",", тхз + 1 + рз ~ч~~ ~тгз+ рз '~~ туз+уз ~ тхз) или (ратует(уз+гз)+йз~чрт(.з+ гз) ( гзт~т(ха+уз)1 Но выражения (у'+г'), (х'+г'), (х'+уз) представляют квадраты расстояний частицы т от осей х, у, г. Соответствующие суммы ~чр~т(уз+ха), '~т(ха+аз), ~ч~т(ха+уз) дают величины моментов инерции для главных осей х, у, г.
НазываЯ зти моменты ииеРции чеРез У„Уз, Уз, полУчим очень простое выражение для живой силы: (у пз ) у Пз + у гз) (79) 117. Движение центра тяжести и двяжение около центра тяжести. Во многих случаях удобно рассматривать движение системы как совокупность двух движений: в первом из ннх все точки системы двигаются одинаково с ее центром тяжести," второе есть движение около центра тяжести, который при атом считается неподвижным. При таком разложении получается простое вырзжение для живой силы, а именно: н уж н о определить живую силу для каждого из указанных двух движений отдельно и затем арифметически сложить эти два выражения. Эту теорему всего удобнее доказать, определяя движение двумя системами декартовых координат.
Одна из них, имеющая оси з, з), ь, пусть будет неподвижна; к ней отнесем 264 закон жиВых сил Проекции же скоростей действительного движения массы т будут равны производным от координат (80), т. е. йх+ дя ну+ лч их+ Ж йг йс' йс ла' ач йс' (82) Наконец, проекции скорости ценз ра тяжести системы будут равны производным от координат этой точки, т. е. и'с па и'с Ь' ст' йс' Составим выражение для полной живой силы массы гл; квадрат ее скорости равен сумме квадратов ее проекций (82); следовательно, живая сила будет равна: или, по раскрытии квадратов двучленов: -' Г(.-")'+®'+("-:)'+(Й)'+®'+®'+ нх Ф"', Фу ггч йхнс1 движение пентра тяжести; его координаты для этих Осей назовем; с, и, с„ Для другой координатной системы начало возьмем в центре тяжести, а оси ее х, у, х ° направим параллельно неподвижным осям 8, ~), ~, Это будет подвижная система координат, перемещающаяся вместе с центром тяжести.
Координаты какой-нибудь массы сп относительно подвижной системы назовем х, у, х. Тогда координаты той же массы относительно неподвижных осей будут: +с у+) +~. (80) Проекции скорости будут производные от координат. Поэтому рассматривая движение массы и относительно подвижных осей, будем иметь проекции скоростей этого относительного движения: мх ау (81) на> ц' д' Мб закон живых сил есть квадрат скорости того движения, которое масса и имеет относительно центра тяжести системы. Следовательно, Т, означает живую силу для движения системы относительно ее центра тяжести.
Оказывается, что истинная живая сила системы равна сумме зтих двух живых снл Т, + Т„ что мы и желали доказать. Йля примера возьмем движение железнодорожного поезда. Кроме общего поступательного движения, одинаконого с центром тяжести, колеса имеют еще вращательное движение. Пусть скорость поступательного движения есть У; массу всего поезда, включая и колеса, назовем Л4; угловую скорость вращения одного из колес обозначим буквою м, а момент инерции колеса относительно его осн назовем У.Живая сила поезда будет равна: ~,щ а + 1 ~~Р ума где сумма ~ должна быть распространена на все колеса.
118, Работа силы тяжести. Эта внешняя сила встречается в приложениях очень часто, а потому подготовим общее выражение для работы силы веса в произвольнбй системе. Выберем основную горизонтальную плоскость, к которой будем относить высоты всех частей системы. Пусть одна нз частиц, имеющая вес Р, во время движения переместилась так, что ее первоначальная высота Ьа над основной плоскостью превратилась в л. При атом вес р произведет работу, равную произведению его на вертикальное перемещение лр — л.
Сложим работы весов всех частиц системы; получим полную работу веса: Т=ЯР(йо — Ь)=Яро — ,'~~РИ (84) Назовем высоту центра тяжести системы для начала движения На, а для конца его Н; вес всей системы пусть будет Р. По определению центра тяжести имеем зависимости: РНо=~~~Р"ю г Н=Я~Рл Подставим зги значения ~ч~РРлр и ~чРРЬ в (84), тогда получим: Т = гз(На — Н), (88) 267 пгымвгы т.
е. работа всех снл тяжести в системе равна произведению из полного веса системы на понижение ее центра тяжести. Если работа внутренних сил равна нулю, а кроме тяжести нет других внешних сил, то выражение (65) изображает величину изменения живой силы системы прн рассматриваемом 4' перемещении, 119.
Примеры. Пилиндр катится без скольжения по наклонной плоскости (фиг. 163). Радиус цилиндра назовем через гс, его массу †чер М, момент инерции относительно Фнг. 163. оси его — через А Пусть начальная скорость равна нулю; по опускании цилиндра на высоту уг скорость его поступательного движения получит некоторую нелнчнну (г, а в то же время он приобретет некоторую угловую скорость вращения м.
Так как цилиндр катится без скольжения, то между величинами г' и м существует зависимость: Дм= 1г, т. е. Живая сила цилиндра будет, на основании теоремы 5 117, 1 1 1 У равна сумме двух живых снл: — МУа и — ЛР= — — Уа. 2 2УР Работа силы тяжести будет равна произведению веса цилиндра Мя на понижение его центра тяжести л. Получаем следующее уравнение живых сил; 2 ~ (М+ 77) из которого найдем скорость г', а деля ее на )с, получим угловую скорость. Получаем: 1г' = 2уй —., Мйа 268 3АкОО жиВых сил Если бы такое тело спускалось с наклонной плоскости не вращаясь, то имели бы: 'г"а — 2ф1 — Лов. 1 2 (86) Опускающаяся по желобку частица лг получает, как мы видели, скорость, состоящую из двух слагающих: горизонтальной скорости ам — у соз ~у и вертикальной скорости )г жп у.
Сумма квадратов этих слагающих даст квадрат полной скорости. Следовательно, живая сила частицы гп будет равна — ги ~(аа — 1гсоз у)а+(1'з)ну)а~ . 1 (87) Полная живая сила частицы и вращающегося цилиндра будет равна сумме выражений (86) и (87). Что касается работ сил, то здесь имеем только работу веса частицы лг; при опускании частицы на высоту у работа будет равна тку. следовательно, вращение уменьшает скорость 1".
Аналогичный результат получим при сравнении следующих двух движений (фнг. 164): а) маятник, состоящий из шара Р, подвешенноа) го на невесомой нити; б) тот же шар, катящийся ,'В ) й по круговому желобку. ! Во втором случае качания . ~~р будут медленнее, чем в ~Ц первом, Фиг. 164. Тяжелая части- ца, движущаяся по винтовому желобку. Мы начали решать эту задачу в ф 86 и получили уравнение (64): и (у+ та') — алг)г соз у = О. Докончим ее, т.
е. составим второе уравнение, связывающее неизвестные )' н ы. Для этого нам послужит закон живых сил. Назовем момент инерции цилиндра, несущего винтовой желобок, относительно оси его через 7. Тогда живая сила этого цилиндра будет: УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 269 Так как начзльные скорости по заданшо равны нулю, то уравнением живых снч будет: Лог+ гл((ам — )г соз у)а+ ()l юп фа] =2лгду, (88) Соединяя его с уравнением (64), найдем обе скорости )г и м.
Нетрудно видеть, что как опускание частицы т, так н вращение цилиндра будут происходить равноускоренно. 120, Устойчивость вращения твердого тела. Мы знаем, что в каждой точке теча есть три главные осн; они обладают тем свойствоч, что при вращении около них без действия активных сил силы инерции взаимно уравновешиваются. Когда сообщено вращение около главной осп, то оно будет продолжаться по инерции без перемены. Между тем, если сообщено вращение около неглавной оси, то для поддержки его необходимы внешние силы на оси. Если нх нет, то ось вращения будет м г н о в е н н о й, беспрестанно изменяющей свое положение в теле и в пространстве. Только главные оси обладают свойством быть постоя инымии осями, около которых вращение поддерживается инерцией, без помощи внешних сил.
Этим свойством обладают все три главные оси, Но постоянство оси, при отсутствии внешних сил, еще не означает ее устойчивости. Этим последним термином мы называем способность тела мало изменять свое вращение от действия на него небольших толчков, т. е. от кратковременного приложения к нему небольших сил. Положим, что первоначально тело вращалось около главной оси и что действием толчка ось вращения изменилась, т. е. тело после толчка вращается около мгновенной, беспрестанно переменяющейся осн. Сейчас же после толчка эта мгновенная ось по необходимости очень близка к первоначальной оси, так как предполагаем небольшой толчок. Иногда затем, с течением времени, мгновенная ось постепенно удаляется от перноначальной, и в скором времени зто удаление делается очень заметным; тогда мы говорим, что первоначальная ось вращения была неустойчивая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
