В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. точка т сделается неподвиж- ной; работа приложенной к ней силы равна нулю. Остается только работа силы Р', действующей на точку сл'. Этот прием — остановки одной нз двух частиц — мы мо- жем применять одинаково как в том случае„когда расстояние частиц т, гл' не изменяегся, так и для случая, когда при перемещении происходит изменение тт', В обоих случаях мы можем пользоваться этим упрощением; одну частицу бу- дем считать неподвижной н разбирать только работу, произ- водимую на другой частице, Но по условно расстояние между частицами лг, лг' не из- меняется во время движения.
Точка лт неподвижна, следова- тельно, т' движется не иначе как по поверхности шара, име- ющего центр т., а радиус тт'. Сила же Р' идет по пря- мой та', т. е. по радиусу шара; следовательно, она всегда перпендикулярна к перемещению точки и', т. е. работа эгой силы постоянно равна нулю. Итак, обе силы дают работы, равные нулю, и наша теорема доказана. Мы уже виде.чп в десятой беседе, какое важное значение эта теорема нмеет для приложений закона живых спл. В тоней слтч ай, Переходим ко второму случаю, когда работа внутренних сил тоже оказывается равной нулю. Если фигура тела изменяется во время дви- жения, но под конец движения форма и раз- меры тела восстанавливаются прежние, то полная работа внутренних сил за все время движения равна нулю.
Эта теорема имеет место, если относительно внутренних снл Р, Р', действующих между двумя частицами лг, лг' (фиг. 157), прежнюю гипотезу об их равенстве и противопо- ложности дополним еще следующей гипотезой: общая вели- чина сил Р, Р' зависит исключительно от величпны расстояния 17 в. и. кирпича 258 закон жиВых сил между частицами лг, т' и ни от чего больше.
Другими словами, мы допускаем, что, как только расстояние между частицами щ, и' делается прежнее, то и силы Р, Р' получают прежнюю свою величину, хотя бы при этом направление линии жт' в пространстве изменилось. р~ а Мы далее разберем подробно эту б гипотезу, а теперь займемся доказательством указанной теоремы. Выше было доказано, что при нахождении суммы работ двух спл Р, Р', представляющих взаимодействие частиц гн, и', всегда можно считать одну из этих частиц неподвижной.
Пусть это будет часжща гл (фнг. 157). ЭлементарФнг. !57. ное перемещение ира другой частицы можно разложить на два перемещения лгЪ, лг'с, из которых одно Влет по линии тт', соединяющей частицы, а другое — перпендикулярно к втой прямой. Работа силы Р' для второго из этих перемещений равна нулю, так как перемещение перпендикулярно силе. Остается работа силы Р' для перемещения тЪ, направленного по той же прямой, как сила; эта элементарная работа будет равна произведению силы на перемещение тЪ, т.
е. на изменение расстояния между частицами; следовательно, работа будет равна Р' тЪ. Эта работа может быть н положительной и отрицательной в зависимости от направления силы Р' и от характера изменения расстояния слт', т. е. в зависимости от того, происходит лп увеличение или уменьшение этого расстояния. Нонечная работа для конечного изменения рассчояния тлг' получитсн через суммирование элементарных работ.
При составлении суммы нужно принять во внимание, что внутренняя частичная сила Р обыкновенно изменяется с изменением расстояния лип'. она есть функция этого расстояния. Изобразим эту изменяемость графически (фиг, 158); по абсциссам, начиная с точки О, откладываем изменения длины лглг', а по ординатам — соответствующие величины силы Р, Получается кривая 07Р, изображающая зависимость частичной силы, т.
е. силы взаимодействия частиц гл н ги', от изменения расстояния слгчьй, когда гавота внгтввнннх снл глвнх нхлю 259 между частицами (т, е. от удлинения илп сжатия этого расстояния). Когда первоначальное расстояние получит удлинение ОК, то частичная сила изображается ордннатой К!. Если затем удлинение получит бесконечно малое приращение КК', то сила произведет элементарную работу, величина которой равна произведению К1 КК' т.
е. измеряется заштрихованной на чертеже площадью Кц'К'. Конечная работа, пронзвошишя силой Р при удлинении от нуля до Оп, будет равна сумме элементарных работ, т. е. из- У Р 11 меряется площадью 01РпКО, заштрихованной по контуру. Работа эта будет отрицательная, так как ча- т стичные силы противят- К К' ся изменению формы.
При восстановлении первоначальной формы тела, т. е. при постепенном уничтожении удлинения прямой тт', частичные силы производят положительную работу, способствуют такому восстановлению. По нашей гипотезе относительно частичных сил онн зависят исключительно от расстояния между частицами.
Поэтому, когда удлинение, постепенно уменьшаясь, дойдет до величины ОК, частичная сила примет то же значение К1, которое она имела при растяжении, в момент получения удлинения ОК. Это справедливо для всех значений удлинения, т. е. закон изменения частичной силы при восстановлении формы будет изображаться той же кривой Р1'10, которая представляла постепенное изменение частичной сиды при растяжении. Поэтому работа частичных сил при восстановлении формы изобразится прежней площадью кривой 01РлКО; но теперь эта работа положительная, а прп растяжении она была отрицательная.
Складывая эти две работы— одну для удлинения, а другую для восстановления формы, мы получим в сумме, что работа частичных сил равна нулю. Это справедливо для каждой пары частиц, входящих в состав тела, следовательно, справедливо и для всего тела, т. е. мы получим тот результата на который указали прежде: если форма тела изменяется во время движения, но под конец 1уь 2ВО закон живых снл рассматриваемого пути тело принимает ту первоначальнуЮ форму, которую оно имело в начале пути, то общая сумма работ всех внутренних сил равна нулю.
Яы мои<ем приложить эту теорему к движению любой машины, рассматривая период движения от пуска в ход машины до полной ее остановки. При пускании в ход к частям машины прикладываются различные силы, изменяющие форму частей. Эти силы действуют во все время хода машины, иногда сохраняя постоянную величину, иногда изменяясь. г1о, когда машина останавливается, то действие указанных сил прекращается, н все части машины принимают первоначальную форму. Следовательно, работа внутренних сил за весь этот период движения равна нулю, и мы можем совершенно не принимать во внимание внутренние силы в уравнении живых сил, есл~ применяем такое уравнение ко всему периоду движения машины от начала пуска ее в ход до полной остановки.
115. Выражении для живой сялы в частных случаях. Рассмотрим несколько основных случаев опрелеления живой силы; они встречаются в приложениях так часто, что необходимо иметь для них готовые формулы, которыми можно пользоваться, когда понадобится. Поступательное движение. Так как в этом движении все частицы имеют одинаковую скорость, то, называя эту скорость через 1', а массу всего тела — через М, получаем для живой силы выражение Лл, г 1 2 Вращение твердого тела около оси. Если угловая скорость равна м, то для частицы, находящейся иа расстоянии г от оси и имеющей массу лг, получаем: скорость гм, квадрат ее г'ыа, живая сила — г'ма.
Суммируем живые силы всех частиц; получаем для живой силы всего тела: Е- ыашга 1 2 1 Вынесем общий множитель — ма за знак суммы; получим: 2 — а~„лгу . 1 2 вглщение тввгдого тела около мгновенной оси 261 Выражение ~чР тга нам знакомо: это — момент инерции тела относительно оси вращении. Итак, в этом случае живая сила равна половине произведении момента инерции на квадрат угловой скорости. 116, Вращение твердого тела около мгновенной оси.
Так как эта ось беспрестанно изменяет свое положение в теле, то удобнее заменить угловую скорость около этой оси тремя ее проекциями на три взаимно перпендикулярные направления, сохраняющие в теле постоянное положение. За эти направления следует взять три главные оси тела; тогда получим наиболее простое выражение для живой силы. Фнг. 159. Фиг. 160. Пусть р, д, г будут слагающие угловой скорости по глав ным осям х, у, л.
Найдем скорость для любой частицы тела, имеющей координаты х, у, я (фиг. 159). Лля этого найдем сначала проекции этой скорости на оси, и с этой целью рассмотрим отдельно вращения р, д, г. Вследствие вращения р около оси х в сторону часовой стрелки (фиг. 160) частица >л получает скорость, равную произведеншо из р на радиус р и направленную перпендикулярно к этому радиусу. Проекции этой скорости будут: на ось х....О, ъ у... — рз)па= — рр — = — рх, ъ г... +р р.соз а=рр — =+ру.
Р ЗАков живых сил При вращении 7 около оси у получим подобным же образом проекции (фнг. 16Ц: на ось х... +Чл, »» у...О, »» а',, — гух. Наконец, вращение г около оси в дает проекции (фиг. 162): на ось х... — гу, у... +гх, »» х...О. Складывая все проекции, приходящиеся на одну н ту же ось, получаем проекции скорости ен иа ось х...дя — гу, »» у...гх — рх, х„..ру — дх. Квадрат скорости о будет равен сумме квадратов атих проекций; умножая на половину массы и частицы, получаем живую силу частицы кц 1 л» г( гу)»+ ( .х ~х)г +(ру дх)»~ . (78) Остается просуммировать зто выражение для всех частиц тела, н мы получим его живую силу. г » Фнг.
16Х Фиг. 161. Суммирование сделаем в таком порядке: сначала произведем возвышение в квадрат двучленов выражения (78), Получим члены двух родов: члены первого рода будут содержать квадрат какой-нибудь координаты, а члены второго рода бу- 263 движения центы тяжести дут содержать произведение двух различных координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
