В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для этого необходимо, чтобы все силы„ действующие в рассматриваемой механической системе, были консервативнымн, Консервативными, нлн потенциальными, силамн называются, как известно, такие силы, работа которых на пути между какими-нибудь двумя точкамн А и В (фиг. 170) не зависит от вида траектории. Следовательно, работа этих сил будет одинаковой и в том случае, когда материальная ~очка движется нз А в В по траектории А7В, и в том случае, когда она движешься по траектории А2В. Консервативные силы являются функциями только координат точек приложения силы.
т) В общем виде закон сохранения энергии впервые был выдвинут и качественно сформулирован М. В, Ломоносовым в 1748 г. (Приза рад.) хглвнвниа живых сил для консвгвлтивной систамй 281 для консервативных снл всегда существует такая функция, называемая потенциальной нлн силовой, частные производные которой по координатам дают проекцнн силы на соответствующие осн.
Силовая функция, взятая с обратным знаком, представляет собою не что иное, как потенциальную энергию. Свойством консервативности обладают многие силы природы, например, силы тяготения, упругие силы, силы притюкення нли отталкивания двух электрических зарядов н т. п. Примером не- 7 консервативных сил могут служить силы трения нли силы сопротивления среды, Неконсервативиые снлы зависят не только от г координат точки приложения, но н от других факгоров; так, например, сила сопротивления А жидкости двнжуп1емуся в ней телу зависит от Фиг.
170. скорости движения тела. Неконсервативные силы не обладают потенциалом; н работа их на пути между каками-нибудь точкамн А н В зависит от внда траектории. Для консервативных сил работа на замкнутом пути, как легко видеть, равна нулю; для неконсерватнвных сил это не имеет места. Мехашгческне системы, в которых все силы консервативные, называются к о н с е р в а т н в н ы и н с и с т е и а и и. Строго консервативных систем в природе не существует, однако, во многих случаях с большой точностью можно считать те нли иные системы консервативными. й 124.
Уравнение живых сял для консервативной системы. Начнем с какого-нибудь начального положения системы, которое назовем нулевым; живую силу всей системы для этого положения обозначим через Та. Для положений А н В употребим подобные же обозначения, но с индексами А, В вместо нуля, т. е. живые силы обозначим через Тд, Тл. Работу всех сил, прн переходе из нулевого положения в положение А назовем Рд, а такую же работу для перехода из нулевого положения в В обозначим через Рв. Пусть все силы, действующие нз систему, консервативные. Тогда работы Р„ и Рл вполне определяются положениями А и В, н мы найдем уравнейия живых снл для перехода из нулевого положения в положение А: Тл — Т, = Р„ (93) 282 закон сохглнвния апвнгии и для перехода из нулевого положения в положение В: (94) Вычитая (98) нз (94), находим: Т а ТА Р л Р л или ҄— Ра — — ҄— Рл.
(95) Живые силы — всегда величины положительные; что же касается работ Р, Рл, то они могут быть как положительными, так и отряпательными. Чтобы избавиться от отрицательных величин, прибавим к обеим частям уравнения (95) постоянную величину С, которую подберем так, чтобы величины С в Р„ и С в Рл, которые обозначим Ув и Ул, были положительные для всех положений системы.
Тогда уравнение (95) получит вид: Т„+ и„= Т„-)- и„, (96) т. е. оказывается, что для любого положения системы сумма живой силы и величины У одинакова. Величина У, определяемая работой консервативных сил, обладает тем свойством, что значение ее для положения В определяется исключительно этим положением и не зависит от положения Л н от других возможных положений системы. Величины Ув, Ул называются и о те н ц и а л ь н ы м и, нли запасными, энергиями системы для положений В, Л. Живая сила называется кин е т и ч е с к о й энергией системы.
И гак, уравнение (96) ныражает следующий закон для всякой консервативной системы: В каждом положении системы, движу гцейся под действием консервативных сил, сумма ее кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная. Эта сумма называетсн пол н о й механической энергией системы, нли, кратко, энергией системы. Она сохраняет постоянную величину. При движении изменяется только распределение энергии между ее кинетической и потенциальной частями, между видимой и запасной энергией.
Запас энергии то увеличивается за счет видимой энергии, то уменьшается, когда видимая энергия р а с т е т. хглвнвнив живых сил для конскгвлтивной системы 283 Вот содержание закона сохранения энергии, если ограничиться рассмотрением механических процессов, происходящих под действием консервативных сил. Мы должны объясниться по поводу прибавленной нами величины С. Так как она произвольная, то и величина потенциальной энергии произвольная; по нашему желанию мы можем делать к ней любую прибавку. Но эта прибавка должна быть одинакова для всех положений системы. Потенциальная энергия есть запас энергии; мы замечаем изменение этого запаса, увеличение нли уменьшение его, но нам совершенно неизвестна полная величина запаса; вот почему величина С может быть произвольною; она изображает нашу догадку или произвольное предполо кение о величине запаса.
Для прлмера рассмотрим систему, в которой действует сила тяжести. Потенциальная энергия определяется весом и высотой центра тяжести; но от какого уровня нужно счвтать эту высотуу При решении частных вопросов мы можем изменять этот уровень. Нужно только выбрать его так, чтобы центр тяжести никогда не опускался ниже избранного уровня, тогда потенциальная энергия будет всегда положительная. Здесь мы поступаем подобно тому, как при изучении высоты воды в реке или в море: основной уровень, от которого отсчитываются высоты, нужно взять ниже наиболее низкого возможного стояния воды.
Кроме этого условия, мы не ставим других ограничений, а потому основной уровень, нуле- в а я т о ч к а, до известной степени произволен, может быть изменяем по нашему усмотрению. Вот, например, какой можно сделать выбор величины нотепциальной энергии: между всеми возможными положениями системы выберем такое, для которого получается самая большая живая сила, и примем, что для этого положения потенциальная энергия равна нулю, т. е. что пзрасходован весь запас ее. Называя эту живую силу Т„„„, получим для всякого другого положения системы из закона сохранения энергии следующее соотношение: т„+и„= т.,„, которое позволяет найти величину потенциальной энергии для всякого положения системы. 284 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Но нет необходимости непременно придерживаться этого правила для определения потенциальной энергии; можно изменять его; вообще, безусловная величина потенциальной энергии не представляет интереса в динамике, Важно знать не безусловные величины, а разность потенциальных энергий для лвух различных положений.
125. Простые примеры на закон сохранения энергии. а) При движении планеты вокруг Солнца потенциальная энергия есть результат работы силы притяжения. Так как прн удалении планеты Р 4 от Солнца эта работа Ротрицательна, то запас нотенциальиой энергии У=С вЂ Фнг. 17! при этом увеличивается. Если же планета приближается к Солнцу, то работа Р положительна, а потому запас потенциальной энергии уменьшается. Поэтому живая сила, а следовательнио, скорость планеты, должна уменьшаться при удалении планеты от Солнца и увелнчиваться прн сближении этих тел.
Наибольшая скорость получается в перигелии Р (фиг. 171), т. е. в точке, где планета всего ближе к Солнцу о; в афелни А, т. е. в точке, наиболее удаленной то Солнца, ",77 скорость планеты наименыпая. ч б) На теорему Д. Бернулли можно смо- треть как на частный случай закона сохра! нения энергии. Пьезометрнческая высота есть ! мера запаса энергии.
в) Тело М (фиг. 172) качается на пружине. Здесь потенциальная энергия есть запас работы, заключающийся в изогнутой пружине. Фиг. 172. Он наибольший для крайних положений тела М; тогда кинетическая энергия равна нулю. В среднем положении пружина вовсе не изогнута, и потенциальная энергия равна нулю; в этом положении получается наибольшая скорость тела М. 126. Рассеяние энергии.
Можно указать на многие яв- ления, в которых как будто бы не получается подтверждс- РЛССЕЯИИЕ ЭНЕРГИИ ния начала сохранения энергии, а напротив, ясно видна потеря энергии, рассеяние ее. Нетрудно придумать опыты, наглядно указывающие на такое кажущееся рассеяние энергии. Самое простое явление этого рода есть трение. Сделаем такой опыт: на столике поставлены тяжелые нагруженные салазки; усилием нашей руки мы передвигаем эти салазки от левого края столика к правому и затем обратно возвращаем их на левый край. При этом опыте нами истрачена значительная работа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
